Pitágoras y Diofantoseditar

Triplos pitagóricos Editar

En la antigüedad se sabía que un triángulo cuyos lados estaban en la proporción 3:4:5 tendría un ángulo recto como uno de sus ángulos. Esto se utilizó en la construcción y más tarde en la geometría temprana. También se sabía que era un ejemplo de una regla general que cualquier triángulo donde la longitud de dos lados, cada uno cuadrado y luego se suma (32 + 42 = 9 + 16 = 25), igual al cuadrado de la longitud del tercer lado (52 = 25), también sería un triángulo de ángulo recto.Esto se conoce ahora como el teorema de Pitágoras, y un triple de números que cumple con esta condición se llama triple pitagórico, ambos llevan el nombre del antiguo Pitágoras griego. Los ejemplos incluyen (3, 4, 5) y (5, 12, 13). Hay infinitamente muchos de estos triples, y los métodos para generar tales triples se han estudiado en muchas culturas, comenzando con los babilonios y, más tarde, los antiguos matemáticos griegos, chinos e indios. Matemáticamente, la definición de un triple pitagórico es un conjunto de tres enteros (a, b, c) que satisfacen la ecuación a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Diophantine equationsEdit

La ecuación de Fermat, xn + yn = zn con soluciones enteras positivas, es un ejemplo de una ecuación diofántica, llamada así por el matemático alejandrino del siglo III, Diophantus, que las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un típico Diophantine problema es encontrar dos enteros x e y tales que su suma, y la suma de sus cuadrados, la igualdad de dos números a y B, respectivamente:

A = x + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B = x^{2}+y^{2}.}

La obra principal de Diofanto es la Aritmética, de la que solo una parte ha sobrevivido. La conjetura de Fermat de su último Teorema se inspiró al leer una nueva edición de la Aritmética, que fue traducida al latín y publicada en 1621 por Claude Bachet.

Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones a la ecuación diofántica cuadrática x2 + y2 = z2 están dadas por los triples pitagóricos, resueltos originalmente por los babilonios (c. 1800 a. C.). Las soluciones a ecuaciones diofánticas lineales, como 26x + 65y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo euclidiano (siglo V a. C.).Muchas ecuaciones diofánticas tienen una forma similar a la ecuación del Último Teorema de Fermat desde el punto de vista del álgebra, en el sentido de que no tienen términos cruzados mezclando dos letras, sin compartir sus propiedades particulares. Por ejemplo, se sabe que hay infinitos enteros positivos x, y y z de tal manera que xn + yn = zm donde n y m son números naturales primos relativos.

Fermat conjectureEdit

Problema II.8 en el 1621 edición de la Arithmetica de Diophantus. A la derecha está el margen que era demasiado pequeño para contener la supuesta prueba de Fermat de su «último teorema».

El problema II. 8 de la Aritmética pregunta cómo un número cuadrado dado se divide en otros dos cuadrados; en otras palabras, para un número racional dado k, encuentre números racionales u y v tales que k2 = u2 + v2. Diofanto muestra cómo resolver este problema de «soy de cuadrados» para k = 4 (las soluciones son u = 16/5 y v = 12/5).

Alrededor de 1637, diseñado para permitir que escribiera su último Teorema en el margen de su copia de la Aritmética junto al problema de i’m-of-squares de Diophantus:

Después de la muerte de Fermat en 1665, su hijo Clément-Samuel Fermat produjo una nueva edición del libro (1670) aumentada con los comentarios de su padre. Aunque en realidad no era un teorema en ese momento (es decir, una declaración matemática para la que existe una prueba), la nota de margen se conoció con el tiempo como el último teorema de Fermat, ya que fue el último de los teoremas afirmados de Fermat en permanecer sin probar.

No se sabe si Fermat realmente encontró una prueba válida para todos los exponentes n, pero parece poco probable. Solo una prueba relacionada con él ha sobrevivido, a saber, para el caso n = 4, como se describe en la sección Pruebas para exponentes específicos.Mientras que Fermat planteó los casos de n = 4 y de n = 3 como desafíos a sus corresponsales matemáticos, como Marin Mersenne, Blaise Pascal y John Wallis, nunca planteó el caso general. Además, en los últimos treinta años de su vida, Fermat nunca más escribió de su «prueba verdaderamente maravillosa» del caso general, y nunca la publicó. Van der Poorten sugiere que, si bien la ausencia de una prueba es insignificante, la falta de desafíos significa que Fermat se dio cuenta de que no tenía una prueba; cita a Weil diciendo que Fermat debe haberse engañado brevemente con una idea irrecuperable.

Las técnicas que Fermat podría haber utilizado en una «prueba maravillosa» son desconocidas.

La prueba de Taylor y Wiles se basa en técnicas del siglo XX. La prueba de Fermat habría tenido que ser elemental en comparación, dado el conocimiento matemático de su tiempo.

Mientras que la gran conjetura de Harvey Friedman implica que cualquier teorema demostrable (incluido el último teorema de Fermat) puede probarse usando solo ‘aritmética de función elemental’, tal prueba necesita ser ‘elemental’ solo en un sentido técnico y podría involucrar millones de pasos, y por lo tanto ser demasiado larga para haber sido la prueba de Fermat.

Pruebas para exponentes específicoseditar

Descenso infinito de Fermat para el último caso de Teorema de Fermat n=4 edición de 1670 de la Aritmética de Diofanto (pp.338-339).

Exponent = 4Edit

Solo ha sobrevivido una prueba relevante de Fermat, en la que utiliza la técnica de descenso infinito para mostrar que el área de un triángulo rectángulo con lados enteros nunca puede ser igual al cuadrado de un entero. Su prueba es equivalente a demostrar que la ecuación

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

no tiene primitiva soluciones en enteros (no pares coprime soluciones). A su vez, esto prueba el último teorema de Fermat para el caso n = 4, ya que la ecuación a4 + b4 = c4 se puede escribir como c4 − b4 = (a2)2.

Pruebas alternativas del caso n = 4 fueron desarrolladas más tarde por Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant y Perella (1999), Barbara (2007), y Dolan (2011).

Otros exponenteseditar

Después de que Fermat probara el caso especial n = 4, la prueba general para todos los n solo requería que el teorema se estableciera para todos los exponentes primos impares. En otras palabras, era necesario probar solo que la ecuación an + bn = cn no tiene soluciones enteras positivas (a, b, c) cuando n es un número primo impar. Esto se debe a que una solución (a, b, c) para un n dado es equivalente a una solución para todos los factores de n. Para ilustrar, dejemos que n se factorice en d y e, n = de. La ecuación general

an + bn = cn

implica que (ad, bd, cd) es una solución para el exponente e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

Por lo tanto, para demostrar que la ecuación de Fermat no tiene soluciones para n > 2, sería suficiente demostrar que no tiene soluciones para al menos un factor primo de cada n. Cada entero n > 2 es divisible por 4 o por un número primo impar (o ambos). Por lo tanto, el último teorema de Fermat podría ser probado para todo n si pudiera ser probado para n = 4 y para todos los primos impares p.

En los dos siglos siguientes a su conjetura (1637-1839), se demostró el último teorema de Fermat para tres exponentes primos impares p = 3, 5 y 7. El caso p = 3 fue declarado por primera vez por Abu-Mahmud Khojandi (siglo X), pero su intento de prueba del teorema fue incorrecto. En 1770, Leonhard Euler dio una prueba de p = 3, pero su prueba por descenso infinito contenía una brecha importante. Sin embargo, dado que el propio Euler había demostrado el lema necesario para completar la prueba en otro trabajo, generalmente se le atribuye la primera prueba. Las pruebas independientes fueron publicadas por Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) y Duarte (1944).

El caso p = 5 fue probado de forma independiente por Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet alrededor de 1825. Las pruebas alternativas fueron desarrolladas por Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915) y Guy Terjanian (1987).

El caso p = 7 fue probado por Lamé en 1839. Sus pruebas bastante complicadas fueron simplificadas en 1840 por Lebesgue, y pruebas aún más simples fueron publicadas por Angelo Genocchi en 1864, 1874 y 1876. Las pruebas alternativas fueron desarrolladas por Théophile Pépin (1876) y Edmond Maillet (1897).

El último teorema de Fermat también se demostró para los exponentes n = 6, 10 y 14. Las pruebas para n = 6 fueron publicadas por Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift y Breusch. De manera similar, Dirichlet y Terjanian probaron el caso n = 14, mientras que Kapferer y Breusch probaron el caso n = 10. Estrictamente hablando, estas pruebas son innecesarias, ya que estos casos se derivan de las pruebas para n = 3, 5 y 7, respectivamente. Sin embargo, el razonamiento de estas pruebas de exponentes pares difiere de sus contrapartes de exponentes impares. La prueba de Dirichlet para n = 14 fue publicada en 1832, antes de la prueba de Lamé de 1839 para n = 7.

Todas las pruebas para exponentes específicos utilizaron la técnica de Fermat de descenso infinito, ya sea en su forma original, o en forma de descenso en curvas elípticas o variedades abelianas. Sin embargo, los detalles y argumentos auxiliares a menudo eran ad hoc y estaban vinculados al exponente individual en cuestión. Dado que se volvieron cada vez más complicados a medida que p aumentaba, parecía poco probable que el caso general del Último teorema de Fermat pudiera probarse basándose en las pruebas de exponentes individuales. Aunque algunos resultados generales sobre el último teorema de Fermat fueron publicados a principios del siglo XIX por Niels Henrik Abel y Peter Barlow, el primer trabajo significativo sobre el teorema general fue realizado por Sophie Germain.

Primeros avances modernoseditar

Sophie Germaineditar

A principios del siglo XIX, Sophie Germain desarrolló varios enfoques novedosos para probar el último Teorema de Fermat para todos los exponentes. En primer lugar, se ha definido un conjunto de auxiliares de los números primos θ {\displaystyle \theta }

construido a partir de la primer exponente p {\displaystyle p}

por la ecuación θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, donde h {\displaystyle h}

es cualquier número entero no divisible por tres. Ella mostró que, si no enteros elevado a la p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

poder eran adyacentes modulo θ {\displaystyle \theta }

(que no consecutivity condición), entonces θ {\displaystyle \theta }

debe dividir el producto x y z {\displaystyle xyz}

. Su objetivo era utilizar la inducción matemática para demostrar que, para cualquier p {\displaystyle p}

, infinitos números primos auxiliares θ {\displaystyle \theta }

satisfacía la condición de no consecutividad y, por lo tanto, dividía x y z {\displaystyle xyz}

; dado que el producto x y z {\displaystyle xyz}

puede tener como máximo un número finito de factores primos, tal prueba habría establecido el último Teorema de Fermat. Aunque desarrolló muchas técnicas para establecer la condición de no consecutividad, no tuvo éxito en su objetivo estratégico. También trabajó para establecer límites más bajos en el tamaño de las soluciones a la ecuación de Fermat para un exponente dado p {\displaystyle p}

, una versión modificada de la cual fue publicada por Adrien-Marie Legendre. Como un subproducto de este último trabajo, ella demostró Sophie Germain del teorema, que verificó el primer caso del Último Teorema de Fermat (es decir, el caso en el que p {\displaystyle p}

no divide a x y z {\displaystyle xyz}

) para cada impar primer exponente de menos de 270 {\displaystyle 270}

, y para todos los primos p {\displaystyle p}

tal que al menos uno de los 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

y 16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

es el primer (especialmente, la de los números primos p {\displaystyle p}

tales que 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

es primo se llaman números primos de Sophie Germain). Germain intentó sin éxito probar el primer caso del último Teorema de Fermat para todos los exponentes pares, específicamente para n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, que fue demostrado por Guy Terjanian en 1977. En 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown y Étienne Fouvry demostraron que el primer caso del último Teorema de Fermat es válido para infinitos números primos impares p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer y la teoría de los idealeseditar

En 1847, Gabriel Lamé esbozó una prueba del último Teorema de Fermat basado en factorizar la ecuación xp + yp = zp en números complejos, específicamente el campo ciclotómico basado en las raíces del número 1. Su prueba falló, sin embargo, porque asumió incorrectamente que tales números complejos se pueden factorizar de forma única en números primos, similares a los enteros. Esta brecha fue señalada inmediatamente por Joseph Liouville, quien más tarde leyó un artículo que demostró este fracaso de la factorización única, escrito por Ernst Kummer.

Kummer se propuso la tarea de determinar si el campo ciclotómico podía generalizarse para incluir nuevos números primos de modo que se restaurara la factorización única. Tuvo éxito en esa tarea desarrollando los números ideales.

(Nota: A menudo se afirma que Kummer fue llevado a sus «números complejos ideales» por su interés en el Último Teorema de Fermat; incluso hay una historia contada a menudo que Kummer, como Lamé, creía que había probado el último Teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet le dijo que su argumento se basaba en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente deriva de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el último Teorema de Fermat «está seguramente equivocada». Vea la historia de los números ideales.)

Utilizando el enfoque general esbozado por Lamé, Kummer probó ambos casos del último Teorema de Fermat para todos los números primos regulares. Sin embargo, no pudo probar el teorema de los primos excepcionales (primos irregulares) que ocurren conjeturalmente aproximadamente el 39% del tiempo; los únicos números primos irregulares por debajo de 270 son 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 y 263.

Conjetura de Mordelleditar

En la década de 1920, Louis Mordell planteó una conjetura que implicaba que la ecuación de Fermat tiene como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas no triviales, si el exponente n es mayor que dos. Esta conjetura fue probada en 1983 por Gerd Faltings, y ahora se conoce como teorema de Faltings.

Estudios computadoraleseditar

En la segunda mitad del siglo XX, se utilizaron métodos computacionales para extender el enfoque de Kummer a los primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver utilizó una computadora SWAC para probar el último teorema de Fermat para todos los primos hasta 2521. En 1978, Samuel Wagstaff había extendido esto a todos los primos menores de 125.000. En 1993, el Último Teorema de Fermat había sido probado para todos los primos menores de cuatro millones.

Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos y sus resultados, no existía ninguna prueba del último Teorema de Fermat. Las pruebas de exponentes individuales por su naturaleza nunca podrían probar el caso general: incluso si todos los exponentes se verificaran hasta un número extremadamente grande de X, un exponente más alto más allá de X podría existir para el que la afirmación no fuera cierta. (Este había sido el caso con algunas otras conjeturas pasadas, y no se podía descartar en esta conjetura.)

Conexión con curvas elípticaseditar

La estrategia que finalmente condujo a una prueba exitosa del Último Teorema de Fermat surgió de la conjetura «asombrosa»:211 de Taniyama–Shimura–Weil, propuesta alrededor de 1955, que muchos matemáticos creían que sería casi imposible de probar,: 223 y fue vinculada en la década de 1980 por Gerhard Frey, Jean—Pierre Serre y Ken Ribet a la ecuación de Fermat. Al realizar una prueba parcial de esta conjetura en 1994, Andrew Wiles finalmente logró probar el Último Teorema de Fermat, así como abrir el camino a una prueba completa por parte de otros de lo que ahora se conoce como el teorema de modularidad.

Conjetura de Taniyama–Shimura–Weileditar

Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas aparentemente completamente distintas de las matemáticas, curvas elípticas y formas modulares. El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como conjetura de Taniyama–Shimura) establece que cada curva elíptica es modular, lo que significa que puede asociarse con una forma modular única.

El enlace fue inicialmente descartado como improbable o altamente especulativo, pero se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que lo respaldaba, aunque no lo demostraba; como resultado, la conjetura fue a menudo conocida como la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

Incluso después de ganar atención seria, la conjetura fue vista por los matemáticos contemporáneos como extraordinariamente difícil o quizás inaccesible a la prueba.: 203-205, 223, 226 Por ejemplo, el supervisor doctoral de Wiles, John Coates, afirma que parecía «imposible de probar realmente»,: 226 y Ken Ribet se consideraba a sí mismo «una de la gran mayoría de personas que creían que era completamente inaccesible», agregando que «Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que en realidad se puede ir y probar .»:223

Teorema de Ribet para las curvas de freyedItar

En 1984, Gerhard Frey observó un vínculo entre la ecuación de Fermat y el teorema de la modularidad, por entonces todavía una conjetura. Si la ecuación de Fermat tuviera alguna solución (a, b, c) para el exponente p > 2, entonces se podría demostrar que la curva elíptica semiestable (ahora conocida como Frey-Hellegouarch)

y2 = x(x-ap) (x + bp)

tendría propiedades tan inusuales que era poco probable que fuera modular. Esto entraría en conflicto con el teorema de modularidad, que afirmaba que todas las curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observó que una prueba de la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil también podría probar simultáneamente el último Teorema de Fermat. Por contraposición, una refutación del Último Teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

En inglés sencillo, Frey había demostrado que, si esta intuición sobre su ecuación era correcta, entonces cualquier conjunto de 4 números (a, b, c, n) capaz de refutar el último Teorema de Fermat, también podría usarse para refutar la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil. Por lo tanto, si lo último fuera cierto, lo primero no podría ser refutado, y también tendría que ser cierto.

Siguiendo esta estrategia, una prueba del último Teorema de Fermat requirió dos pasos. En primer lugar, era necesario probar el teorema de modularidad, o al menos probarlo para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semistables). Esto fue ampliamente creído inaccesible a la prueba por los matemáticos contemporáneos.: 203-205, 223, 226 En segundo lugar, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que si una curva elíptica se construyera de esta manera, utilizando un conjunto de números que fueran una solución de la ecuación de Fermat, la curva elíptica resultante no podría ser modular. Frey demostró que esto era plausible, pero no fue tan lejos como dar una prueba completa. La pieza faltante (la llamada «conjetura de epsilon», ahora conocida como teorema de Ribet) fue identificada por Jean-Pierre Serre, quien también dio una prueba casi completa y el enlace sugerido por Frey fue finalmente probado en 1986 por Ken Ribet.

Siguiendo el trabajo de Frey, Serre y Ribet, aquí era donde estaban las cosas:

• El último teorema de Fermat necesitaba ser probado para todos los exponentes n que eran números primos.
• El teorema de modularidad, si se demuestra para curvas elípticas semiestables, significaría que todas las curvas elípticas semistables deben ser modulares.
• El teorema de Ribet mostró que cualquier solución a la ecuación de Fermat para un número primo podía usarse para crear una curva elíptica semistable que no podía ser modular;
• La única forma en que ambas afirmaciones podían ser verdaderas, era si no existían soluciones a la ecuación de Fermat (porque entonces no se podía crear tal curva), que era lo que decía el último Teorema de Fermat. Como el Teorema de Ribet ya estaba probado, esto significaba que una prueba del Teorema de Modularidad demostraría automáticamente que el último teorema de Fermat también era cierto.

Wiles general de proofEdit

el matemático Británico Andrew Wiles.

La prueba de Ribet de la conjetura de epsilon en 1986 logró el primero de los dos objetivos propuestos por Frey. Al enterarse del éxito de Ribet, Andrew Wiles, un matemático inglés con una fascinación infantil por el Último Teorema de Fermat, y que había trabajado en curvas elípticas, decidió comprometerse a lograr la segunda mitad: demostrando un caso especial del teorema de modularidad (entonces conocido como conjetura de Taniyama–Shimura) para curvas elípticas semistables.

Wiles trabajó en esa tarea durante seis años en secreto casi total, encubriendo sus esfuerzos publicando trabajos anteriores en pequeños segmentos como documentos separados y confiando solo en su esposa.:229-230 Su estudio inicial sugirió la prueba por inducción,: 230-232, 249-252 y basó su trabajo inicial y primer avance significativo en la teoría de Galois: 251-253, 259 antes de cambiar a un intento de extender la teoría horizontal de Iwasawa para el argumento inductivo alrededor de 1990-91, cuando parecía que no había un enfoque existente adecuado al problema.: 258-259 Sin embargo, a mediados de 1991, la teoría de Iwasawa también parecía no estar alcanzando los temas centrales del problema.:259-260 En respuesta, se acercó a sus colegas para buscar cualquier indicio de investigación de vanguardia y nuevas técnicas, y descubrió un sistema Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía «hecho a medida» para la parte inductiva de su prueba.: 260-261 Wiles estudió y amplió este enfoque, que funcionó. Dado que su trabajo se basó ampliamente en este enfoque, que era nuevo para las matemáticas y las artimañas, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz, que le ayudara a comprobar su razonamiento para detectar errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas utilizadas parecían funcionar correctamente.: 261-265

A mediados de mayo de 1993, Wiles se sintió capaz de decirle a su esposa que pensaba que había resuelto la prueba del Último Teorema de Fermat,: 265 y en junio se sintió lo suficientemente seguro para presentar sus resultados en tres conferencias impartidas del 21 al 23 de junio de 1993 en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas. Específicamente, Wiles presentó su prueba de la conjetura de Taniyama–Shimura para curvas elípticas semistables; junto con la prueba de Ribet de la conjetura de epsilon, esto implicaba el último Teorema de Fermat. Sin embargo, se hizo evidente durante la revisión por pares que un punto crítico en la prueba era incorrecto. Contenía un error en un enlace en el orden de un grupo en particular. El error fue detectado por varios matemáticos que arbitraron el manuscrito de Wiles, incluido Katz (en su papel de revisor), quien alertó a Wiles el 23 de agosto de 1993.

El error no habría hecho que su trabajo careciera de valor: cada parte de la obra de Wiles era altamente significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada.:289, 296-297 Sin embargo, sin esta parte probada, no había una prueba real del Último Teorema de Fermat. Wiles pasó casi un año tratando de reparar su prueba, inicialmente solo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor, sin éxito. A finales de 1993, se habían difundido rumores de que, bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fracasado, pero no se sabía cuán seriamente. Los matemáticos estaban empezando a presionar a las artimañas para que revelaran su trabajo si estaba completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y usar lo que había logrado lograr. Pero en lugar de solucionarse, el problema, que en un principio parecía menor, ahora parecía muy significativo, mucho más grave y menos fácil de resolver.

Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994, estaba a punto de rendirse y casi se resignó a aceptar que había fracasado, y a publicar su trabajo para que otros pudieran construir sobre él y corregir el error. Agrega que estaba teniendo una mirada final para tratar de entender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando tuvo una idea repentina: que la razón específica por la que el enfoque Kolyvagin – Flach no funcionaría directamente también significaba que sus intentos originales utilizando la teoría de Iwasawa podrían funcionar, si la fortalecía utilizando su experiencia adquirida con el enfoque Kolyvagin–Flach. Arreglar un enfoque con herramientas del otro enfoque resolvería el problema para todos los casos que aún no habían sido probados por su artículo arbitrado. Describió más tarde que la teoría de Iwasawa y el enfoque Kolyvagin–Flach eran inadecuados por sí solos, pero juntos podrían ser lo suficientemente poderosos como para superar este obstáculo final.

» Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No era que creyera que podía hacer que funcionara, pero pensé que al menos podría explicar por qué no funcionó. De repente tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que el método Kolyvagin–Flach no funcionaba, pero era todo lo que necesitaba para hacer que mi teoría original de Iwasawa funcionara tres años antes. Así que de las cenizas de Kolyvagin–Flach parecía surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo me lo había perdido y solo lo miré con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento, y seguía volviendo a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No podía contenerme, estaba tan emocionada. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.»- Andrew Wiles, citado por Simon Singh

El 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, «Curvas elípticas modulares y El Último Teorema de Fermat» y «Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke», el segundo de los cuales fue escrito en coautoría con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el documento principal. Los dos documentos fueron examinados y publicados como la totalidad de la edición de mayo de 1995 de los Anales de las Matemáticas. Estos documentos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semistables, el último paso para probar el Último Teorema de Fermat, 358 años después de que se conjeturara.

Desarrollos subsecuenteseditar

La conjetura completa de Taniyama–Shimura–Weil fue finalmente probada por Diamond (1996) error harvtxt: objetivos múltiples (2×): CITEREFDiamond1996 (help), Conrad, Diamond & Taylor (1999) error harvtxt: objetivos múltiples (2×): CITEREFConradDiamondTaylor1999 (ayuda), y Breuil et al. (2001) error harvtxt: múltiples objetivos (2×): Citeref Breuilconraddiamondtaylor2001 (help), que, basándose en el trabajo de Wiles, recortó gradualmente los casos restantes hasta que se demostró el resultado completo. La conjetura ahora plenamente probada se conoció como el teorema de modularidad.

Varios otros teoremas en teoría de números similares al Último Teorema de Fermat también se derivan del mismo razonamiento, utilizando el teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo se puede escribir como una suma de dos potencias n-ésimas coprimas, n ≥ 3. (El caso n = 3 ya era conocido por Euler.)