Diophantische Gleichungen werden seit Tausenden von Jahren untersucht. Zum Beispiel sind die Lösungen der quadratischen diophantischen Gleichung x2 + y2 = z2 durch die pythagoreischen Tripel gegeben, die ursprünglich von den Babyloniern (um 1800 v. Chr.) gelöst wurden. Lösungen für lineare diophantische Gleichungen wie 26x + 65y = 13 können mit dem euklidischen Algorithmus (c. 5. Jahrhundert v. Chr.) gefunden werden.Viele diophantische Gleichungen haben aus algebraischer Sicht eine ähnliche Form wie die Gleichung von Fermats letztem Satz, da sie keine Kreuzterme haben, die zwei Buchstaben mischen, ohne ihre besonderen Eigenschaften zu teilen. Zum Beispiel ist bekannt, dass es unendlich viele positive ganze Zahlen x, y und z gibt, so dass xn + yn = zm wobei n und m relativ Primzahlen sind.

Fermat’s conjectureEdit

Problem II.8 in der Ausgabe 1621 der Arithmetica von Diophantus. Rechts ist der Rand, der zu klein war, um Fermats angeblichen Beweis seines „letzten Theorems“ zu enthalten.

Problem II.8 der Arithmetica fragt, wie eine gegebene Quadratzahl in zwei andere Quadrate aufgeteilt wird; mit anderen Worten, für eine gegebene rationale Zahl k finden Sie rationale Zahlen u und v, so dass k2 = u2 + v2 . Diophantus zeigt, wie man dieses I’m-of-Squares-Problem für k = 4 löst (die Lösungen sind u = 16/5 und v = 12/5).

Um 1637 schrieb er seinen letzten Satz am Rande seiner Kopie der Arithmetik neben Diophantus ‚Ich bin-von-Quadraten-Problem:

Nach Fermats Tod im Jahr 1665 produzierte sein Sohn Clément-Samuel Fermat eine neue Ausgabe des Buches (1670), die mit den Kommentaren seines Vaters ergänzt wurde. Obwohl es zu dieser Zeit kein Theorem war (was eine mathematische Aussage bedeutet, für die Beweise existieren), wurde die Randnotiz im Laufe der Zeit als Fermats letzter Satz bekannt, da es der letzte von Fermats behaupteten Theoremen war, der unbewiesen blieb.

Es ist nicht bekannt, ob Fermat tatsächlich einen gültigen Beweis für alle Exponenten n gefunden hat, aber es scheint unwahrscheinlich. Nur ein verwandter Beweis von ihm hat überlebt, nämlich für den Fall n = 4, wie im Abschnitt Beweise für bestimmte Exponenten beschrieben.Während Fermat die Fälle von n = 4 und von n = 3 als Herausforderungen an seine mathematischen Korrespondenten wie Marin Mersenne, Blaise Pascal und John Wallis stellte, stellte er nie den allgemeinen Fall. Darüber hinaus schrieb Fermat in den letzten dreißig Jahren seines Lebens nie wieder von seinem „wahrhaft wunderbaren Beweis“ für den allgemeinen Fall und veröffentlichte ihn nie. Van der Poorten schlägt vor, dass, während das Fehlen eines Beweises unbedeutend ist, der Mangel an Beweisen bedeutet, dass Fermat erkannte, dass er keinen Beweis hatte; Er zitiert Weil mit den Worten, Fermat müsse sich kurz mit einer unwiederbringlichen Idee getäuscht haben.

Die Techniken, die Fermat für einen solchen „wunderbaren Beweis“ verwendet haben könnte, sind unbekannt.

Der Beweis von Taylor und Wiles beruht auf Techniken des 20.Jahrhunderts. Fermat’s Beweis hätte elementar im Vergleich, angesichts der mathematischen Kenntnisse seiner Zeit.Während Harvey Friedmans große Vermutung impliziert, dass jeder beweisbare Satz (einschließlich Fermats letztem Satz) nur mit ‚elementarer Funktionsarithmetik‘ bewiesen werden kann, muss ein solcher Beweis nur in einem technischen Sinne ‚elementar‘ sein und könnte Millionen von Schritten beinhalten und somit viel zu lang sein, um Fermats Beweis zu sein.

Beweise für bestimmte Exponentenbearbeiten

Fermats unendlicher Abstieg für Fermats letzten Satz Fall n=4 in der Ausgabe 1670 der Arithmetica Diophantus (S. 338-339).

Exponent = 4Edit

Nur ein relevanter Beweis von Fermat ist erhalten geblieben, in dem er die Technik des unendlichen Abstiegs verwendet, um zu zeigen, dass die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten niemals dem Quadrat einer ganzen Zahl entsprechen kann. Sein Beweis entspricht dem Nachweis, dass die Gleichung

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

keine primitiven Lösungen in ganzen Zahlen hat (keine paarweisen Koprimlösungen). Dies wiederum beweist Fermats letzten Satz für den Fall n = 4, da die Gleichung a4 + b4 = c4 als c4 − b4 = (a2)2 geschrieben werden kann.Alternative Beweise für den Fall n = 4 wurden später von Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Knall (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant und Perella (1999), Barbara (2007) und Dolan (2011).

Andere Exponentenbearbeiten

Nachdem Fermat den Sonderfall n = 4 bewiesen hatte, erforderte der allgemeine Beweis für alle n nur, dass der Satz für alle ungeraden Primzahlen aufgestellt wurde Exponenten. Mit anderen Worten, es musste nur bewiesen werden, dass die Gleichung an + bn = cn keine positiven ganzzahligen Lösungen (a, b, c) hat, wenn n eine ungerade Primzahl ist. Dies folgt, weil eine Lösung (a, b, c) für ein gegebenes n einer Lösung für alle Faktoren von n entspricht. Die allgemeine Gleichung

an + bn = cn

impliziert, dass (ad, bd, cd) eine Lösung für den Exponenten e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

Um zu beweisen, dass die Fermat-Gleichung keine Lösungen für n > 2 , würde es ausreichen, zu beweisen, dass es keine Lösungen für mindestens einen Primfaktor von jedem n. Jede ganze Zahl n > 2 ist durch 4 oder eine ungerade Primzahl (oder beides) teilbar. Daher könnte Fermats letzter Satz für alle n bewiesen werden, wenn er für n = 4 und für alle ungeraden Primzahlen p bewiesen werden könnte.In den zwei Jahrhunderten nach seiner Vermutung (1637-1839) wurde Fermats letzter Satz für drei ungerade Primzahlen p = 3, 5 und 7 bewiesen. Der Fall p = 3 wurde zuerst von Abu-Mahmud Khojandi (10.Jahrhundert) angegeben, aber sein versuchter Beweis des Satzes war falsch. 1770 gab Leonhard Euler einen Beweis von p = 3, aber sein Beweis durch unendlichen Abstieg enthielt eine große Lücke. Da Euler selbst jedoch das Lemma bewiesen hatte, das notwendig war, um den Beweis in anderen Arbeiten zu vervollständigen, wird ihm im Allgemeinen der erste Beweis zugeschrieben. Unabhängige Probeabzüge erschienen bei Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) und Duarte (1944).Der Fall p = 5 wurde unabhängig von Legendre und Peter Gustav Lejeune Dirichlet um 1825 bewiesen. Alternative Beweise wurden von Carl Friedrich Gauss (1875, posthum), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915) und Guy Terjanian (1987) entwickelt.

Der Fall p = 7 wurde 1839 von Lamé bewiesen. Sein ziemlich komplizierter Beweis wurde 1840 von Lebesgue vereinfacht, und noch einfachere Beweise wurden 1864, 1874 und 1876 von Angelo Genocchi veröffentlicht. Alternative Beweise wurden von Théophile Pépin (1876) und Edmond Maillet (1897) entwickelt.

Fermats letzter Satz wurde auch für die Exponenten n = 6, 10 und 14 bewiesen. Beweise für n = 6 wurden von Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift und Breusch veröffentlicht. In ähnlicher Weise bewiesen Dirichlet und Terjanian jeweils den Fall n = 14, während Kapferer und Breusch jeweils den Fall n = 10 bewiesen. Streng genommen sind diese Beweise unnötig, da sich diese Fälle aus den Beweisen für n = 3, 5 bzw. 7 ergeben. Dennoch unterscheidet sich die Argumentation dieser Beweise mit geraden Exponenten von ihren Gegenstücken mit ungeraden Exponenten. Dirichlets Beweis für n = 14 wurde 1832 veröffentlicht, vor Lamés Beweis von 1839 für n = 7.Alle Beweise für bestimmte Exponenten verwendeten Fermats Technik des unendlichen Abstiegs, entweder in seiner ursprünglichen Form oder in Form des Abstiegs auf elliptischen Kurven oder abelschen Varietäten. Die Details und Hilfsargumente waren jedoch oft ad hoc und an den jeweiligen Exponenten gebunden. Da sie mit zunehmendem p immer komplizierter wurden, schien es unwahrscheinlich, dass der allgemeine Fall von Fermats letztem Satz bewiesen werden konnte, indem auf den Beweisen für einzelne Exponenten aufgebaut wurde. Obwohl einige allgemeine Ergebnisse zum letzten Satz von Fermat im frühen 19.Jahrhundert von Niels Henrik Abel und Peter Barlow veröffentlicht wurden, wurde die erste bedeutende Arbeit zum allgemeinen Satz von Sophie Germain geleistet.

Frühneuzeitliche Durchbrüche

Sophie GermainEdit

Im frühen 19.Jahrhundert entwickelte Sophie Germain mehrere neue Ansätze, um Fermats letzten Satz für alle Exponenten zu beweisen. Zunächst definierte sie eine Menge von Hilfsprimen θ {\displaystyle \theta }

, die aus dem Primexponenten p {\displaystyle p}

durch die Gleichung θ = 2hp + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, wobei h {\displaystyle h}

eine beliebige ganze Zahl ist, die nicht durch drei teilbar ist. Sie zeigte, dass, wenn keine ganzen Zahlen, die auf die Potenz p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

angehoben wurden, benachbart waren modulo θ {\displaystyle \theta }

das Produkt x y z {\displaystyle xyz}

teilen. Ihr Ziel war es, mit mathematischer Induktion zu beweisen, dass für jedes gegebene p {\displaystyle p}

unendlich viele Hilfsprimen θ {\displaystyle \theta }

die Nichtkonsekutivitätsbedingung erfüllten und somit x y z {\displaystyle xyz}

; da das Produkt x y z {\displaystyle xyz}

höchstens eine endliche Anzahl von Primfaktoren haben kann, hätte ein solcher Beweis Fermats letzten Satz etabliert. Obwohl sie viele Techniken zur Feststellung der Nichtkonsekutivitätsbedingung entwickelte, gelang es ihr nicht, ihr strategisches Ziel zu erreichen. Sie arbeitete auch daran, untere Grenzen für die Größe von Lösungen der Fermatschen Gleichung für einen gegebenen Exponenten p {\displaystyle p}

, eine modifizierte Version davon wurde von Adrien-Marie Legendre veröffentlicht. Als Nebenprodukt dieser letzteren Arbeit bewies sie den Satz von Sophie Germain, der den ersten Fall von Fermats letztem Satz verifizierte (nämlich den Fall, in dem p {\displaystyle p}

nicht teilt xyz {\displaystyle xyz}

) für jeden ungeraden Primzahlexponenten kleiner als 270 {\displaystyle \displaystyle 270}

und für alle Primzahlen p {\displaystyle p}

so, dass mindestens eine von 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

und 16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

ist eine Primzahl (insbesondere die Primzahlen p {\displaystyle p}

so dass 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

Primzahlen werden Sophie Germain Primzahlen genannt). Germain versuchte erfolglos, den ersten Fall von Fermats letztem Satz für alle geraden Exponenten zu beweisen, speziell für n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, der 1977 von Guy Terjanian bewiesen wurde. 1985 bewiesen Leonard Adleman, Roger Heath-Brown und Étienne Fouvry, dass der erste Fall von Fermats letztem Satz für unendlich viele ungerade Primzahlen gilt p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer und die Theorie der Idealebearbeiten

1847 skizzierte Gabriel Lamé einen Beweis für Fermats letzten Satz, der auf der Faktorisierung der Gleichung xp + yp = zp in komplexen Zahlen basiert, insbesondere des zyklotomischen Feldes, das auf den Wurzeln der Zahl 1 basiert. Sein Beweis scheiterte jedoch, weil er fälschlicherweise annahm, dass solche komplexen Zahlen ähnlich wie ganze Zahlen eindeutig in Primzahlen umgerechnet werden können. Diese Lücke wurde sofort von Joseph Liouville aufgezeigt, der später ein Papier las, das dieses Versagen der einzigartigen Faktorisierung demonstrierte, geschrieben von Ernst Kummer.

Kummer stellte sich die Aufgabe, festzustellen, ob das zyklotomische Feld verallgemeinert werden könnte, um neue Primzahlen aufzunehmen, so dass die eindeutige Faktorisierung wiederhergestellt wurde. Diese Aufgabe gelang ihm, indem er die idealen Zahlen entwickelte.(Anmerkung: Es wird oft gesagt, dass Kummer durch sein Interesse an Fermats letztem Satz zu seinen „idealen komplexen Zahlen“ geführt wurde; Es gibt sogar eine Geschichte, die oft erzählt wird, dass Kummer, wie Lamé, glaubte, Fermats letzten Satz bewiesen zu haben, bis Lejeune Dirichlet ihm sagte, sein Argument stütze sich auf eine einzigartige Faktorisierung; die Geschichte wurde jedoch erstmals 1910 von Kurt Hensel erzählt, und die Beweise deuten darauf hin, dass sie wahrscheinlich auf eine Verwirrung durch eine von Hensels Quellen zurückzuführen ist. Harold Edwards sagt, der Glaube, dass Kummer hauptsächlich an Fermats letztem Satz interessiert war, „ist sicherlich falsch“. Siehe die Geschichte der idealen Zahlen.)

Mit dem von Lamé skizzierten allgemeinen Ansatz bewies Kummer beide Fälle von Fermats letztem Satz für alle regulären Primzahlen. Er konnte jedoch den Satz für die außergewöhnlichen Primzahlen (unregelmäßige Primzahlen), die mutmaßlich ungefähr 39% der Zeit auftreten, nicht beweisen; die einzigen unregelmäßigen Primzahlen unter 270 sind 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 und 263.

Mordell conjectureEdit

In den 1920er Jahren stellte Louis Mordell eine Vermutung auf, die implizierte, dass Fermats Gleichung höchstens eine endliche Anzahl von nichttrivialen primitiven ganzzahligen Lösungen hat, wenn der Exponent n größer als zwei ist. Diese Vermutung wurde 1983 von Gerd Faltings bewiesen und ist heute als Faltings-Theorem bekannt.

Computational studiesEdit

In der zweiten Hälfte des 20.Jahrhunderts wurden computergestützte Methoden verwendet, um Kummers Ansatz auf die unregelmäßigen Primzahlen auszudehnen. Im Jahr 1954 verwendete Harry Vandiver einen SWAC-Computer, um Fermats letzten Satz für alle Primzahlen bis 2521 zu beweisen. Bis 1978 hatte Samuel Wagstaff dies auf alle Primzahlen unter 125.000 ausgeweitet. Bis 1993 war Fermats letzter Satz für alle Primzahlen unter vier Millionen bewiesen.

Trotz dieser Bemühungen und ihrer Ergebnisse gab es jedoch keinen Beweis für Fermats letzten Satz. Beweise einzelner Exponenten könnten ihrer Natur nach niemals den allgemeinen Fall beweisen: Selbst wenn alle Exponenten bis zu einer extrem großen Zahl X verifiziert würden, könnte noch ein höherer Exponent jenseits von X existieren, für den die Behauptung nicht wahr war. (Dies war bei einigen anderen früheren Vermutungen der Fall gewesen, und es konnte in dieser Vermutung nicht ausgeschlossen werden.)

Verbindung mit elliptischen Kurven

Die Strategie, die letztlich zu einem erfolgreichen Beweis von Fermats letztem Satz führte, entstand aus der „erstaunlichen“:211 Taniyama–Shimura–Weil—Vermutung, die um 1955 vorgeschlagen wurde – von der viele Mathematiker glaubten, dass sie nahezu unmöglich zu beweisen wäre:223 und wurde in den 1980er Jahren von Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre und Ken Ribet mit der Fermatschen Gleichung verknüpft. Durch einen Teilbeweis dieser Vermutung im Jahr 1994 gelang es Andrew Wiles schließlich, Fermats letzten Satz zu beweisen und den Weg zu einem vollständigen Beweis für das, was heute als Modularitätssatz bekannt ist, durch andere zu ebnen.

Taniyama–Shimura–Weil Vermutungbearbeiten

Um 1955 beobachteten die japanischen Mathematiker Goro Shimura und Yutaka Taniyama eine mögliche Verbindung zwischen zwei scheinbar völlig unterschiedlichen Zweigen der Mathematik, elliptischen Kurven und modularen Formen. Der resultierende Modularitätssatz (zu der Zeit als Taniyama–Shimura-Vermutung bekannt) besagt, dass jede elliptische Kurve modular ist, was bedeutet, dass sie einer einzigartigen modularen Form zugeordnet werden kann.Die Verbindung wurde anfangs als unwahrscheinlich oder hochspekulativ abgetan, wurde aber ernster genommen, als der Zahlentheoretiker André Weil Beweise dafür fand, obwohl er sie nicht bewies; Infolgedessen wurde die Vermutung oft als Taniyama–Shimura–Weil-Vermutung bekannt.:211-215

Selbst nach ernster Aufmerksamkeit wurde die Vermutung von zeitgenössischen Mathematikern als außerordentlich schwierig oder vielleicht unzugänglich für Beweise angesehen.: 203-205, 223, 226 Zum Beispiel erklärt Wiles ‚Doktorvater John Coates, dass es „unmöglich schien, tatsächlich zu beweisen“,:226 und Ken Ribet betrachtete sich als „einer der überwiegenden Mehrheit der Menschen, die glaubten, war völlig unzugänglich“ und fügte hinzu, dass „Andrew Wiles wahrscheinlich einer der wenigen Menschen auf der Erde war, die die Kühnheit hatten zu träumen, dass man tatsächlich gehen und beweisen kann .“:223

Satz von Ribet für Freykurvenbearbeiten

Gerhard Frey stellte 1984 eine Verbindung zwischen der Fermatschen Gleichung und dem Modularitätssatz fest, damals noch eine Vermutung. Wenn die fermatsche Gleichung eine Lösung (a, b, c) für den Exponenten p > 2 hätte, könnte gezeigt werden, dass die halbstabile elliptische Kurve (jetzt bekannt als Frey-Hellegouard)

y2 = x (x – ap)(x + bp)

hätte so ungewöhnliche Eigenschaften, dass es unwahrscheinlich war, modular zu sein. Dies würde im Widerspruch zum Modularitätssatz stehen, der behauptete, dass alle elliptischen Kurven modular sind. Als solches beobachtete Frey, dass ein Beweis der Taniyama–Shimura–Weil-Vermutung auch gleichzeitig Fermats letzten Satz beweisen könnte. Durch Kontraposition würde ein Disproof oder eine Widerlegung von Fermats letztem Satz die Taniyama–Shimura–Weil-Vermutung widerlegen.Im Klartext hatte Frey gezeigt, dass, wenn diese Intuition über seine Gleichung korrekt war, jeder Satz von 4 Zahlen (a, b, c, n), der Fermats letzten Satz widerlegen konnte, auch verwendet werden könnte, um die Taniyama–Shimura–Weil-Vermutung zu widerlegen. Wenn also letzteres wahr wäre, könnte ersteres nicht widerlegt werden und müsste auch wahr sein.

Nach dieser Strategie erforderte ein Beweis für Fermats letzten Satz zwei Schritte. Zunächst war es notwendig, den Modularitätssatz zu beweisen – oder zumindest für die Arten von elliptischen Kurven, die Freys Gleichung enthielten (bekannt als semistable elliptische Kurven). Dies wurde allgemein angenommen, unzugänglich Beweis von zeitgenössischen Mathematikern.: 203-205, 223, 226 Zweitens musste gezeigt werden, dass Freys Intuition richtig war: Wenn eine elliptische Kurve auf diese Weise unter Verwendung einer Reihe von Zahlen konstruiert würde, die eine Lösung der Fermatschen Gleichung waren, könnte die resultierende elliptische Kurve nicht modular sein. Frey zeigte, dass dies plausibel war, ging aber nicht so weit, einen vollständigen Beweis zu erbringen. Das fehlende Stück (die sogenannte „Epsilon-Vermutung“, jetzt bekannt als Ribet-Theorem) wurde von Jean-Pierre Serre identifiziert, der auch einen fast vollständigen Beweis lieferte, und die von Frey vorgeschlagene Verbindung wurde schließlich 1986 von Ken Ribet bewiesen.

Nach der Arbeit von Frey, Serre und Ribet stand hier die Sache:

• Fermats letzter Satz musste für alle Exponenten n, die Primzahlen waren, bewiesen werden.
• Der Modularitätssatz – wenn er für halbstabile elliptische Kurven bewiesen würde – würde bedeuten, dass alle halbstabilen elliptischen Kurven modular sein müssen.
• Ribets Theorem zeigte, dass jede Lösung der Fermatschen Gleichung für eine Primzahl verwendet werden könnte, um eine semistable elliptische Kurve zu erzeugen, die nicht modular sein könnte;
• Der einzige Weg, dass diese beiden Aussagen wahr sein könnten, wäre, wenn es keine Lösungen für die fermatsche Gleichung gäbe (weil dann keine solche Kurve erzeugt werden könnte), was Fermats letzter Satz sagte. Da der Satz von Ribet bereits bewiesen war, bedeutete dies, dass ein Beweis des Modularitätssatzes automatisch beweisen würde, dass auch der letzte Satz von Fermat wahr war.

Wiles‘ allgemeiner Beweis

Der britische Mathematiker Andrew Wiles.

Ribets Beweis der Epsilon-Vermutung im Jahr 1986 erreichte das erste der beiden von Frey vorgeschlagenen Ziele. Als Andrew Wiles, ein englischer Mathematiker mit einer Kindheitsfaszination für Fermats letzten Satz und der an elliptischen Kurven gearbeitet hatte, von Ribets Erfolg hörte, beschloss er, sich der zweiten Hälfte zu widmen: dem Nachweis eines Sonderfalls des Modularitätssatzes (damals bekannt als Taniyama–Shimura-Vermutung) für halbstabile elliptische Kurven.

Wiles arbeitete sechs Jahre lang unter nahezu völliger Geheimhaltung an dieser Aufgabe, indem er seine Bemühungen vertuschte, indem er frühere Arbeiten in kleinen Abschnitten als separate Papiere veröffentlichte und sich nur seiner Frau anvertraute.:229-230 Seine erste Studie schlug den Beweis durch Induktion vor: 230-232, 249-252 und er stützte seine erste Arbeit und seinen ersten bedeutenden Durchbruch auf die Galois-Theorie: 251-253, 259, bevor er zu einem Versuch wechselte, die Iwasawa-Theorie für das induktive Argument um 1990-91 zu erweitern, als es schien, dass es keinen existierenden Ansatz gab, der dem Problem angemessen war.: 258-259 Mitte 1991 schien die Iwasawa-Theorie jedoch auch die zentralen Fragen des Problems nicht zu erreichen.:259-260 Daraufhin wandte er sich an Kollegen, um Hinweise auf Spitzenforschung und neue Techniken zu erhalten, und entdeckte ein Euler-System, das kürzlich von Victor Kolyvagin und Matthias Flach entwickelt wurde und für den induktiven Teil seines Beweises „maßgeschneidert“ zu sein schien.:260-261 Wiles studierte und erweiterte diesen Ansatz, der funktionierte. Da sich seine Arbeit weitgehend auf diesen Ansatz stützte, der für Mathematik und List neu war, bat er im Januar 1993 seinen Kollegen aus Princeton, Nick Katz, ihm zu helfen, seine Argumentation auf subtile Fehler zu überprüfen. Ihre Schlussfolgerung war damals, dass die von Wiles verwendeten Techniken korrekt zu funktionieren schienen.:261-265

Bis Mitte Mai 1993 fühlte Wiles in der Lage, seiner Frau zu sagen, dass er dachte, er habe den Beweis von Fermats letztem Satz gelöst,:265 und bis Juni fühlte er sich ausreichend zuversichtlich, seine Ergebnisse in drei Vorträgen am 21. und 23.Juni 1993 am Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences zu präsentieren. Insbesondere präsentierte Wiles seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für semistable elliptische Kurven; zusammen mit Ribets Beweis der Epsilon-Vermutung implizierte dies Fermats letzten Satz. Im Peer Review zeigte sich jedoch, dass ein kritischer Punkt des Beweises falsch war. Es enthielt einen Fehler in einer Bindung an die Reihenfolge einer bestimmten Gruppe. Der Fehler wurde gefangen von mehreren Mathematikern Schiedsrichter Wiles Manuskript einschließlich Katz (in seiner Rolle als Gutachter), der alarmiert Wiles am 23. August 1993.Der Fehler hätte seine Arbeit nicht wertlos gemacht – jeder Teil von Wiles ‚Arbeit war für sich genommen sehr bedeutsam und innovativ, ebenso wie die vielen Entwicklungen und Techniken, die er im Laufe seiner Arbeit geschaffen hatte, und nur ein Teil war betroffen.:289, 296-297 Jedoch ohne diesen Teil bewiesen, gab es keinen tatsächlichen Beweis für Fermats letzten Satz. Wiles verbrachte fast ein Jahr damit, seinen Beweis zu reparieren, zunächst alleine und dann in Zusammenarbeit mit seinem ehemaligen Schüler Richard Taylor, ohne Erfolg. Bis Ende 1993 hatten sich Gerüchte verbreitet, dass Wiles ‚Beweis unter Kontrolle gescheitert war, aber wie ernst es war, war nicht bekannt. Mathematiker begannen, Druck Wiles zu offenbaren, seine Arbeit, ob es vollständig war oder nicht, so dass die breitere Gemeinschaft erforschen und nutzen konnte, was er geschafft hatte, zu erreichen. Aber anstatt behoben zu werden, schien das Problem, das ursprünglich unbedeutend schien, jetzt sehr bedeutsam, viel ernster und weniger leicht zu lösen.Wiles gibt an, dass er am Morgen des 19.September 1994 kurz vor dem Aufgeben stand und fast resigniert war, zu akzeptieren, dass er gescheitert war, und seine Arbeit zu veröffentlichen, damit andere darauf aufbauen und den Fehler beheben konnten. Er fügt hinzu, dass er einen letzten Blick hatte, um zu versuchen, die grundlegenden Gründe zu verstehen, warum sein Ansatz nicht funktionieren konnte, als er plötzlich die Einsicht hatte, dass der spezifische Grund, warum der Kolyvagin–Flach–Ansatz nicht direkt funktionieren würde, auch bedeutete, dass seine ursprünglichen Versuche mit der Iwasawa–Theorie funktionieren könnten, wenn er sie mit seinen Erfahrungen aus dem Kolyvagin-Flach-Ansatz stärkte. Das Beheben eines Ansatzes mit Tools aus dem anderen Ansatz würde das Problem für alle Fälle lösen, die nicht bereits durch sein referiertes Papier bewiesen wurden. Er beschrieb später, dass die Iwasawa-Theorie und der Kolyvagin–Flach-Ansatz jeweils für sich genommen unzureichend waren, aber zusammen konnten sie stark genug gemacht werden, um diese letzte Hürde zu überwinden.

„Ich saß an meinem Schreibtisch und untersuchte die Kolyvagin-Flach-Methode. Es war nicht so, dass ich glaubte, dass ich es zum Laufen bringen könnte, aber ich dachte, dass ich zumindest erklären könnte, warum es nicht funktionierte. Plötzlich hatte ich diese unglaubliche Offenbarung. Mir wurde klar, dass die Kolyvagin–Flach-Methode nicht funktionierte, aber es war alles, was ich brauchte, um meine ursprüngliche Iwasawa-Theorie von drei Jahren zuvor zum Laufen zu bringen. Aus der Asche von Kolyvagin-Flach schien sich die wahre Antwort auf das Problem zu erheben. Es war so unbeschreiblich schön; es war so einfach und so elegant. Ich konnte nicht verstehen, wie ich es verpasst hatte, und ich starrte es nur zwanzig Minuten lang ungläubig an. Dann ging ich tagsüber durch die Abteilung und kam immer wieder zu meinem Schreibtisch zurück, um zu sehen, ob er noch da war. Es war immer noch da. Ich konnte mich nicht zurückhalten, ich war so aufgeregt. Es war der wichtigste Moment meines Arbeitslebens. Nichts, was ich jemals wieder tun werde, wird so viel bedeuten.Am 24. Oktober 1994 reichte Wiles zwei Manuskripte ein, „Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem“ und „Ring theoretic properties of certain Hecke algebras“, von denen das zweite gemeinsam mit Taylor verfasst wurde und bewies, dass bestimmte Bedingungen erfüllt waren, die erforderlich waren, um den korrigierten Schritt in der Hauptarbeit zu rechtfertigen. Die beiden Papiere wurden überprüft und veröffentlicht als die Gesamtheit der Mai 1995 Ausgabe der Annals of Mathematics. Diese Arbeiten etablierten den Modularitätssatz für semistable elliptische Kurven, den letzten Schritt zum Nachweis von Fermats letztem Satz, 358 Jahre nach seiner Vermutung.

Nachfolgende EntwicklungenBearbeiten

Die vollständige Taniyama–Shimura–Weil-Vermutung wurde schließlich von Diamond (1996) harvtxt-Fehler: mehrere Ziele (2×): CITEREFDiamond1996 (Hilfe), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt-Fehler: mehrere Ziele (2×): CITEREFConradDiamondTaylor1999 (Hilfe) und Breuil et al. (2001) harvtxt Fehler: mehrere Ziele (2 ×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (Hilfe), der, aufbauend auf Wiles ‚Arbeit, die verbleibenden Fälle schrittweise abbrach, bis das vollständige Ergebnis bewiesen war. Die nun vollständig bewiesene Vermutung wurde als Modularitätssatz bekannt.Mehrere andere Sätze in der Zahlentheorie, die Fermats letztem Satz ähnlich sind, folgen ebenfalls aus derselben Argumentation, wobei der Modularitätssatz verwendet wird. Zum Beispiel: Kein Würfel kann als Summe zweier Coprime-n-ten Potenzen geschrieben werden, n ≥ 3. (Der Fall n = 3 war Euler bereits bekannt.)