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Physik

by admin

Wir wissen aus der Kinematik, dass Beschleunigung eine Änderung der Geschwindigkeit ist, entweder in ihrer Größe oder in ihrer Richtung oder beides. Bei gleichmäßiger Kreisbewegung ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig, so dass immer eine Beschleunigung einhergeht, obwohl die Größe der Geschwindigkeit konstant sein kann. Sie erleben diese Beschleunigung selbst, wenn Sie in Ihrem Auto um eine Ecke biegen. (Wenn Sie das Rad während einer Kurve ruhig halten und sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, befinden Sie sich in einer gleichmäßigen Kreisbewegung.) Was Sie bemerken, ist eine Seitwärtsbeschleunigung, weil Sie und das Auto die Richtung ändern. Je schärfer die Kurve und je größer Ihre Geschwindigkeit, desto deutlicher wird diese Beschleunigung. In diesem Abschnitt untersuchen wir die Richtung und Größe dieser Beschleunigung.

Abbildung 1 zeigt ein Objekt, das sich auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die Richtung der momentanen Geschwindigkeit wird an zwei Punkten entlang des Pfades angezeigt. Die Beschleunigung erfolgt in Richtung der Geschwindigkeitsänderung, die direkt auf den Drehpunkt (den Mittelpunkt der Kreisbahn) zeigt. Diese Richtung ist mit dem Vektordiagramm in der Abbildung dargestellt. Wir nennen die Beschleunigung eines Objekts, das sich in einer gleichmäßigen Kreisbewegung bewegt (resultierend aus einer äußeren Nettokraft), die Zentripetalbeschleunigung (ac); Zentripetal bedeutet „zum Zentrum“ oder „Zentrum“.“

Die gegebene Abbildung zeigt einen Kreis, mit einem Dreieck mit Eckpunkten ABC von der Mitte zur Grenze gemacht. A befindet sich in der Mitte und B- und C-Punkte befinden sich auf dem Kreispfad. Die Linien A B und A C fungieren als Radien und B C ist ein Akkord. Delta Theta ist innerhalb des Dreiecks dargestellt, und die Bogenlänge Delta s und die Sehnenlänge Delta r sind ebenfalls angegeben. An Punkt B wird die Geschwindigkeit des Objekts als v eins und an Punkt C als v zwei angezeigt. Entlang des Kreises wird eine Gleichung als Delta v gleich v sub 2 minus v sub 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die Richtungen der Geschwindigkeit eines Objekts an zwei verschiedenen Punkten sind gezeigt, und die Änderung der Geschwindigkeit Δv zeigt direkt auf den Krümmungsmittelpunkt. (Siehe kleiner Einsatz.), Weil ac = Δv / Δt, die Beschleunigung ist auch in Richtung der Mitte; ac heißt Zentripetalbeschleunigung. (Da Δθ sehr klein ist, ist die Bogenlänge Δs für kleine Zeitdifferenzen gleich der Sehnenlänge Δr.)

Die Richtung der Zentripetalbeschleunigung ist in Richtung des Krümmungszentrums, aber wie groß ist sie? Beachten Sie, dass das durch die Geschwindigkeitsvektoren gebildete Dreieck und das durch die Radien r und Δs gebildete Dreieck ähnlich sind. Sowohl die Dreiecke ABC als auch PQR sind gleichschenklige Dreiecke (zwei gleiche Seiten). Die beiden gleichen Seiten des Geschwindigkeitsvektordreiecks sind die Geschwindigkeiten v1 = v2 = v. Unter Verwendung der Eigenschaften zweier ähnlicher Dreiecke erhalten wir \frac{\Delta{v}}{v}=\frac{\Delta{s}}{r}\\.

Beschleunigung ist \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, und so lösen wir zuerst diesen Ausdruck für Δv:

\displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{s}\\.

Dann teilen wir dies durch Δt und ergeben

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

Schließlich stellt fest, dass \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ und dass \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=v\\, die lineare oder tangentiale Geschwindigkeit, sehen wir, dass die Größe der Zentripetalbeschleunigung ist

{a}_c=\frac{v^2}{r}\\,

Welches ist die Beschleunigung eines Objekts in einem Kreis mit dem Radius r bei einer Geschwindigkeit v. Die Zentripetalbeschleunigung ist also bei hohen Geschwindigkeiten und in scharfen Kurven (kleinerer Radius) größer, wie Sie beim Autofahren bemerkt haben. Aber es ist ein bisschen überraschend, dass ac proportional zur Geschwindigkeit im Quadrat ist, was zum Beispiel bedeutet, dass es viermal so schwer ist, eine Kurve bei 100 km / h zu nehmen als bei 50 km / h. Eine scharfe Ecke hat einen kleinen Radius, so dass ac für engere Kurven größer ist, wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben.

Es ist auch nützlich, ac in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit auszudrücken. Wenn wir v = rw in den obigen Ausdruck einsetzen, finden wir a_c=\frac{\left(r\omega\right)^2}{r}=r\omega^2\\ . Wir können die Größe der Zentripetalbeschleunigung mit einer von zwei Gleichungen ausdrücken:

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\.

Denken Sie daran, dass die Richtung von ac in Richtung der Mitte ist. Sie können den Ausdruck verwenden, der bequemer ist, wie in den folgenden Beispielen veranschaulicht.

Eine Zentrifuge (siehe Abbildung 2b) ist eine rotierende Vorrichtung zum Trennen von Proben unterschiedlicher Dichte. Eine hohe Zentripetalbeschleunigung verringert die Zeit, die für die Trennung benötigt wird, erheblich und ermöglicht die Trennung mit kleinen Proben. Zentrifugen werden in einer Vielzahl von Anwendungen in Wissenschaft und Medizin eingesetzt, einschließlich der Trennung von Einzelzellsuspensionen wie Bakterien, Viren und Blutzellen aus einem flüssigen Medium und der Trennung von Makromolekülen wie DNA und Protein aus einer Lösung. Zentrifugen werden oft hinsichtlich ihrer Zentripetalbeschleunigung relativ zur Erdbeschleunigung (g) bewertet; Eine maximale Zentripetalbeschleunigung von mehreren hunderttausend g ist im Vakuum möglich. Menschliche Zentrifugen, extrem große Zentrifugen, wurden verwendet, um die Toleranz von Astronauten gegenüber den Auswirkungen von Beschleunigungen zu testen, die größer sind als die der Erdanziehungskraft.

Beispiel 1. Wie verhält sich die Zentripetalbeschleunigung eines Autos um eine Kurve im Vergleich zur Gravitationsbeschleunigung?

Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung eines Autos nach einer Kurve mit einem Radius von 500 m bei einer Geschwindigkeit von 25,0 m/ s (etwa 90 km/ h)? Vergleichen Sie die Beschleunigung mit der aufgrund der Schwerkraft für diese ziemlich sanfte Kurve bei Autobahngeschwindigkeit. Siehe Abbildung 2a.

Strategie

Da v und r gegeben sind, ist der erste Ausdruck in \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ am bequemsten zu verwenden.

Lösung

Die Eingabe der gegebenen Werte von v = 25.0 m/s und r=500 m in den ersten Ausdruck für ac ergibt

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left(25.0\text{ m/s}\right)^2}{500\text{ m}}= 1,25\Text { m/s} ^2\\.

Diskussion

Um dies mit der Erdbeschleunigung (g = 9,80 m/s2) zu vergleichen, nehmen wir das Verhältnis von \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25\text { m /s} ^ 2\rechts)}{\links (9,80\text{ m/s}^2\rechts)}= 0,128\\. Somit ist ac= 0,128 g und macht sich besonders bemerkbar, wenn Sie keinen Sicherheitsgurt angelegt haben.

In Abbildung a fährt ein von oben gezeigtes Auto auf einer Kreisstraße um eine Kreisbahn herum. Das Zentrum des Parks wird als Zentrum dieses Kreises bezeichnet und die Entfernung von diesem Punkt zum Auto wird als Radius r genommen. Die lineare Geschwindigkeit wird in senkrechter Richtung zur Vorderseite des Fahrzeugs gezeigt, gezeigt als v Die Zentripetalbeschleunigung wird mit einem Pfeil gezeigt, der auf den Drehpunkt zeigt. In Abbildung b ist eine Zentrifuge gezeigt, in der sich ein Objekt der Masse m mit konstanter Geschwindigkeit dreht. Das Objekt befindet sich in einem Abstand, der dem Radius r der Zentrifuge entspricht. Die Zentripetalbeschleunigung ist in Richtung des Rotationszentrums und die Geschwindigkeit v senkrecht zum Objekt im Uhrzeigersinn dargestellt.

Abbildung 2. (a) Das Fahrzeug, das einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit folgt, wird wie gezeigt senkrecht zu seiner Geschwindigkeit beschleunigt. Die Größe dieser Zentripetalbeschleunigung ergibt sich aus Beispiel 1. (b) Ein Masseteilchen in einer Zentrifuge dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit . Es muss senkrecht zu seiner Geschwindigkeit beschleunigt werden, sonst würde es in einer geraden Linie weitergehen. Die Größe der notwendigen Beschleunigung ergibt sich aus Beispiel 2.

Beispiel 2. Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung in einer Ultrazentrifuge?

Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung eines Punktes 7.50 cm von der Achse einer Ultrazentrifuge entfernt, die mit 7,5 × 104 U / min dreht. Bestimmen Sie das Verhältnis dieser Beschleunigung zu der aufgrund der Schwerkraft. Siehe Abbildung 2b.

Strategie

Der Begriff rev/min steht für Umdrehungen pro Minute. Indem wir dies in Bogenmaß pro Sekunde umrechnen, erhalten wir die Winkelgeschwindigkeit ω. Da r gegeben ist, können wir den zweiten Ausdruck in der Gleichung a_c=\frac{v^ 2}{r};a_c=r\omega^ 2\\ , um die Zentripetalbeschleunigung zu berechnen.

Lösung

Zu konvertieren 7.50 × 104 U / min im Bogenmaß pro Sekunde verwenden wir die Tatsache, dass eine Umdrehung 2π rad und eine Minute 60,0 s beträgt. Also

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text { rad}}{1\text{ rev}}\times\frac{1\text{ min}}{60.0\text{ s}}=7854\text{ rad/s}\\ .

Nun ist die Zentripetalbeschleunigung gegeben durch den zweiten Ausdruck in

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ as ac = rw2.

Wenn man 7,50 cm in Meter umrechnet und bekannte Werte ersetzt, erhält man ac = (0,0750 m)(7854 rad/s)2 = 4.63 × 106 m/s2.

Beachten Sie, dass das einheitslose Bogenmaß verworfen wird, um die richtigen Einheiten für die Zentripetalbeschleunigung zu erhalten. Das Verhältnis von ac zu g ergibt

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\times10^6}{9.80}=4.72\times10^5\\.

Diskussion

Dieses letzte Ergebnis bedeutet, dass die Zentripetalbeschleunigung 472.000 mal so stark ist wie g. Es ist kein Wunder, dass solche Zentrifugen mit hohem ω Ultrazentrifugen genannt werden. Die extrem großen Beschleunigungen verringern die Zeit, die benötigt wird, um die Sedimentation von Blutzellen oder anderen Materialien zu verursachen, erheblich.

Natürlich ist eine äußere Nettokraft erforderlich, um eine Beschleunigung zu verursachen, genau wie Newton in seinem zweiten Bewegungsgesetz vorgeschlagen hat. Es wird also eine äußere Nettokraft benötigt, um eine Zentripetalbeschleunigung zu verursachen. In der Zentripetalkraft werden wir die Kräfte betrachten, die an der Kreisbewegung beteiligt sind.

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Zusammenfassung des Abschnitts

  • Die Zentripetalbeschleunigung ac ist die Beschleunigung, die bei gleichmäßiger Kreisbewegung auftritt. Es zeigt immer in Richtung des Rotationszentrums. Es ist senkrecht zur linearen Geschwindigkeit v und hat die Größe {a}_{\text{c}}=\frac{{v}^{2}}{r};{a}_{\text{c}}={\mathrm{r\omega }}^{2}\\.
  • Die Einheit der Zentripetalbeschleunigung ist m/s2.

Konzeptionelle Fragen

  1. Kann die Zentripetalbeschleunigung die Geschwindigkeit der Kreisbewegung verändern? Erklären.

Probleme & Übungen

  1. Ein Fahrgeschäft dreht seine Insassen in einem Behälter in Form einer fliegenden Untertasse. Wenn die horizontale Kreisbahn, der die Fahrer folgen, einen Radius von 8,00 m hat, mit wie vielen Umdrehungen pro Minute werden die Fahrer einer Zentripetalbeschleunigung ausgesetzt, deren Größe das 1,50-fache der Schwerkraft beträgt?
  2. Ein Läufer, der am 200-m-Lauf teilnimmt, muss um das Ende einer Strecke laufen, die einen Kreisbogen mit einem Krümmungsradius von 30 m hat. Wenn er den 200-m-Lauf in 23,2 s absolviert und während des gesamten Rennens mit konstanter Geschwindigkeit läuft, wie groß ist seine Zentripetalbeschleunigung, wenn er den gekrümmten Teil der Strecke fährt?
  3. Nimmt man das Alter der Erde auf etwa 4 × 109 Jahre an und nimmt ihren Orbitalradius von 1 an.5 × 1011 hat sich nicht geändert und ist kreisförmig, berechnen Sie die ungefähre Gesamtentfernung, die die Erde seit ihrer Geburt zurückgelegt hat (in einem Bezugssystem, das in Bezug auf die Sonne stationär ist).
  4. Der Propeller eines Kampfflugzeugs aus dem Zweiten Weltkrieg hat einen Durchmesser von 2,30 m. (a) Was ist seine Winkelgeschwindigkeit in Bogenmaß pro Sekunde, wenn es sich mit 1200 U / min dreht? (b) Was ist die lineare Geschwindigkeit seiner Spitze bei dieser Winkelgeschwindigkeit, wenn das Flugzeug auf dem Asphalt stationär ist? (c) Wie hoch ist die Zentripetalbeschleunigung der Propellerspitze unter diesen Bedingungen? Berechnen Sie es in Metern pro Sekunde im Quadrat und konvertieren Sie es in Vielfache von g.
  5. Ein gewöhnlicher Werkstattschleifstein hat einen Radius von 7,50 cm und dreht sich mit 6500 U / min. (a) Berechnen Sie die Größe der Zentripetalbeschleunigung an ihrem Rand in Metern pro Sekunde im Quadrat und wandeln Sie sie in Vielfache von g um. (b) Was ist die lineare Geschwindigkeit eines Punktes an seinem Rand?
  6. Hubschrauberblätter halten enormen Belastungen stand. Sie tragen nicht nur das Gewicht eines Hubschraubers, sondern werden auch schnell gesponnen und erfahren große Zentripetalbeschleunigungen, insbesondere an der Spitze. (a) Berechnen Sie die Größe der Zentripetalbeschleunigung an der Spitze eines 4,00 m langen Hubschrauberblatts, das sich mit 300 U / min dreht. (b) Vergleichen Sie die lineare Geschwindigkeit der Spitze mit der Schallgeschwindigkeit (angenommen 340 m / s).
  7. Olympische Eisläufer können sich mit etwa 5 U / s drehen. (a) Was ist ihre Winkelgeschwindigkeit in Bogenmaß pro Sekunde? (b) Was ist die zentripetale Beschleunigung der Nase des Skaters, wenn sie 0,120 m von der Drehachse entfernt ist? (c) Ein außergewöhnlicher Skater namens Dick Button konnte sich in den 1950er Jahren viel schneller drehen als jeder andere seitdem — mit etwa 9 U / s. Was war die Zentripetalbeschleunigung seiner Nasenspitze, vorausgesetzt, sie liegt bei 0,120 m Radius? (d) Kommentieren Sie die Größen der gefundenen Beschleunigungen. Es wird behauptet, dass Button während seiner Drehungen kleine Blutgefäße gerissen hat.
  8. Wie viel Prozent der Beschleunigung an der Erdoberfläche ist die Erdbeschleunigung an der Position eines Satelliten, der sich 300 km über der Erde befindet?
  9. Stellen Sie sicher, dass die lineare Geschwindigkeit einer Ultrazentrifuge etwa 0,50 km/s beträgt und die Erde in ihrer Umlaufbahn etwa 30 km/s beträgt, indem Sie Folgendes berechnen: (a) Die lineare Geschwindigkeit eines Punktes auf einer Ultrazentrifuge 0.100 m von seinem Zentrum entfernt und dreht sich mit 50.000 U / min; (b) Die lineare Geschwindigkeit der Erde in ihrer Umlaufbahn um die Sonne (verwenden Sie Daten aus dem Text über den Radius der Erdumlaufbahn und approximieren Sie sie als kreisförmig).Eine rotierende Raumstation soll „künstliche Schwerkraft“ erzeugen – ein locker definierter Begriff für eine Beschleunigung, die der Schwerkraft grob ähnlich wäre. Die Außenwand der rotierenden Raumstation würde zu einem Boden für die Astronauten werden, und die vom Boden gelieferte Zentripetalbeschleunigung würde es den Astronauten ermöglichen, Muskel- und Knochenstärke natürlicher zu trainieren und aufrechtzuerhalten als in nicht rotierenden Weltraumumgebungen. Wenn die Raumstation einen Durchmesser von 200 m hat, welche Winkelgeschwindigkeit würde am Rand eine „künstliche Schwerkraft“ von 9, 80 m / s2 erzeugen?
  10. Beim Start hat ein kommerzieller Jet eine Geschwindigkeit von 60,0 m/ s. Seine Reifen haben einen Durchmesser von 0,850 m. (a) Mit wie viel U / min drehen sich die Reifen? (b) Was ist die Zentripetalbeschleunigung am Rand des Reifens? (c) Mit welcher Kraft muss sich ein bestimmtes Bakterium von 1,00 × 10-15 kg an den Rand klammern? (d) Nehmen Sie das Verhältnis dieser Kraft zum Gewicht des Bakteriums.
  11. Integrierte Konzepte. Fahrer in einem Vergnügungspark fahren wie ein Wikingerschiff, das an einem großen Drehpunkt hängt, und werden wie ein starres Pendel hin und her gedreht. Irgendwann in der Mitte der Fahrt ist das Schiff an der Spitze seines Kreisbogens vorübergehend bewegungslos. Das Schiff schwingt dann unter dem Einfluss der Schwerkraft nach unten. (a) Unter der Annahme einer vernachlässigbaren Reibung ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Fahrer am unteren Rand ihres Bogens, da sich der Massenschwerpunkt des Systems in einem Bogen mit einem Radius von 14,0 m bewegt und sich die Fahrer in der Nähe des Massenschwerpunkts befinden. (b) Was ist die Zentripetalbeschleunigung am unteren Ende des Bogens? (c) Zeichnen Sie ein freies Körperdiagramm der Kräfte, die auf einen Fahrer am unteren Rand des Bogens wirken. (d) Ermitteln Sie die Kraft, die die Fahrt auf einen 60,0 kg schweren Fahrer ausübt, und vergleichen Sie sie mit seinem Gewicht. (e) Besprechen Sie, ob die Antwort vernünftig erscheint.
  12. Unzumutbare Ergebnisse. Eine Mutter schiebt ihr Kind auf eine Schaukel, so dass seine Geschwindigkeit 9 ist.00 m/s am tiefsten Punkt seines Weges. Die Schaukel hängt 2,00 m über dem Schwerpunkt des Kindes. (a) Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung des Kindes am Tiefpunkt? (b) Wie groß ist die Kraft, die das Kind auf den Sitz ausübt, wenn seine Masse 18,0 kg beträgt? (c) Was ist an diesen Ergebnissen unvernünftig? (d) Welche Prämissen sind unvernünftig oder widersprüchlich?

Glossar

Zentripetalbeschleunigung: Die Beschleunigung eines Objekts, das sich in einem Kreis bewegt und auf das Zentrum gerichtet ist

Ultrazentrifuge: eine Zentrifuge, die für das Drehen eines Rotors mit sehr hohen Geschwindigkeiten optimiert ist

Ausgewählte Problemlösungen & Übungen

1. 12,9 U/min

3. 4 × 1021 m

5. (ein) 3.47 × 104 m/s2, 3.55 × 103 g; (b) 51.1 m/s

7. (ein) 3.14 rad / s; (b) 118 m / s; (c) 384 m / s; (d) Die Zentripetalbeschleunigung, die von olympischen Skatern empfunden wird, ist 12 mal größer als die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft. Das ist ziemlich viel Beschleunigung an sich. Die von Buttons Nase empfundene Zentripetalbeschleunigung war 39,2-mal größer als die Erdbeschleunigung. Es ist kein Wunder, dass er kleine Blutgefäße in seinem Herzen gerissen hat.

9. (ein) 0.524 km/s; (b) 29.7 km/s

11. (a) 1,35 × 103 U/min; (b) 8,47 × 103 m/s2; (c) 8,47 × 10-12 N; (d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19,6 m/s2;

(c)

Ein Rechteck mit einer Basis, die länger als die Höhe ist. Eine vertikale Linie mit Pfeilspitzen an beiden Enden verläuft durch das Rechteck und halbiert die horizontalen Seiten. Die Oberseite des Pfeils ist mit N und die Unterseite mit w gekennzeichnet. ;

(d) 1,76 × 103 N oder 3,00 w, dh die Normalkraft (nach oben) beträgt das Dreifache ihres Gewichts; (e) Diese Antwort erscheint vernünftig, da sie das Gefühl hat, VIEL stärker als nur durch die Schwerkraft auf den Stuhl gezwungen zu werden.

13. (a) 40,5 m/s2; (b) 905 N; (c) Die Kraft in Teil (b) ist sehr groß. Die Beschleunigung in Teil (a) ist zu viel, etwa 4 g; (d) Die Geschwindigkeit des Schwungs ist zu groß. Bei der gegebenen Geschwindigkeit am unteren Ende der Schaukel gibt es genug kinetische Energie, um das Kind den ganzen Weg über die Spitze zu schicken, Reibung ignorierend.