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Física

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Sabemos por cinemática que la aceleración es un cambio en la velocidad, ya sea en su magnitud o en su dirección, o en ambos. En un movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia constantemente, por lo que siempre hay una aceleración asociada, aunque la magnitud de la velocidad pueda ser constante. Experimentas esta aceleración tú mismo cuando giras una esquina en tu coche. (Si mantiene la rueda firme durante un giro y se mueve a velocidad constante, tiene un movimiento circular uniforme. Lo que nota es una aceleración lateral porque usted y el automóvil están cambiando de dirección. Cuanto más pronunciada sea la curva y mayor sea su velocidad, más notoria será esta aceleración. En esta sección examinamos la dirección y magnitud de esa aceleración.

La Figura 1 muestra un objeto que se mueve en una trayectoria circular a velocidad constante. La dirección de la velocidad instantánea se muestra en dos puntos a lo largo de la trayectoria. La aceleración está en la dirección del cambio de velocidad, que apunta directamente hacia el centro de rotación (el centro de la trayectoria circular). Este apunte se muestra con el diagrama vectorial en la figura. Llamamos a la aceleración de un objeto que se mueve en movimiento circular uniforme (resultante de una fuerza externa neta) la aceleración centrípeta(ac); centrípeta significa «hacia el centro» o «búsqueda del centro».»

La figura dada muestra un círculo, con un triángulo que tiene vértices A B C hechos desde el centro hasta el límite. A está en el centro y los puntos B y C están en la trayectoria del círculo. Las líneas a, B y C actúan como radios y B C es un acorde. Delta theta se muestra dentro del triángulo, y la longitud del arco delta s y la longitud del acorde delta r también se dan. En el punto B, la velocidad del objeto se muestra como v uno y en el punto C, la velocidad del objeto se muestra como v dos. A lo largo del círculo se muestra una ecuación como delta v es igual a v sub 2 menos v sub 1.

Figura 1. Se muestran las direcciones de la velocidad de un objeto en dos puntos diferentes, y se ve que el cambio en la velocidad Δv apunta directamente hacia el centro de curvatura. (Ver recuadro pequeño.) Debido a que ac = Δv / Δt, la aceleración es también hacia el centro; ac se llama aceleración centrípeta. (Debido a que Δθ es muy pequeño, la longitud del arco Δs es igual a la longitud del acorde Δr para pequeñas diferencias de tiempo.)

La dirección de la aceleración centrípeta hacia el centro de curvatura, pero ¿cuál es su magnitud? Tenga en cuenta que el triángulo formado por los vectores de velocidad y el formado por los radios r y Δs son similares. Ambos triángulos ABC y PQR son triángulos isósceles (dos lados iguales). Los dos lados iguales del triángulo vectorial de velocidad son las velocidades v1 = v2 = v. Usando las propiedades de dos triángulos similares, obtenemos \frac {\Delta {v}} {v}=\frac {\Delta{s}}{r}\\.

la Aceleración es \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, y así tenemos la primera resolver esta expresión para Δv:

\displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{s}\\.

a Continuación, dividimos esto por Δt, produciendo

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

por último, señalar que \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ y que \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=v\\, lineal o tangencial de la velocidad, vemos que la magnitud de la aceleración centrípeta es

{un}_c=\frac{v^2}{r}\\,

que es la aceleración de un objeto en un círculo de radio r a una velocidad v. Por lo tanto, la aceleración centrípeta es mayor a altas velocidades y en curvas cerradas (radio más pequeño), como se ha notado al conducir un automóvil. Pero es un poco sorprendente que ac sea proporcional a la velocidad cuadrada, lo que implica, por ejemplo, que es cuatro veces más difícil tomar una curva a 100 km/h que a 50 km/h. Una curva afilada tiene un radio pequeño, por lo que ac es mayor para giros más estrechos, como probablemente haya notado.

También es útil expresar ac en términos de velocidad angular. Sustituyendo v = rw en la expresión anterior, encontramos a_c= \ frac {\left (r\omega\right)^2}{r}=r\omega^2\\. Podemos expresar la magnitud de la aceleración centrípeta usando cualquiera de las dos ecuaciones:

\displaystyle{a}_c = \frac {v^2} {r}; a_c=r\omega^2\\.

Recuerde que la dirección de ac es hacia el centro. Puede usar la expresión que le resulte más conveniente, como se ilustra en los ejemplos a continuación.

Una centrifugadora (véase la Figura 2b) es un dispositivo giratorio utilizado para separar muestras de diferentes densidades. La alta aceleración centrípeta disminuye significativamente el tiempo que tarda en producirse la separación y hace posible la separación con muestras pequeñas. Las centrífugas se utilizan en una variedad de aplicaciones en la ciencia y la medicina, incluida la separación de suspensiones unicelulares, como bacterias, virus y células sanguíneas, de un medio líquido y la separación de macromoléculas, como ADN y proteínas, de una solución. Las centrífugas a menudo se clasifican en términos de su aceleración centrípeta en relación con la aceleración debida a la gravedad (g); la aceleración centrípeta máxima de varios cientos de miles de g es posible en el vacío. Se han utilizado centrifugadoras humanas, centrifugadoras extremadamente grandes, para probar la tolerancia de los astronautas a los efectos de aceleraciones mayores que las de la gravedad de la Tierra.

Ejemplo 1. ¿Cómo se Compara la Aceleración Centrípeta de un Automóvil Alrededor de una Curva con la Debida a la Gravedad?

¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de un automóvil que sigue una curva de radio de 500 m a una velocidad de 25,0 m/s (aproximadamente 90 km/h)? Compare la aceleración con la debida a la gravedad para esta curva bastante suave tomada a velocidad de carretera. Véase la Figura 2a.

Estrategia

Debido a que se dan v y r, la primera expresión en \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ es la más conveniente de usar.

Solución

Introducir los valores dados de v = 25.0 m/s y r=500 m en la primera expresión para ca da

\displaystyle{un}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left(25.0\text{ m/s}\derecho)^2}{500\text{ m}}=1.25\text{ m/s}^2\\.

Discusión

comparar esto con la aceleración debida a la gravedad (g = 9.80 m/s2), tomamos la relación de \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25 \ text {m/s}^2 \ right)} {\left(9.80\text{ m/s}^2\right)}=0.128\\. Por lo tanto, ac=0,128 g y se nota especialmente si no llevaba el cinturón de seguridad.

En la figura a, un automóvil que se muestra desde arriba está corriendo en una carretera circular alrededor de un camino circular. El centro del parque se denomina como el centro de este círculo y la distancia desde este punto hasta el automóvil se toma como radio r. La velocidad lineal se muestra en dirección perpendicular hacia la parte delantera del automóvil, mostrada como v la aceleración centrípeta se muestra con una flecha apuntando hacia el centro de rotación. En la figura b, se muestra una centrifugadora en la que un objeto de masa m está girando a una velocidad constante. El objeto está a la distancia igual al radio, r, de la centrífuga. La aceleración centrípeta se muestra hacia el centro de rotación, y la velocidad, v se muestra perpendicular al objeto en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 2. a) El vehículo que sigue una trayectoria circular a velocidad constante se acelera perpendicularmente a su velocidad, como se muestra. La magnitud de esta aceleración centrípeta se encuentra en el ejemplo 1. b) Una partícula de masa en una centrifugadora gira a velocidad angular constante . Debe acelerarse perpendicularmente a su velocidad o continuaría en línea recta. La magnitud de la aceleración necesaria se encuentra en el ejemplo 2.

Ejemplo 2. ¿Qué tan Grande es la Aceleración Centrípeta en una Ultracentrífuga?

Calcular la aceleración centrípeta de un punto 7.a 50 cm del eje de una ultracentrífuga girando a 7,5 × 104 rev/min. Determinar la relación entre esta aceleración y la debida a la gravedad. Véase la Figura 2b.

Estrategia

El término rev/min significa revoluciones por minuto. Al convertir esto a radianes por segundo, obtenemos la velocidad angular ω. Porque r es dada, podemos utilizar la segunda expresión en la ecuación a_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\\ para calcular la aceleración centrípeta.

Solución

Para convertir 7.50 × 104 rev/min a radianes por segundo, podemos utilizar los hechos de que una revolución es 2π rad y un minuto es 60.0 s. Por lo tanto,

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text{ rad}}{1\text{ rev}}\times\frac{1\text{ min}}{60.0\text{ s}}=7854\text{ rad/s}\\ .

Ahora, la aceleración centrípeta está dada por la segunda expresión en

\displaystyle{un}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ ac = rw2.

La conversión de 7,50 cm en metros y la sustitución de valores conocidos da como resultado ac = (0,0750 m) (7854 rad/s) 2 = 4.63 × 106 m / s2.

Tenga en cuenta que los radianes sin unidad se descartan para obtener las unidades correctas para la aceleración centrípeta. Tomando la relación de ca a g rendimientos

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\times10^6}{9.80}=4.72\times10^5\\.

Discusión

Este último resultado significa que la aceleración centrípeta es 472.000 veces más fuerte que g. No es de extrañar que estas centrífugas de alto ω se denominen ultracentrífugas. Las aceleraciones extremadamente grandes involucradas disminuyen en gran medida el tiempo necesario para causar la sedimentación de células sanguíneas u otros materiales.

Por supuesto, se necesita una fuerza externa neta para causar cualquier aceleración, tal como Newton propuso en su segunda ley del movimiento. Por lo tanto, se necesita una fuerza externa neta para causar una aceleración centrípeta. En la Fuerza Centrípeta, consideraremos las fuerzas involucradas en el movimiento circular.

Exploraciones PhET: Ladybug Motion 2D

Conozca los vectores de posición, velocidad y aceleración. Mueva la mariquita configurando la posición, velocidad o aceleración, y vea cómo cambian los vectores. Elija movimiento lineal, circular o elíptico, y grabe y reproduzca el movimiento para analizar el comportamiento.

Captura de pantalla de Ladybug Motion 2D.

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Resumen de la sección

  • Aceleración centrípeta ac es la aceleración experimentada en un movimiento circular uniforme. Siempre apunta hacia el centro de rotación. Es perpendicular a la velocidad lineal v y tiene la magnitud {a}_{\text{c}}=\frac{{v}^{2}}{r};{a}_{\text{c}}={\mathrm{r\omega }}^{2}\\.
  • La unidad de aceleración centrípeta es m / s2.

Preguntas conceptuales

  1. ¿Puede la aceleración centrípeta cambiar la velocidad del movimiento circular? Explicar.

Problemas & Ejercicios

  1. Un paseo en el recinto ferial hace girar a sus ocupantes dentro de un contenedor en forma de platillo volador. Si la trayectoria circular horizontal que siguen los jinetes tiene un radio de 8,00 m, ¿a cuántas revoluciones por minuto estarán sujetos los jinetes a una aceleración centrípeta cuya magnitud es 1,50 veces la debida a la gravedad?
  2. Un corredor que participa en la carrera de 200 m debe correr alrededor del extremo de una pista que tiene un arco circular con un radio de curvatura de 30 m. Si completa la carrera de 200 m en 23.2 s y corre a velocidad constante durante toda la carrera, ¿cuál es la magnitud de su aceleración centrípeta mientras corre la parte curva de la pista?
  3. Tomando la edad de la Tierra como de unos 4 × 109 años y asumiendo su radio orbital de 1.5 × 1011 no ha cambiado y es circular, calcule la distancia total aproximada que la Tierra ha viajado desde su nacimiento (en un marco de referencia estacionario con respecto al Sol).
  4. La hélice de un avión de caza de la Segunda Guerra Mundial tiene 2,30 m de diámetro. (a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo si gira a 1200 rev/min? b) ¿Cuál es la velocidad lineal de su punta a esta velocidad angular si el plano está estacionario en la pista? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la punta de la hélice en estas condiciones? Calcularlo en metros por segundo cuadrado y convertirlo en múltiplos de g.
  5. Una piedra de afilar de taller ordinaria tiene un radio de 7,50 cm y gira a 6500 rev / min. (a) Calcular la magnitud de la aceleración centrípeta en su borde en metros por segundo cuadrado y convertirla en múltiplos de g. (b) ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto en su borde?
  6. Las palas de helicóptero soportan tremendas tensiones. Además de soportar el peso de un helicóptero, se giran a velocidades rápidas y experimentan grandes aceleraciones centrípetas, especialmente en la punta. a) Calcular la magnitud de la aceleración centrípeta en la punta de una pala de helicóptero de 4,00 m de largo que gira a 300 revoluciones por minuto. b) Comparar la velocidad lineal de la punta con la velocidad del sonido (tomada como 340 m/s).
  7. Los patinadores de hielo olímpicos pueden girar a aproximadamente 5 revoluciones por segundo. (a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la nariz del patinador si está a 0,120 m del eje de rotación? (c) Un patinador excepcional llamado Dick Button fue capaz de girar mucho más rápido en la década de 1950 que nadie desde entonces, a unos 9 rev/s. ¿Cuál fue la aceleración centrípeta de la punta de su nariz, suponiendo que esté a un radio de 0,120 m? (d) Comentar las magnitudes de las aceleraciones encontradas. Se dice que el botón rompió pequeños vasos sanguíneos durante sus giros.
  8. ¿Qué porcentaje de la aceleración en la superficie de la Tierra es la aceleración debida a la gravedad en la posición de un satélite situado a 300 km por encima de la Tierra?
  9. Verifique que la velocidad lineal de una ultracentrífuga es de aproximadamente 0,50 km/s, y que la Tierra en su órbita es de aproximadamente 30 km / s calculando: (a) La velocidad lineal de un punto en una ultracentrífuga 0.a 100 m de su centro, girando a 50.000 rev / min; (b) La velocidad lineal de la Tierra en su órbita alrededor del Sol (utilice los datos del texto sobre el radio de la órbita de la Tierra y aproximarlo como circular).
  10. Se dice que una estación espacial giratoria crea «gravedad artificial», un término vagamente definido utilizado para una aceleración que sería crudamente similar a la gravedad. La pared exterior de la estación espacial giratoria se convertiría en un piso para los astronautas, y la aceleración centrípeta suministrada por el piso permitiría a los astronautas hacer ejercicio y mantener la fuerza muscular y ósea de forma más natural que en entornos espaciales no giratorios. Si la estación espacial tiene 200 m de diámetro, ¿qué velocidad angular produciría una «gravedad artificial» de 9,80 m/s2 en el borde?
  11. En el despegue, un avión comercial tiene una velocidad de 60,0 m/s. Sus neumáticos tienen un diámetro de 0,850 m. (a) ¿A cuántas revoluciones/minuto giran los neumáticos? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en el borde del neumático? c) ¿Con qué fuerza debe aferrarse al borde una bacteria determinada de 1,00 × 10-15 kg? d) Tomar la relación entre esta fuerza y el peso de la bacteria.
  12. Conceptos integrados. Los jinetes en un paseo en un parque de atracciones con forma de barco vikingo colgado de un gran pivote se giran hacia adelante y hacia atrás como un péndulo rígido. En algún momento cerca de la mitad del viaje, el barco está momentáneamente inmóvil en la parte superior de su arco circular. La nave se inclina hacia abajo bajo la influencia de la gravedad. (a) Suponiendo una fricción insignificante, encuentre la velocidad de los jinetes en la parte inferior de su arco, dado que el centro de masa del sistema viaja en un arco con un radio de 14,0 m y los jinetes están cerca del centro de masa. b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en la parte inferior del arco? (c) Dibujar un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre un jinete en la parte inferior del arco. (d) Encontrar la fuerza ejercida por el viaje en un jinete de 60,0 kg y compararla con su peso. e) Examinar si la respuesta parece razonable.
  13. Resultados irrazonables. Una madre empuja a su hijo en un columpio para que su velocidad sea de 9.00 m / s en el punto más bajo de su camino. El columpio está suspendido a 2,00 m por encima del centro de masa del niño. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta del niño en el punto bajo? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce el niño sobre el asiento si su masa es de 18,0 kg? c) ¿Qué es irrazonable de estos resultados? d) ¿Qué premisas son irrazonables o incoherentes?

Glosario

aceleración centrípeta: la aceleración de un objeto que se mueve en un círculo, dirigido hacia el centro

ultracentrífuga: una centrífuga optimizada para girar un rotor a velocidades muy altas

Soluciones seleccionadas a problemas & Ejercicios

1. 12,9 rev/min

3. 4 × 1021 m

5. a) 3,47 × 104 m/s2, 3,55 × 103 g; b) 51,1 m/s

7. (a) 3.14 rad/s; (b) 118 m/s; (c) 384 m/s; (d)La aceleración centrípeta sentía por patinadores Olímpicos es 12 veces mayor que la aceleración debida a la gravedad. Eso es bastante aceleración en sí mismo. La aceleración centrípeta sentida por la nariz de Button era 39,2 veces mayor que la aceleración debida a la gravedad. No es de extrañar que rompiera pequeños vasos sanguíneos en sus giros.

9. a) 0,524 km/s; b) 29,7 km/s

11. (a) 1.35 × 103 rpm; (b) 8.47 × 103 m/s2; (c) 8.47 × 10-12 N; (d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19,6 m/s2;

(c)

Un rectángulo con una base más larga que la altura. Una línea vertical con puntas de flecha en ambos extremos pasa a través del rectángulo, dividiendo los lados horizontales. La parte superior de la flecha está etiquetada N, y la parte inferior está etiquetada w. ;

(d) 1.76 × 103 N o 3.00 w, es decir, la fuerza normal (hacia arriba) es tres veces su peso; (e) Esta respuesta parece razonable, ya que siente que está siendo forzada a sentarse en la silla mucho más fuerte que solo por la gravedad.

13. a) 40,5 m/s2; b) 905 N; c) La fuerza de la parte b) es muy grande. La aceleración en la parte (a) es demasiado, alrededor de 4 g; (d) La velocidad del giro es demasiado grande. A la velocidad dada en la parte inferior del columpio, hay suficiente energía cinética para enviar al niño hasta la parte superior, ignorando la fricción.