Pythagoras a DiophantusEdit

Pythagorova triplesEdit

V dávných dobách to bylo známo, že trojúhelník, jehož strany jsou v poměru 3:4:5 by mít právo úhlem jako jeden z jeho úhlů. To bylo použito ve stavebnictví a později v rané geometrii. To bylo také známo, že je jedním z příkladů obecné pravidlo, že jakýkoliv trojúhelník, kde délka dvě strany, každá na druhou a pak se sčítají (32 + 42 = 9 + 16 = 25), rovná metr délky třetí strany (52 = 25), by také být pravý úhel trojúhelníku.Toto je nyní známé jako Pythagorova věta a trojnásobek čísel, který splňuje tuto podmínku, se nazývá Pythagorův trojnásobek-oba jsou pojmenovány podle starověkého řeckého Pythagoras. Příklady zahrnují (3, 4, 5)a (5, 12, 13). Existuje nekonečně mnoho takových trojic, a metody pro generování těchto trojic byly studovány v mnoha kulturách, počínaje Babylóňané a později starověké řecké, Čínské a Indické matematiky. Matematicky, definice Pythagorovy triple je sada tří čísel (a, b, c), které splňují rovnici a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle A^{2}+b^{2}=C^{2}.}

diofantinové rovníkyeditovat

Fermatova rovnice xn + yn = zn s pozitivní celočíselné řešení, je příkladem Diophantine rovnice, pojmenovaný pro 3.-století Alexandrijský matematik, Diophantus, kdo je studoval, a vyvinul metody pro řešení některých druhů Diophantine rovnic. Typické Diophantine problém je najít dvě celá čísla x a y taková, že jejich součet a součet jejich čtverců, rovných dvou daných čísel a a B, v tomto pořadí:

= x + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.}

diophantovým hlavním dílem je aritmetika, z níž se dochovala pouze část. Fermatova domněnka, že jeho Poslední Věta byla inspirována při čtení nové vydání Arithmetica, který byl přeložen do latiny a publikoval v roce 1621 Claude Bachet.

diofantické rovnice byly studovány po tisíce let. Například, řešení kvadratické rovnice, Diophantine rovnice x2 + y2 = z2 jsou dány Pythagorova třílůžkové, původně řešen Babyloňané (c. 1800 před naším LETOPOČTEM). Řešení lineárních diofantických rovnic, jako je 26x + 65y = 13, lze nalézt pomocí euklidovského algoritmu (c. 5. století před naším letopočtem).Mnoho Diophantine rovnice mají tvar podobný rovnici velká Fermatova Věta z hlediska algebry, v tom, že mají žádný kříž podmínek míchání dvě písmena, bez sdílení jeho konkrétní vlastnosti. Například, je známo, že existuje nekonečně mnoho kladných celých čísel x, y a z taková, že xn + yn = zm, kde n a m jsou nesoudělné přirozených čísel.

Fermatova conjectureEdit

Problém II.8 Arithmetica se ptá, jak dané čtvercové číslo je rozdělena do dvou čtverců; jinými slovy, pro dané racionální číslo k, najít racionální čísla u a v takové, že k2 = u2 + v2. Diophantus ukazuje, jak vyřešit tento problém I ‚ m-of-squares pro K = 4 (řešení jsou u = 16/5 a v = 12/5).

Kolem 1637, navržen tak, aby napsal jeho Poslední Věta v rozpětí jeho kopii Aritmetický vedle Diophantus ‚ jsem-z-čtverce problém:

Krychle ve dvou cubos, nebo quadratoquadratum ve dvou quadratoquadratos & obecně udržitelné do nekonečna za metr napájení ze dvou stejného jména, správně je rozdělit problém demonstraci nádherné detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

To je nemožné rozdělit krychli do dvou krychlí, či čtvrtou sílu, do dvou čtvrté pravomoci, nebo obecně, jakékoliv energie vyšší než druhé, do dvou, jako schopnosti. Objevil jsem o tom opravdu úžasný důkaz, který je tento okraj příliš úzký na to, aby ho obsahoval.

Po Fermatova smrti v roce 1665, jeho syn Clément-Samuel Fermat vyrábí nové vydání knihy (1670) rozšířené s jeho otcem připomínky. I když to není ve skutečnosti věta, v té době (význam matematického výrazu, pro který existuje důkaz), rozpětí vědomí, stal se známý v průběhu času jako velká Fermatova Věta, jak to bylo poslední Fermatova tvrdil, věty se nepotvrdí.

není známo, zda Fermat skutečně našel platný důkaz pro všechny exponenty n, ale zdá se nepravděpodobné. Přežil pouze jeden související důkaz, a to pro případ n = 4, Jak je popsáno v části důkazy pro konkrétní exponenty.Zatímco Fermat představuje případy n = 4 a n = 3, jako výzvy pro jeho matematické zpravodajů, jako Marin Mersenne, Blaise Pascal, a John Wallis, nikdy se představuje v obecném případě. Navíc, v posledních třiceti letech svého života, Fermat nikdy znovu napsal jeho „opravdu úžasné důkaz“ obecný případ, a nikdy zveřejněna. Van der Poorten naznačuje, že zatímco absence důkazu je zanedbatelný, nedostatek výzvy znamená, že Fermat si uvědomil, že neměl důkaz, cituje No, jak říká Fermatova musí mít krátce se klamal sám sebe s nenahraditelnou nápad.

techniky, které mohl Fermat použít v takovém „úžasném důkazu“, nejsou známy.

důkaz Taylora a Wilese se opírá o techniky 20. století. Fermatův důkaz by musel být elementární ve srovnání, vzhledem k matematickým znalostem své doby.

Zatímco Harvey Friedman grand dohad znamená, že každá dokazatelná věta (včetně Fermatova poslední věta) lze prokázat pouze pomocí elementární funkce aritmetické‘, že takový důkaz je třeba být ‚základní‘ pouze v technickém slova smyslu a může zahrnovat miliony stupňů, a tedy být příliš dlouhé, aby byly Fermatův důkaz.

Důkazy pro konkrétní exponentsEdit

Exponent = 4Edit

Jediný relevantní důkaz Fermatova přežil, v kterých používá techniku nekonečný sestup ukázat, že oblast pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými stranami, se nikdy nemůže rovnat na náměstí na celé číslo. Jeho důkaz je ekvivalentní k prokázání, že rovnice

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

nemá primitivní řešení v celá čísla (ne párovaný coprime řešení). To zase dokazuje Fermatovu poslední větu pro případ n = 4, protože rovnici a4 + b4 = c4 lze zapsat jako c4-b4 = (a2) 2.

Alternativní důkazy z případu n = 4 byly vyvinuty později Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgueův (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlíka (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant a Perella (1999), Barbara (2007) a Dolan (2011).

Další exponentsEdit

Poté, co Fermat ukázal zvláštní případ n = 4, obecný důkaz pro všechny n vyžaduje pouze to, že věta má být stanoveno pro všechny exponenty liché prvočíslo. Jinými slovy, bylo nutné prokázat pouze to, že rovnice an + bn = cn nemá žádné kladné celé řešení (a, b, c) když n je liché prvočíslo. Vyplývá to proto, že řešení (a, b, c) pro dané n je ekvivalentní řešení pro všechny faktory n. Pro ilustraci nechť n být zapracovány do d a e, n = de. Obecné rovnice

an + bn = cn

znamená, že (ad, bd, cd) je řešení pro exponent e,

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

Proto, aby dokázal, že Fermatova rovnice nemá žádné řešení pro n > 2, to by stačilo dokázat, že to nemá žádné řešení pro alespoň jedno prvočíslo pro každé n. Každé celé číslo n > 2 je dělitelné 4 nebo liché prvočíslo (nebo obojí). Proto by Fermatova poslední věta mohla být prokázána pro všechna n, pokud by mohla být prokázána pro n = 4 a pro všechna lichá prvočísla p.

Ve dvou staletí po jeho dohad (1637-1839), velká Fermatova Věta byla dokázána pro tři exponenty liché prvočíslo p = 3, 5 a 7. Případ p = 3 poprvé uvedl Abu-Mahmud Khojandi (10. století), ale jeho pokus o důkaz věty byl nesprávný. V roce 1770 dal Leonhard Euler důkaz p = 3, ale jeho důkaz nekonečným sestupem obsahoval velkou mezeru. Nicméně, protože Euler sám prokázal lemma nezbytné k dokončení důkazu v jiné práci, on je obecně připočítán s prvním důkazem. Nezávislé důkazy byly zveřejněny Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlíka (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917), a Duarte (1944).

případ p = 5 prokázali nezávisle Legendre a Peter Gustav Lejeune Dirichlet kolem roku 1825. Alternativní důkazy byly vyvinuty Carl Friedrich Gauss (1875, in memoriam), Lebesgueův (1843), lesklá tkanina (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlíka (1910), van der Corput (1915), a Chlap Terjanian (1987).

případ p = 7 prokázal Lamé v roce 1839. Jeho poměrně komplikovaný důkaz zjednodušil v roce 1840 Lebesgue a ještě jednodušší důkazy publikoval Angelo Genocchi v letech 1864, 1874 a 1876. Alternativní důkazy vyvinuli Théophile Pépin (1876) a Edmond Maillet (1897).

Fermatova poslední věta byla také prokázána pro exponenty n = 6, 10 a 14. Důkazy pro n = 6 byly publikovány Kauslerem, Thue, Tafelmacherem, Lindem, Kapfererem, Swiftem a Breuschem. Podobně, Dirichlet a Terjanian každý prokázal případ n = 14, zatímco Kapferer a Breusch každý prokázal případ n = 10. Přesně řečeno, tyto důkazy jsou zbytečné, protože tyto případy vyplývají z důkazů pro n = 3, 5 a 7. Odůvodnění těchto sudých exponentů se však liší od jejich protějšků lichých exponentů. Dirichletův důkaz pro n = 14 byl publikován v roce 1832, před Lamého 1839 důkaz pro n = 7.

všechny důkazy pro specifické exponenty používaly fermatovu techniku nekonečného sestupu, buď v původní podobě, nebo ve formě sestupu na eliptických křivkách nebo abelovských odrůdách. Podrobnosti a pomocné argumenty však byly často ad hoc a vázány na uvažovaného jednotlivého exponenta. Od té doby se stal stále více složité, jak p zvýšila, zdálo se nepravděpodobné, že obecný případ velká Fermatova Věta by mohla být prokázána na základě důkazů pro jednotlivé exponenty. I když některé obecné výsledky na velká Fermatova Věta byla zveřejněna na počátku 19. století Niels Henrik Abel a Peter Barlow, první významné práce o obecné věty bylo provedeno Sophie Germain.

Brzy moderní breakthroughsEdit

Sophie GermainEdit

na počátku 19. století, Sophie Germain vyvinula několik nových přístupů dokázat, Fermatova Poslední Věta pro všechny exponenty. Za prvé, ona definovanými sadu pomocných prvočísel θ {\displaystyle \theta }

vyrobeno z hlavní exponent p {\displaystyle p}

podle rovnice θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, kde h {\displaystyle h}

je libovolné celé číslo není dělitelné třemi. Ukázala, že, pokud ne celá čísla zvýšena na p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

power byly přilehlé modulo θ {\displaystyle \theta }

(non-consecutivity stavu), pak θ {\displaystyle \theta }

musí dělit součin x y z {\displaystyle xyz}

. Jejím cílem bylo využít matematickou indukcí dokázat, že pro daný p {\displaystyle p}

, nekonečně mnoho pomocných prvočísel θ {\displaystyle \theta }

spokojeni non-consecutivity podmínky, a tak se dělí x y z {\displaystyle xyz}

; jelikož součin x y z {\displaystyle xyz}

může mít nejvýše konečný počet prvočíselných dělitelů, takový důkaz by vytvořily velká Fermatova Věta. Ačkoli vyvinula mnoho technik pro stanovení stavu nesekvence, nedosáhla svého strategického cíle. Pracovala také stanovit nižší limity na velikost řešení Fermatova rovnice pro daný exponent p {\displaystyle p}

, upravená verze, která byla zveřejněna Adrien-Marie Legendre. Jako vedlejší produkt této druhé práci se ukázalo, že Sophie Germain je věta, která ověřila první případ velká Fermatova Věta (tj. případ, ve kterém p {\displaystyle p}

nerozděluje x y z {\displaystyle xyz}

) pro každé liché prvočíslo exponent menší než 270 {\displaystyle 270}

, a pro všechna prvočísla p {\displaystyle p}

takové, že alespoň jeden z 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

je prvočíslo (speciálně, prvočísla p {\displaystyle p}

takové, že 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

je prvočíslo se nazývá Sophie Germain prvočísla). Germain se neúspěšně snažil dokázat, že první případ velká Fermatova Věta pro všechny i exponenty, speciálně pro n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, což dokázali tím, že Chlap Terjanian v roce 1977. V roce 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown a Étienne Fouvry se ukázalo, že první případ velká Fermatova Věta platí pro nekonečně mnoho lichých prvočísel p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer a teorie idealsEdit

V roce 1847, Gabriel Lamé nastínil důkaz velká Fermatova Věta na základě factoringové rovnice xp + yp = zp v komplexních číslech, konkrétně cyclotomic pole založené na kořenech číslo 1. Jeho důkaz však selhal, protože nesprávně předpokládal, že taková složitá čísla mohou být jednoznačně započítána do prvočísel, podobně jako celá čísla. Na tuto mezeru okamžitě poukázal Joseph Liouville, který později četl článek, který prokázal toto selhání jedinečné faktorizace, napsal Ernst Kummer.

Kummer si dal za úkol určit, zda lze cyklotomické pole zobecnit tak, aby zahrnovalo nová prvočísla tak, aby byla obnovena jedinečná faktorizace. V tomto úkolu uspěl vytvořením ideálních čísel.

(Poznámka: často se uvádí, že Kummer byl vedl k jeho „ideální komplexní čísla“ tím, že jeho zájem o velká Fermatova Věta, tam je i příběh často říkal, že Kummer, jako je Lamé, věřil, že měl prokázáno, velká Fermatova Věta, dokud Lejeune Dirichlet mu řekl, že jeho argument se spoléhal na unikátní faktorizace; tento příběh však poprvé vyprávěl Kurt Hensel v roce 1910 a důkazy naznačují, že pravděpodobně pochází ze zmatku jednoho z henselových zdrojů. Harold Edwards říká, že víra, že Kummer se zajímal hlavně o Fermatovu poslední větu, „je jistě mylná“. Podívejte se na historii ideálních čísel.)

pomocí obecného přístupu, který nastínil Lamé, dokázal Kummer oba případy Fermatovy poslední věty pro všechna regulární prvočísla. Nemohl však dokázat větu o výjimečných prvočíslech (nepravidelných prvočíslech), které se předpokládají přibližně 39% času; jedinými nepravidelnými prvočísly pod 270 jsou 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 a 263.

Mordell conjectureEdit

V roce 1920, Louis Mordell představuje domněnka, že naznačil, že Fermatova rovnice má nejvýše konečný počet netriviální primitivní celočíselné řešení, pokud exponent n je větší než dvě. Tato domněnka byla prokázána v roce 1983 Gerdem Faltingsem a nyní je známá jako Faltingova věta.

Výpočetní studiesEdit

V druhé polovině 20. století, výpočetní metody byly použity k prodloužení Kummer přístup k nepravidelné prvočísel. V roce 1954 použil Harry Vandiver počítač SWAC, aby dokázal Fermatovu poslední větu pro všechna prvočísla až do 2521. Do roku 1978 to Samuel Wagstaff rozšířil na všechny prvočísla necelých 125 000. V roce 1993 byla Fermatova poslední věta prokázána pro všechna prvočísla menší než čtyři miliony.

navzdory těmto snahám a jejich výsledkům však neexistoval žádný důkaz o Fermatově poslední větě. Důkazy jednotlivých exponentů ze své podstaty nemohl nikdy dokázat obecném případě: i když všechny exponenty byly ověřeny až extrémně velké číslo X, vyšší exponent za X mohly ještě existovat, pro které tvrzení není pravda. (To byl případ některých jiných minulých dohadů a v této domněnce to nebylo možné vyloučit.)

Spojení s eliptickými curvesEdit

strategie, které nakonec vedly k úspěšné důkaz velká Fermatova Věta vznikla z „ohromující“:211 Taniyama–Shimura–Weil dohady, navržené kolem roku 1955—což mnozí matematici věřili, že by bylo téměř nemožné dokázat,:223 a byl spojen v roce 1980 Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre a Ken Ribet, aby Fermatova rovnice. Plněním částečným důkazem této domněnky v roce 1994 Andrew Wiles nakonec uspěl při dokazování Fermatova Posledního Teorému, stejně jako vede cesta k plnému důkazu ostatní, co je nyní známé jako modularita věta.

Taniyama–Shimura–No conjectureEdit

Kolem Roku 1955, Japonských matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama pozorovat možnou souvislost mezi dvěma zdánlivě zcela odlišných oborech matematiky, eliptické křivky a modulární formy. Výsledná věta modularity (v té době známá jako domněnka Taniyama–Shimura) uvádí, že každá eliptická křivka je modulární, což znamená, že může být spojena s jedinečnou modulární formou.

odkaz byl zpočátku odmítnut jako nepravděpodobný nebo vysoce spekulativní, ale byla přijata mnohem vážněji, když počet teoretik André Weil našli důkazy podporující to, i když ne dokázat to; jako výsledek dohad byl často známý jako Taniyama–Shimura–Weil dohady.:211-215

i po získání vážné pozornosti byla domněnka soudobými matematiky považována za mimořádně obtížnou nebo možná nepřístupnou důkazu.:203-205, 223, 226 například Wiles doktorské vedoucí John Coates státy, že se zdálo „nemožné, aby skutečně dokázat,“,: 226 a Ken Ribet považoval za „jeden z drtivá většina lidí, kteří věřili, byl zcela nepřístupné“, a dodal, že „Andrew Wiles byl asi jeden z mála lidí na zemi, který měl odvahu, aby sen, že můžete skutečně jít a dokázat .“:223

Ribet věta pro Frey curvesEdit

V roce 1984, Gerhard Frey poznamenal souvislost mezi Fermatova rovnice a modularita věta, pak stále dohady. Pokud Fermatova rovnice měla nějaké řešení (a, b, c) pro exponent p > 2, pak by to mohlo být prokázáno, že semi-stabilní eliptická křivka (nyní známý jako Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x − ap)(x + bp)

by takové neobvyklé vlastnosti, že je nepravděpodobné, být modulární. To by bylo v rozporu s teorémem modularity, který tvrdil, že všechny eliptické křivky jsou modulární. Jako takový, Frey poznamenal, že důkaz o domněnce Taniyama-Shimura-Weil může také současně prokázat Fermatovu poslední větu. V rozporu, disproof nebo vyvrácení Poslední Fermatovy věty by vyvrátilo domněnku Taniyama-Shimura-Weil.

v prosté angličtině Frey ukázal, že pokud tato intuice o jeho rovnici byla správná, pak jakákoli sada 4 čísel (a, b, c, n) schopná vyvrátit Fermatovu poslední větu, mohla být také použita k vyvrácení domněnky Taniyama–Shimura–Weil. Proto, pokud by to bylo pravdivé, první nemohlo být vyvráceno a muselo by to být také pravda.

po této strategii vyžadoval důkaz Poslední Fermatovy věty dva kroky. Nejprve bylo nutné prokázat větu modularity-nebo ji alespoň dokázat pro typy eliptických křivek, které zahrnovaly Freyovu rovnici (známou jako semistabilní eliptické křivky). To bylo široce věřil nepřístupný důkaz současnými matematiky.:203-205, 223, 226 a za Druhé, bylo nutné ukázat, že Frey je intuice byla správná: že pokud eliptická křivka byla postavena tímto způsobem, pomocí sady čísel, které byly na řešení Fermatova rovnice, výsledný eliptická křivka nemůže být modulární. Frey ukázal, že to bylo věrohodné, ale nešel tak daleko, že poskytl úplný důkaz. Chybějící kus (tzv. „epsilon dohad“, nyní známý jako Ribet věta) byl identifikován Jean-Pierre Serre, který také dal téměř kompletní důkaz a odkaz navrhl Frey byl nakonec dokázal v roce 1986 Ken Ribet.

Následující Frey, Serre a Ribet práce, to bylo místo, kde věci stojí:

• velká Fermatova Věta potřeboval být prokázáno pro všechny exponenty n, které jsou prvočísla.
• věta o modularitě-pokud by byla prokázána pro polostabilní eliptické křivky – by znamenala, že všechny semistabilní eliptické křivky musí být modulární.
• Ribet teorém ukázal, že jakékoli řešení Fermatova rovnice pro prvočíslo může být použit k vytvoření semistable eliptické křivky, které nemohly být modulární;
• jediný způsob, že oba z těchto prohlášení může být pravda, byl-li žádné řešení neexistovalo, aby Fermatova rovnice (protože pak žádné takové křivky by mohly být vytvořeny), což bylo to, co Fermat je Poslední Teorém řekl. Jak již byla prokázána Ribetova věta, znamenalo to, že důkaz modularity by automaticky dokázal, že Fermatova poslední věta byla také pravdivá.

Wiles obecné proofEdit

Ribet to důkaz, že epsilon domněnek v roce 1986 dokončila první ze dvou cílů navržené Frey. Na slyšení Ribet úspěch, Andrew Wiles, anglický matematik s dětství fascinace velká Fermatova Věta, a kteří pracovali na eliptické křivky, se rozhodl zavázat se k plnění druhé polovině: prokázání zvláštní případ modularita věta (pak známý jako Taniyama–Shimurova domněnka) pro semistable eliptické křivky.

Wiles pracoval na tomto úkolu za šest let v téměř naprosté tajnosti, skrývání jeho úsilí tím, že uvolňuje předchozí práce v malých segmentech jako samostatné dokumenty a spoléhá pouze na svou ženu.:229-230 Jeho počáteční studie navrhl důkaz indukcí,:230-232, 249-252 a je založen na jeho původní práci a první významný průlom na Osnova teorie:251-253, 259 před přepnutím na pokus o rozšíření horizontální Iwasawa teorie pro induktivní argument kolem 1990-91, kdy se zdálo, že neexistuje žádný stávající přístup adekvátní problému.: 258-259 do poloviny roku 1991 se však zdálo, že Iwasawova teorie nedosahuje ústředních problémů tohoto problému.:259-260 V reakci, byl osloven kolegy hledat jakékoliv náznaky, řezání-hrana výzkumu a nové techniky, a objevil Euler systém nedávno vyvinut Victor Kolyvagin a Matthias Flach, že se zdálo, „šitý na míru“ pro induktivní část jeho důkaz.: 260-261 Wiles studoval a rozšířil tento přístup, který fungoval. Protože jeho práce se spoléhal ve velké míře na tento přístup, který byl pro matematiky a Lsti, v lednu 1993 požádal jeho Princeton kolega Nick Katz, aby mu pomohli zkontrolovat jeho argumentace pro jemné chyby. Jejich závěr v té době byl, že použité techniky Wiles vypadaly, že fungují správně.:261-265

v polovině Května 1993, Lsti cítil schopen říct manželce, že si myslel, že byl vyřešen důkaz velká Fermatova Věta,:265 a do června se cítil dostatečně jistý na to, představit své výsledky ve třech přednášek na 21-23. června 1993 na Isaac Newton Ústavu pro Matematické Vědy. Konkrétně, Lsti představil svůj důkaz Taniyama–Shimurova domněnka o semistable eliptické křivky; spolu s Ribet to důkaz, že epsilon dohad, to znamená, velká Fermatova Věta. Během vzájemného hodnocení se však ukázalo, že kritický bod v důkazu byl nesprávný. To obsahovalo chybu v vázané na pořadí určité skupiny. Chybové byl chycen několik matematici rozhodčích Wiles rukopis včetně Katz (v jeho roli jako recenzent), který upozornil Wiles dne 23. srpna 1993.

chyba by způsobily, že jeho dílo bezcenné – každá část Wiles práce bylo velmi významné a inovativní sám o sobě, jako byli mnozí vývoj a techniky, kterou vytvořil v průběhu své práce, a pouze jedna část byla ovlivněna.:289, 296-297 nicméně, aniž by tato část prokázala, neexistoval žádný skutečný důkaz o Fermatově poslední větě. Wiles strávil téměř rok pokusem opravit svůj důkaz, zpočátku sám a poté ve spolupráci se svým bývalým studentem Richardem Taylorem, bez úspěchu. Do konce roku 1993 se šířily zvěsti, že pod kontrolou selhal Wilesův důkaz, ale jak vážně nebylo známo. Matematici začali tlačit Wiles zveřejnit svou práci, zda to bylo úplné, nebo ne, tak, aby širší komunita mohla prozkoumat a použít, co se mu podařilo dosáhnout. Ale místo toho, aby byl opraven, problém, který se původně zdál menší, nyní se zdálo velmi významné, mnohem vážnější, a méně snadno vyřešit.

Wiles uvádí, že na ráno 19. září 1994, byl na pokraji vzdát a byla téměř smířená s to se mu nepodařilo, a k publikování jeho práce tak, aby ostatní mohli stavět na to a chybu opravit. Dodává, že má konečný vzhled, aby se pokusila pochopit základní důvody, proč je jeho přístup nemohl být provedena do práce, kdy měl náhlý vhled–, že konkrétní důvod, proč Kolyvagin–Flach přístup nebude fungovat přímo také znamenalo, že jeho původní pokusy pomocí Iwasawa teorie by mohla být do práce, pokud bude posílena pomocí jeho zkušeností z Kolyvagin–Flach přístup. Oprava jednoho přístupu pomocí nástrojů z druhého přístupu by vyřešila problém pro všechny případy,které již nebyly prokázány jeho referátem. Popsal později Iwasawa teorie a Kolyvagin–Flach přístup byl každý nedostatečné na jejich vlastní, ale společně by mohly být dost silný, aby překonat tuto poslední překážku.

“ seděl jsem u stolu a zkoumal metodu Kolyvagin-Flach. Nebylo to tak, že bych věřil, že to dokážu, ale myslel jsem si, že alespoň dokážu vysvětlit, proč to nefunguje. Najednou jsem měl toto neuvěřitelné zjevení. Uvědomil jsem si, že metoda Kolyvagin-Flach nefunguje, ale bylo to vše, co jsem potřeboval, aby moje původní teorie Iwasawa fungovala před třemi lety. Takže z popela Kolyvagin–Flach se zdálo, že se zvedla skutečná odpověď na problém. Bylo to tak nepopsatelně krásné; bylo to tak jednoduché a tak elegantní. Nechápala jsem, jak mi to uniklo a dvacet minut jsem na to nevěřícně zírala. Pak jsem přes den obešel oddělení a vracel se ke svému stolu a hledal, jestli tam ještě je. Pořád to tam bylo. Nemohl jsem se ovládnout, byl jsem tak nadšený. Byl to nejdůležitější okamžik mého pracovního života. Nic, co udělám, už nebude tolik znamenat.“— Andrew Wiles, jak citoval Simon Singh

Dne 24. října 1994 Wiles předloženy dva rukopisy, „Modulární eliptické křivky a velká Fermatova Věta“ a „Ring teoretické vlastnosti některých Hecke algebry“, z nichž druhý byl spoluautorem s Taylor a dokázal, že splněny určité podmínky, které byly nutné k ospravedlnění opraveny krok v původním papíru. Tyto dva dokumenty byly prověřeny a zveřejněny jako celek května 1995 vydání Annals of Mathematics. Tyto dokumenty založena modularita věta pro semistable eliptické křivky, poslední krok v důkazu Fermatova Posledního Teorému, 358 let po to bylo se domníval.

Následné developmentsEdit

plné Taniyama–Shimura–No domněnka byla nakonec prokázána Diamond (1996) harvtxt chyba: více cílů (2×): CITEREFDiamond1996 (nápověda), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt chyba: více cílů (2×): CITEREFConradDiamondTaylor1999 (pomoci), a Breuil et al. (2001) chyba harvtxt: více cílů (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (pomoci), který v návaznosti na Wiles práce, postupně zahodili zbývajících případech až do úplného výsledku bylo prokázáno. Nyní plně prokázaná domněnka se stala známou jako věta modularity.

několik dalších vět v teorii čísel podobných Fermatově poslední větě také vyplývá ze stejného uvažování pomocí věty o modularitě. Například: žádná krychle nemůže být zapsána jako součet dvou koprimních n-tých mocnin, n ≥ 3. (Případ n = 3 byl již znám Eulerem.)