Articles

Fyzika

by admin

z kinematiky víme, že zrychlení je změna rychlosti, buď ve své velikosti, nebo ve svém směru, nebo obojí. V jednotný kruhový pohyb, směr rychlosti se neustále mění, takže tam je vždy spojena zrychlení, i když velikost rychlosti může být konstantní. Toto zrychlení zažijete sami, když v autě zahnete za roh. (Pokud držíte kolo v klidu během zatáčky a pohybujete se konstantní rychlostí, jste v rovnoměrném kruhovém pohybu.) To, co si všimnete, je boční zrychlení, protože vy a auto měníte směr. Čím ostřejší je křivka a čím větší je vaše rychlost, tím výraznější bude toto zrychlení. V této části zkoumáme směr a velikost tohoto zrychlení.

Obrázek 1 ukazuje objekt pohybující se v kruhové dráze konstantní rychlostí. Směr okamžité rychlosti je zobrazen ve dvou bodech podél cesty. Zrychlení je ve směru změny rychlosti, která směřuje přímo ke středu otáčení(střed kruhové dráhy). Toto směřování je znázorněno vektorovým diagramem na obrázku. Říkáme zrychlení objekt pohybující se v rovnoměrný kruhový pohyb (vyplývající z čisté vnější síly) dostředivé zrychlení(ac); dostředivá znamená „směrem ke středu“ nebo „centrum hledá.“

daný obrázek ukazuje kruh, trojúhelník s vrcholy A, B, C vyrobeny z centra na hranici. A je ve středu a B A C body jsou na kruhové dráze. Čáry a B A C působí jako poloměry a B C je akord. Delta theta je zobrazen uvnitř trojúhelníku, a délka oblouku delta s A délka akordu delta r jsou také uvedeny. V bodě B je rychlost objektu zobrazena jako v jedna a v bodě C je rychlost objektu zobrazena jako v dvě. Podél kruhu je rovnice znázorněna jako delta V se rovná v sub 2 minus v sub 1.

Obrázek 1. Jsou zobrazeny směry rychlosti objektu ve dvou různých bodech a je vidět, že změna rychlosti Δv směřuje přímo ke středu zakřivení. (Viz malá vložka.) Protože ac = Δv/Δt, zrychlení je také směrem ke středu; ac se nazývá dostředivé zrychlení. (Protože Δθ je velmi malý, délka oblouku Δs se rovná délce akordu Δr pro malé časové rozdíly.)

směr dostředivého zrychlení je směrem ke středu zakřivení, ale jaká je jeho velikost? Všimněte si, že trojúhelník tvořený vektory rychlosti a trojúhelník tvořený poloměry r a Δs jsou podobné. Oba trojúhelníky ABC a PQR jsou rovnoramenné trojúhelníky (dvě stejné strany). Dvě stejné strany trojúhelníku vektoru rychlosti jsou rychlosti v1 = v2 = v. pomocí vlastností dvou podobných trojúhelníků získáme \ frac {\Delta{v}}{v}=\frac {\Delta{s}}{r}\\.

Zrychlení je \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, a tak jsme první řešení tohoto výrazu pro Δv:

\displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{s}\\.

Pak jsme se rozdělit o Δt, dávat

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

a Konečně, a upozorňuje, že \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ a \frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}=v\\, lineární nebo tangenciální rychlost, vidíme, že velikost dostředivé zrychlení je

{a}_c=\frac{v^2}{r}\\,

což je zrychlení objektu v kruhu o poloměru r rychlostí v. Takže dostředivé zrychlení je větší při vysokých rychlostech a v ostrých křivkách (menší poloměr), jak jste si všimli při řízení automobilu. Ale to je trochu překvapivé, že ac je úměrná rychlosti na druhou, což znamená, například, že je čtyřikrát tak těžké, aby se křivka na 100 km/h než při 50 km/h. Ostrý roh má malý poloměr, takže ac je větší pro přísnější zatáček, jak jste si asi všimli.

je také užitečné vyjádřit ac z hlediska úhlové rychlosti. Nahrazením v = rw do výše uvedeného výrazu najdeme a_c= \ frac{\left (r\omega\right)^2}{r}=r\omega^2\\. Můžeme vyjádřit velikost dostředivé zrychlení pomocí jedné ze dvou rovnic:

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\.

připomeňme, že směr ac je směrem ke středu. Můžete použít jakýkoli výraz, který je vhodnější, jak je znázorněno na příkladech níže.

odstředivka (viz obrázek 2b) je rotační zařízení používané k oddělení vzorků různých hustot. Vysoké centripetální zrychlení významně zkracuje dobu potřebnou k separaci a umožňuje separaci pomocí malých vzorků. Odstředivky jsou používány v různých aplikací v oblasti vědy a medicíny včetně oddělení jednotlivých buněčných suspenzí, jako jsou bakterie, viry, a krevních buněk z tekutého média a separaci makromolekul, jako jsou DNA a bílkoviny, z roztoku. Odstředivky jsou často hodnoceny z hlediska jejich dostředivé zrychlení relativní tíhové zrychlení (g); maximální dostředivé zrychlení z několika set tisíc g je možné ve vakuu. Lidské odstředivky, extrémně velké odstředivky, byly použity k testování tolerance astronautů k účinkům zrychlení větších, než je gravitace Země.

Příklad 1. Jak se srovnává centripetální zrychlení automobilu kolem křivky s gravitací?

Jaká je velikost dostředivé zrychlení auta po oblouku o poloměru 500 m při rychlosti 25.0 m/s (kolem 90 km/h)? Porovnejte zrychlení s gravitací pro tuto poměrně jemnou křivku pořízenou při dálniční rychlosti. Viz obrázek 2a.

Strategie

Protože v a r jsou uvedeny, první výraz v \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ je nejvhodnější použít.

Řešení

Vstupu do dané hodnoty v = 25.0 m/s a r=500 m do první výraz pro ac dává

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left(25.0\text{ m/s}\right)^2}{500\text{ m}}=1.25\text{ m/s}^2\\.

Diskuse

porovnat to s tíhové zrychlení (g = 9.80 m/s2), vezmeme poměr \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25 \ text{ m / s}^2\right)} {\left (9.80 \ text{ m / s}^2 \ right)}=0.128\\. Ac=0,128 g a je patrný zejména v případě, že jste neměli bezpečnostní pás.

na obrázku a běží auto zobrazené shora po kruhové silnici kolem kruhové cesty. Střed parku se nazývá střed tohoto kruhu a vzdálenost od tohoto bodu k autu se bere jako poloměr r. Lineární rychlost je znázorněna v kolmém směru směrem k přední části vozu, znázorněno jako v dostředivé zrychlení je znázorněno šipkou směřující ke středu otáčení. Na obrázku b je znázorněna odstředivka objekt hmoty m se v ní otáčí konstantní rychlostí. Objekt je ve vzdálenosti rovnající se poloměru R odstředivky. Dostředivé zrychlení je znázorněno směrem ke středu otáčení a rychlost, v je znázorněna kolmo k objektu ve směru hodinových ručiček.

Obrázek 2. a) vozidlo po kruhové dráze konstantní rychlostí zrychluje kolmo na svou rychlost, jak je znázorněno. Velikost tohoto dostředivého zrychlení je uvedena v příkladu 1. b) částice hmoty v odstředivce se otáčí konstantní úhlovou rychlostí . Musí být zrychlena kolmo na svou rychlost, jinak by pokračovala v přímce. Velikost potřebného zrychlení je uvedena v příkladu 2.

příklad 2. Jak velké je dostředivé zrychlení v Ultracentrifuge?

Vypočítejte dostředivé zrychlení bodu 7.50 cm od osy ultracentrifugy se točí při 7,5 × 104 ot/min. Určete poměr tohoto zrychlení k poměru v důsledku gravitace. Viz obrázek 2b.

strategie

výraz ot / min znamená otáčky za minutu. Převedením na radiány za sekundu získáme úhlovou rychlost ω. Protože r je dána, můžeme použít druhý výraz v rovnici a_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\\ pro výpočet dostředivé zrychlení.

řešení

pro převod 7.50 × 104 ot/min na radiány za sekundu, využíváme skutečnosti, že jedna revoluce je 2π rad a jednu minutu 60.0 s. Tak,

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text{ rad}}{1\text{ rev}}\times\frac{1\text{ min}}{60.0\text{ s}}=7854\text{ rad/s}\\ .

Nyní, že dostředivé zrychlení je dána tím, že druhý výraz.

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ jako / ac / = rw2.

Převod 7.50 cm na metry a dosazením známých hodnot dává ac = (0.0750 m)(7854 rad/s)2 = 4.63 × 106 m / s2.

Všimněte si, že bezjednotkové radiány jsou vyřazeny, aby se získaly správné jednotky pro centripetální zrychlení. Přičemž poměr ac k g výnosy

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\krát 10^6}{9.80}=4.72\krát 10^5\\.

Diskuse

Tento poslední výsledek znamená, že dostředivé zrychlení je 472,000 krát stejně silný jako g. Není divu, že tak vysoké ω odstředivky jsou tzv. centrifugy. Extrémně velká zrychlení značně zkracují čas potřebný k sedimentaci krevních buněk nebo jiných materiálů.

k vyvolání jakéhokoli zrychlení je samozřejmě zapotřebí čistá vnější síla, stejně jako Newton navrhl ve svém druhém zákonu pohybu. Takže čistá vnější síla je potřebná k tomu, aby způsobila centripetální zrychlení. V dostředivé síle budeme zvažovat síly zapojené do kruhového pohybu.

Phet Explorations: Ladybug Motion 2D

Další informace o vektorech polohy, rychlosti a zrychlení. Přesuňte berušku nastavením polohy, rychlosti nebo zrychlení a podívejte se, jak se vektory mění. Vyberte lineární, kruhový nebo eliptický pohyb a zaznamenejte a přehrávejte pohyb a analyzujte chování.

Ladybug Motion 2D screenshot.

klikněte na obrázek ke stažení. Pro spuštění simulace použijte Javu.

Oddíl Shrnutí

  • Dostředivé zrychlení ac je zrychlení zkušený, zatímco v jednotný kruhový pohyb. Vždy ukazuje na střed otáčení. To je kolmá k lineární rychlost v a má velikost {a}_{\text{c}}=\frac{{v}^{2}}{r};{a}_{\text{c}}={\mathrm{r\omega }}^{2}\\.
  • jednotka dostředivého zrychlení je m / s2.

Koncepční Otázky

  1. Může dostředivé zrychlení změna rychlosti kruhového pohybu? Vysvětlit.

problémy & cvičení

  1. pouťová jízda roztočí své cestující uvnitř kontejneru ve tvaru létajícího talíře. Pokud se vodorovné kruhové dráze jezdci následovat má 8,00 m poloměr, na kolik otáček za minutu budou jezdci podrobí dostředivé zrychlení, jehož velikost je 1.50 krát, že vzhledem ke gravitaci?
  2. běžce, kteří se účastní 200 m pomlčka musí běhat po konci trati, která má kruhový oblouk s poloměrem křivosti 30 m. Když dokončí 200 m pomlčka 23,2 s, a běží při konstantní rychlosti po celou dobu závodu, jaká je velikost jeho dostředivé zrychlení, jak se běhá v zakřivené části trati?
  3. vezmeme věk Země asi 4 × 109 let a předpokládáme její orbitální poloměr 1.5 × 1011 se nezměnil a je kruhový, Vypočítejte přibližnou celkovou vzdálenost, kterou země od svého narození urazila (v referenčním rámci stacionárním vzhledem ke Slunci).
  4. vrtule stíhacího letounu z druhé světové války má průměr 2,30 m. (a) jaká je jeho úhlová rychlost v radiánech za sekundu, pokud se točí při 1200 ot / min? b) jaká je lineární rychlost jeho hrotu při této úhlové rychlosti, pokud je rovina nehybná na asfaltu? c) jaké je za těchto podmínek dostředivé zrychlení hrotu vrtule? Výpočet v metrech za sekundu na druhou a převést na násobky g.
  5. obyčejné dílny brus má poloměr 7.50 cm a otáčí při 6500 ot/min. (a) Vypočítat velikost dostředivé zrychlení na jeho okraji v metrech za sekundu na druhou a převést na násobky g. (b) Co je lineární rychlost bodu na jeho okraji?
  6. čepele vrtulníků odolávají obrovskému namáhání. Kromě podpory hmotnosti vrtulníku se točí rychlým tempem a zažívají velké centripetální zrychlení, zejména na špičce. (a) Vypočítat velikost dostředivé zrychlení na hrotu 4.00 m dlouhý vrtulníku blade, který se otáčí rychlostí 300 ot/min. b) srovnejte lineární rychlost hrotu s rychlostí zvuku (340 m / s).
  7. olympijští bruslaři jsou schopni točit rychlostí asi 5 ot / s. (a) jaká je jejich úhlová rychlost v radiánech za sekundu? b) jaké je dostředivé zrychlení nosu bruslaře, pokud je 0,120 m od osy otáčení? (c) výjimečný bruslař jménem Dick Button dokázal v padesátých letech točit mnohem rychleji než kdokoli jiný-při přibližně 9 ot / s. Jaké bylo dostředivé zrychlení špičky nosu, za předpokladu, že je v poloměru 0,120 m? d) komentář k velikosti zjištěných zrychlení. Předpokládá se, že Button během jeho otočení praskl malé krevní cévy.
  8. Jaké procento zrychlení na zemském povrchu je zrychlení vzhledem ke gravitaci na pozici družice nachází 300 km nad zemí?
  9. Ověřte, zda lineární rychlost ultracentrifuge je o 0.50 km/s, a Zemi na jeho oběžné dráze je asi 30 km/s podle výpočtu: (a) lineární rychlost bodu na ultracentrifuge 0.100 m od jeho centra, otáčení na 50.000 ot/min; (b) lineární rychlosti Země na její oběžné dráze kolem Slunce (použijte údaje z textu na poloměru oběžné dráhy Země a přibližnou to jako kruhový).
  10. rotující vesmírné stanice je řekl, aby vytvořit „umělé gravitace“—volně definovaný termín, používaný pro zrychlení, které by bylo hrubě podobné gravitaci. Vnější zdi rotující vesmírné stanice by se stala podlaha pro astronauty, a dostředivé zrychlení dodává podlaze by umožnilo astronautů na cvičení a udržení svalové hmoty a pevnost kostí více přirozeně než v non-rotující vesmírné prostředí. Pokud má vesmírná stanice průměr 200 m, jaká úhlová rychlost by na okraji vytvořila „umělou gravitaci“ 9,80 m/s2?
  11. při vzletu má komerční letadlo rychlost 60,0 m / s. Jeho pneumatiky mají průměr 0.850 m. (a) Na kolik ot/min jsou pneumatiky otáčí? b) jaké je dostředivé zrychlení na okraji pneumatiky? c) s jakou silou musí určená bakterie 1,00 × 10-15 kg přilnout k okraji? (d) vezměte poměr této síly k hmotnosti bakterie.
  12. integrované koncepty. Jezdci v zábavním parku ve tvaru vikingské lodi zavěšené z velkého čepu se otáčejí sem a tam jako tuhé kyvadlo. Někdy blízko středu jízdy, loď je momentálně nehybná v horní části kruhového oblouku. Loď se pak pod vlivem gravitace houpe dolů. (a) za Předpokladu zanedbatelné tření, najít rychlost jezdce v dolní části svého oblouku, vzhledem k tomu, systém se těžiště pohybuje v oblouku s poloměrem 14.0 m a jezdci jsou v blízkosti těžiště. b) jaké je dostředivé zrychlení ve spodní části oblouku? (c) nakreslete schéma volného těla sil působících na jezdce ve spodní části oblouku. d) zjistěte sílu vyvíjenou jízdou na jezdce o hmotnosti 60,0 kg a porovnejte ji s její hmotností. e) diskutujte o tom, zda se odpověď jeví jako přiměřená.
  13. nepřiměřené výsledky. Matka tlačí své dítě na houpačce tak, aby jeho rychlost byla 9.00 m / s v nejnižším bodě jeho cesty. Houpačka je zavěšena 2, 00 m nad středem hmoty dítěte. a) jaká je velikost centripetálního zrychlení dítěte v nízkém bodě? b) jaká je velikost síly, kterou dítě působí na sedadlo, je-li jeho hmotnost 18,0 kg? c) Co je na těchto výsledcích nepřiměřené? d) které prostory jsou nepřiměřené nebo nekonzistentní?

Glosář

centripetální zrychlení: zrychlení objektu pohybujícího se v kruhu, směřující ke středu

ultracentrifuge: odstředivka optimalizované pro rotující rotor při velmi vysokých rychlostech,

Vybrané Řešení Problémů & Cvičení

1. 12,9 ot / min

3. 4 × 1021 m

5. (a) 3.47 × 104 m/s2, 3.55 × 103 g; (b) 51.1 m/s

7. a) 3,14 rad / s; b) 118 m / s; c) 384 m / s; d) dostředivé zrychlení, které pociťují olympijští bruslaři, je 12krát větší než zrychlení způsobené gravitací. To je samo o sobě docela hodně zrychlení. Centripetální zrychlení pociťované Buttonovým nosem bylo 39,2 krát větší než zrychlení způsobené gravitací. Není divu, že ve svých otáčkách praskl malé krevní cévy.

9. a) 0,524 km / s; b) 29,7 km/s

11. (a) 1.35 × 103 ot / min; (b) 8.47 × 103 m/s2; (c) 8.47 × 10-12 N; (d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19.6 m/s2;

(c)

obdélník se základnou delší, než je výška. Svislá čára s hroty šípů na obou koncích prochází obdélníkem a protíná vodorovné strany. Horní šipkou je označen N, a dno je označen ;

(d) 1.76 × 103 N nebo 3.00 w, to znamená, že normálová síla (směrem nahoru) je třikrát její hmotnost; (e) Tato odpověď se zdá být rozumná, protože má pocit, že je do křesla tlačena mnohem silněji než jen gravitací.

13. (a) 40,5 m / s2; (b) 905 N; (c) síla v části (b) je velmi velká. Zrychlení v části (a) je příliš velké, asi 4 g; (d) rychlost houpání je příliš velká. V dané rychlosti v dolní části proudu, tam je dostatek kinetické energie, aby se poslat dítě celou cestu přes vrchol, ignoruje tření.