(la condition de non-consécutivité), alors θ {\displaystyle\theta}

doit diviser le produit x y z {\displaystyle xyz}

. Son but était d’utiliser l’induction mathématique pour prouver que, pour un p {\displaystyle p} donné

, une infinité de nombres premiers auxiliaires θ {\displaystyle\theta}

satisfaisait la condition de non-consécutivité et divisait ainsi x y z {\displaystyle xyz }

; puisque le produit x y z {\displaystyle xyz}

peut avoir au plus un nombre fini de facteurs premiers, une telle preuve aurait établi le Dernier théorème de Fermat. Bien qu’elle ait développé de nombreuses techniques pour établir la condition de non-consécutivité, elle n’a pas réussi son objectif stratégique. Elle a également travaillé à fixer des limites inférieures sur la taille des solutions de l’équation de Fermat pour un exposant donné p{\displaystyle p}

, dont une version modifiée a été publiée par Adrien-Marie Legendre. En tant que sous-produit de ce dernier travail, elle a prouvé le théorème de Sophie Germain, qui a vérifié le premier cas du Dernier Théorème de Fermat (à savoir, le cas dans lequel p {\displaystyle p}

ne divise pas x y z {\displaystyle xyz}

) pour chaque impair exposant premier inférieur à 270 {\displaystyle 270}

, et pour tous les nombres premiers p {\displaystyle p}

tels qu’au moins un des 2 p+1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p+1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p+1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p+1 {\displaystyle 10p +1}

, 14 p +1 {\displaystyle 14p+1}

et 16 p +1 {\displaystyle 16p+1}

est premier (spécialement, les nombres premiers p {\displaystyle p}

tels que 2 p+1 {\displaystyle 2p+1}

est premier sont appelés nombres premiers de Sophie Germain). Germain a essayé sans succès de prouver le premier cas du Dernier Théorème de Fermat pour tous les exposants pairs, en particulier pour n = 2 p{\displaystyle n= 2p}

, qui a été prouvé par Guy Terjanian en 1977. En 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown et Étienne Fouvry ont prouvé que le premier cas du Dernier Théorème de Fermat est valable pour une infinité de nombres premiers impairs p{\displaystyle p}

.

Ernst Kummer and the theory of idealsEdit

En 1847, Gabriel Lamé a présenté une preuve du Dernier théorème de Fermat basée sur la factorisation de l’équation xp + yp = zp dans les nombres complexes, en particulier le champ cyclotomique basé sur les racines du nombre 1. Sa preuve a cependant échoué, car elle supposait à tort que de tels nombres complexes peuvent être factorisés de manière unique en nombres premiers, similaires aux entiers. Cette lacune a été immédiatement signalée par Joseph Liouville, qui a lu plus tard un article démontrant cet échec de la factorisation unique, écrit par Ernst Kummer.

Kummer s’est donné pour tâche de déterminer si le champ cyclotomique pouvait être généralisé pour inclure de nouveaux nombres premiers de telle sorte que la factorisation unique soit restaurée. Il a réussi dans cette tâche en développant les nombres idéaux.

(Note: On dit souvent que Kummer a été conduit à ses « nombres complexes idéaux » par son intérêt pour le Dernier Théorème de Fermat; il y a même une histoire souvent racontée que Kummer, comme Lamé, croyait avoir prouvé le Dernier Théorème de Fermat jusqu’à ce que Lejeune Dirichlet lui dise que son argument reposait sur une factorisation unique; mais l’histoire a été racontée pour la première fois par Kurt Hensel en 1910 et les preuves indiquent qu’elle provient probablement d’une confusion de l’une des sources de Hensel. Harold Edwards dit que la croyance selon laquelle Kummer s’intéressait principalement au Dernier théorème de Fermat « est sûrement erronée ». Voir l’histoire des nombres idéaux.)

En utilisant l’approche générale décrite par Lamé, Kummer a prouvé les deux cas du Dernier théorème de Fermat pour tous les nombres premiers réguliers. Cependant, il n’a pas pu prouver le théorème pour les nombres premiers exceptionnels (nombres premiers irréguliers) qui se produisent conjecturalement environ 39% du temps; les seuls nombres premiers irréguliers inférieurs à 270 sont 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 et 263.

Mordell conjectureEdit

Dans les années 1920, Louis Mordell a posé une conjecture qui impliquait que l’équation de Fermat a au plus un nombre fini de solutions entières primitives non triviales, si l’exposant n est supérieur à deux. Cette conjecture a été prouvée en 1983 par Gerd Faltings, et est maintenant connue sous le nom de théorème de Faltings.

Études computationnellesmodifier

Dans la seconde moitié du 20e siècle, des méthodes de calcul ont été utilisées pour étendre l’approche de Kummer aux nombres premiers irréguliers. En 1954, Harry Vandiver a utilisé un ordinateur SWAC pour prouver le Dernier théorème de Fermat pour tous les nombres premiers jusqu’à 2521. En 1978, Samuel Wagstaff avait étendu cela à tous les nombres premiers inférieurs à 125 000. En 1993, le Dernier théorème de Fermat avait été prouvé pour tous les nombres premiers inférieurs à quatre millions.

Cependant, malgré ces efforts et leurs résultats, il n’existait aucune preuve du Dernier théorème de Fermat. Les preuves d’exposants individuels de par leur nature ne pourraient jamais prouver le cas général: même si tous les exposants étaient vérifiés jusqu’à un nombre extrêmement grand X, un exposant plus élevé au-delà de X pourrait toujours exister pour lequel l’affirmation n’était pas vraie. (Cela avait été le cas avec d’autres conjectures passées, et cela ne pouvait être exclu dans cette conjecture.)

Connexion avec les courbes elliptiquesdit

La stratégie qui a finalement conduit à une preuve réussie du Dernier Théorème de Fermat est née de l' »étonnante » : 211 conjecture de Taniyama-Shimura-Weil, proposée vers 1955 — que de nombreux mathématiciens pensaient presque impossible à prouver, :223 et a été liée dans les années 1980 par Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet à l’équation de Fermat. En accomplissant une preuve partielle de cette conjecture en 1994, Andrew Wiles a finalement réussi à prouver le Dernier théorème de Fermat, ainsi qu’à ouvrir la voie à une preuve complète par d’autres de ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème de modularité.

conjectureEdit de Taniyama–Shimura–Weil

Vers 1955, les mathématiciens japonais Goro Shimura et Yutaka Taniyama ont observé un lien possible entre deux branches apparemment complètement distinctes des mathématiques, les courbes elliptiques et les formes modulaires. Le théorème de modularité résultant (à l’époque connu sous le nom de conjecture de Taniyama–Shimura) stipule que chaque courbe elliptique est modulaire, ce qui signifie qu’elle peut être associée à une forme modulaire unique.

Le lien a d’abord été rejeté comme improbable ou hautement spéculatif, mais a été pris plus au sérieux lorsque le théoricien des nombres André Weil a trouvé des preuves le soutenant, mais ne le prouvant pas; en conséquence, la conjecture était souvent connue sous le nom de conjecture de Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

Même après avoir reçu une attention sérieuse, la conjecture a été considérée par les mathématiciens contemporains comme extraordinairement difficile ou peut-être inaccessible à la preuve.: 203-205, 223, 226 Par exemple, le directeur de thèse de Wiles, John Coates, déclare qu’il semblait « impossible de prouver réellement »,: 226 et Ken Ribet se considérait comme « l’une de la grande majorité des personnes qui croyaient était complètement inaccessible », ajoutant qu ‘ »Andrew Wiles était probablement l’une des rares personnes sur terre à avoir eu l’audace de rêver que vous puissiez réellement aller prouver. »:223

Théorème de Ribet pour les courbes de Freydit

En 1984, Gerhard Frey a noté un lien entre l’équation de Fermat et le théorème de modularité, alors encore une conjecture. Si l’équation de Fermat avait une solution (a, b, c) pour l’exposant p >2, alors on pourrait montrer que la courbe elliptique semi-stable (maintenant connue sous le nom de Frey-Hellegouarch)

y2=x(x−ap)(x + bp)

aurait des propriétés si inhabituelles qu’il était peu probable qu’elle soit modulaire. Cela serait en conflit avec le théorème de modularité, qui affirmait que toutes les courbes elliptiques sont modulaires. En tant que tel, Frey a observé qu’une preuve de la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil pourrait également prouver simultanément le Dernier théorème de Fermat. Par contraposition, une démonstration ou une réfutation du Dernier théorème de Fermat réfuterait la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil.

En clair, Frey avait montré que, si cette intuition sur son équation était correcte, alors tout ensemble de 4 nombres (a, b, c, n) capable de réfuter le Dernier Théorème de Fermat pourrait également être utilisé pour réfuter la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil. Par conséquent, si ce dernier était vrai, le premier ne pourrait pas être réfuté et devrait également être vrai.

Suivant cette stratégie, une preuve du Dernier Théorème de Fermat a nécessité deux étapes. Tout d’abord, il était nécessaire de prouver le théorème de modularité – ou du moins de le prouver pour les types de courbes elliptiques qui incluaient l’équation de Frey (appelées courbes elliptiques semi-stables). Cela était largement considéré comme inaccessible à la preuve par les mathématiciens contemporains.: 203-205, 223, 226 Deuxièmement, il était nécessaire de montrer que l’intuition de Frey était correcte: que si une courbe elliptique était construite de cette manière, en utilisant un ensemble de nombres qui étaient une solution de l’équation de Fermat, la courbe elliptique résultante ne pourrait pas être modulaire. Frey a montré que cela était plausible mais n’est pas allé jusqu’à donner une preuve complète. La pièce manquante (la soi-disant « conjecture d’epsilon », maintenant connue sous le nom de théorème de Ribet) a été identifiée par Jean-Pierre Serre qui a également donné une preuve presque complète et le lien suggéré par Frey a finalement été prouvé en 1986 par Ken Ribet.

Suivant les travaux de Frey, Serre et Ribet, c’est là que les choses se sont passées :

• Le dernier théorème de Fermat devait être prouvé pour tous les exposants n qui étaient des nombres premiers.
• Le théorème de modularité – s’il était prouvé pour les courbes elliptiques semi–stables – signifierait que toutes les courbes elliptiques semi-stables doivent être modulaires.
• Le théorème de Ribet a montré que toute solution à l’équation de Fermat pour un nombre premier pouvait être utilisée pour créer une courbe elliptique semi-modulable qui ne pouvait pas être modulaire ;
• La seule façon que ces deux énoncés puissent être vrais, était si aucune solution n’existait à l’équation de Fermat (car alors aucune courbe de ce type ne pouvait être créée), ce que disait le dernier théorème de Fermat. Comme le théorème de Ribet était déjà prouvé, cela signifiait qu’une preuve du Théorème de Modularité prouverait automatiquement que le Dernier théorème de Fermat était également vrai.

La preuve générale de Wiles

Le mathématicien britannique Andrew Wiles.

La preuve de Ribet de la conjecture d’epsilon en 1986 a atteint le premier des deux objectifs proposés par Frey. En apprenant le succès de Ribet, Andrew Wiles, un mathématicien anglais fasciné dans son enfance par le Dernier Théorème de Fermat, et qui avait travaillé sur les courbes elliptiques, a décidé de s’engager à accomplir la seconde moitié: prouver un cas particulier du théorème de modularité (alors connu sous le nom de conjecture de Taniyama–Shimura) pour les courbes elliptiques semi-stables.

Wiles a travaillé sur cette tâche pendant six ans dans le plus grand secret, couvrant ses efforts en publiant des travaux antérieurs en petits segments sous forme de documents séparés et en se confiant uniquement à sa femme.:229-230 Son étude initiale suggérait une preuve par induction,: 230-232, 249-252 et il fonda ses travaux initiaux et sa première percée significative sur la théorie de Galois: 251-253, 259 avant de passer à une tentative d’étendre la théorie horizontale d’Iwasawa pour l’argument inductif vers 1990-91 alors qu’il semblait qu’il n’y avait pas d’approche existante adéquate au problème.: 258-259 Cependant, à la mi-1991, la théorie d’Iwasawa semblait également ne pas atteindre les questions centrales du problème.:259-260 En réponse, il a approché des collègues pour rechercher des indices de recherche de pointe et de nouvelles techniques, et a découvert un système d’Euler récemment développé par Victor Kolyvagin et Matthias Flach qui semblait « fait sur mesure » pour la partie inductive de sa preuve.: 260-261 Wiles a étudié et étendu cette approche, qui a fonctionné. Comme son travail reposait largement sur cette approche, qui était nouvelle pour les mathématiques et pour les Ruses, en janvier 1993, il a demandé à son collègue de Princeton, Nick Katz, de l’aider à vérifier son raisonnement pour les erreurs subtiles. Leur conclusion à l’époque était que les techniques utilisées par Wiles semblaient fonctionner correctement.:261-265

À la mi-mai 1993, Wiles se sentait capable de dire à sa femme qu’il pensait avoir résolu la preuve du Dernier Théorème de Fermat :265 et en juin, il se sentait suffisamment confiant pour présenter ses résultats dans trois conférences données les 21 et 23 juin 1993 à l’Institut Isaac Newton pour les sciences mathématiques. Plus précisément, Wiles a présenté sa preuve de la conjecture de Taniyama–Shimura pour les courbes elliptiques semi-stables; avec la preuve de Ribet de la conjecture d’epsilon, cela impliquait le Dernier théorème de Fermat. Cependant, il est devenu évident lors de l’examen par les pairs qu’un point critique de la preuve était incorrect. Il contenait une erreur dans une borne de l’ordre d’un groupe particulier. L’erreur a été détectée par plusieurs mathématiciens qui ont arbitré le manuscrit de Wiles, y compris Katz (dans son rôle de critique), qui a alerté Wiles le 23 août 1993.

L’erreur n’aurait pas rendu son travail sans valeur – chaque partie de l’œuvre de Wiles était très significative et innovante en soi, tout comme les nombreux développements et techniques qu’il avait créés au cours de son travail, et une seule partie a été affectée.:289, 296-297 Cependant, sans cette partie prouvée, il n’y avait pas de preuve réelle du Dernier théorème de Fermat. Wiles a passé près d’un an à essayer de réparer sa preuve, d’abord par lui-même puis en collaboration avec son ancien élève Richard Taylor, sans succès. À la fin de 1993, des rumeurs avaient circulé selon lesquelles la preuve de Wiles avait échoué, mais on ne savait pas à quel point elle était sérieuse. Les mathématiciens commençaient à faire pression sur Wiles pour qu’il divulgue son travail, qu’il soit complet ou non, afin que la communauté plus large puisse explorer et utiliser tout ce qu’il avait réussi à accomplir. Mais au lieu d’être résolu, le problème, qui semblait à l’origine mineur, semblait maintenant très important, beaucoup plus grave et moins facile à résoudre.

Wiles déclare que le matin du 19 septembre 1994, il était sur le point d’abandonner et était presque résigné à accepter qu’il avait échoué, et à publier son travail pour que d’autres puissent s’en inspirer et corriger l’erreur. Il ajoute qu’il avait un dernier regard pour essayer de comprendre les raisons fondamentales pour lesquelles son approche ne pouvait pas fonctionner, quand il a eu une idée soudaine – que la raison spécifique pour laquelle l’approche de Kolyvagin–Flach ne fonctionnerait pas directement signifiait également que ses tentatives originales utilisant la théorie d’Iwasawa pourraient être mises en œuvre, s’il la renforçait en utilisant son expérience acquise avec l’approche de Kolyvagin–Flach. La fixation d’une approche avec des outils de l’autre approche résoudrait le problème pour tous les cas qui n’ont pas déjà été prouvés par son article arbitré. Il a décrit plus tard que la théorie d’Iwasawa et l’approche de Kolyvagin–Flach étaient chacune inadéquates, mais ensemble, elles pouvaient être suffisamment puissantes pour surmonter cet obstacle final.

« J’étais assis à mon bureau en train d’examiner la méthode Kolyvagin–Flach. Ce n’est pas que je croyais pouvoir le faire fonctionner, mais je pensais au moins pouvoir expliquer pourquoi cela ne fonctionnait pas. Soudain, j’ai eu cette incroyable révélation. J’ai réalisé que la méthode Kolyvagin–Flach ne fonctionnait pas, mais c’était tout ce dont j’avais besoin pour que ma théorie originale d’Iwasawa fonctionne trois ans plus tôt. Ainsi, sur les cendres de Kolyvagin–Flach semblait surgir la vraie réponse au problème. C’était d’une beauté indescriptible; c’était si simple et si élégant. Je ne pouvais pas comprendre comment je l’avais raté et je l’ai regardé avec incrédulité pendant vingt minutes. Puis pendant la journée, je me promenais dans le département et je revenais à mon bureau pour voir s’il était toujours là. Il était toujours là. Je ne pouvais pas me contenir, j’étais tellement excitée. Ce fut le moment le plus important de ma vie professionnelle. Rien de ce que je referai ne voudra dire autant. » – Andrew Wiles, cité par Simon Singh

Le 24 octobre 1994, Wiles a soumis deux manuscrits, « Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem » et « Ring theoretic properties of certain Hecke algebras », dont le second a été co-écrit avec Taylor et a prouvé que certaines conditions étaient remplies pour justifier l’étape corrigée dans l’article principal. Les deux articles ont été vérifiés et publiés dans l’intégralité du numéro de mai 1995 des Annals of Mathematics. Ces articles ont établi le théorème de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, la dernière étape de la démonstration du Dernier théorème de Fermat, 358 ans après sa conjecture.

Développements ultérieurs

La conjecture complète de Taniyama–Shimura–Weil a finalement été prouvée par Diamond (1996) erreur harvtxt: cibles multiples (2×): CITEREFDiamond1996 (help), Conrad, Diamond &Taylor (1999) erreur harvtxt: cibles multiples (2×): CITEREFConradDiamondTaylor1999 (aide), et Breuil et al. (2001) erreur harvtxt : cibles multiples (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (aide) qui, s’appuyant sur les travaux de Wiles, a progressivement réduit les cas restants jusqu’à ce que le résultat complet soit prouvé. La conjecture maintenant entièrement prouvée est devenue connue sous le nom de théorème de modularité.

Plusieurs autres théorèmes de la théorie des nombres similaires au Dernier Théorème de Fermat découlent également du même raisonnement, en utilisant le théorème de modularité. Par exemple : aucun cube ne peut être écrit comme une somme de deux n-th puissances coprimes, n ≥ 3. (Le cas n= 3 était déjà connu par Euler.)