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Physique

by admin

Nous savons par la cinématique que l’accélération est un changement de vitesse, soit dans sa magnitude, soit dans sa direction, ou les deux. Dans un mouvement circulaire uniforme, la direction de la vitesse change constamment, il y a donc toujours une accélération associée, même si l’amplitude de la vitesse peut être constante. Vous ressentez vous-même cette accélération lorsque vous tournez un virage dans votre voiture. (Si vous maintenez la roue stable pendant un virage et que vous vous déplacez à vitesse constante, vous êtes dans un mouvement circulaire uniforme.) Ce que vous remarquez, c’est une accélération latérale parce que vous et la voiture changez de direction. Plus la courbe est nette et plus votre vitesse est grande, plus cette accélération deviendra perceptible. Dans cette section, nous examinons la direction et l’ampleur de cette accélération.

La figure 1 montre un objet se déplaçant dans une trajectoire circulaire à vitesse constante. La direction de la vitesse instantanée est indiquée en deux points du trajet. L’accélération est dans le sens du changement de vitesse, qui pointe directement vers le centre de rotation (le centre du trajet circulaire). Ce pointage est représenté avec le diagramme vectoriel sur la figure. Nous appelons l’accélération d’un objet se déplaçant dans un mouvement circulaire uniforme (résultant d’une force externe nette) l’accélération centripète (ac); centripète signifie « vers le centre” ou « recherche du centre.”

La figure donnée montre un cercle, avec un triangle ayant des sommets A B C faits du centre à la limite. A est au centre et les points B et C sont au chemin du cercle. Les lignes A B et A C agissent comme des rayons et B C est un accord. Delta thêta est représenté à l'intérieur du triangle, et la longueur de l'arc delta s et la longueur de la corde delta r sont également données. Au point B, la vitesse de l'objet est indiquée comme v un et au point C, la vitesse de l'objet est indiquée comme v deux. Le long du cercle, une équation est représentée sous la forme d'un delta v égal à v sub2 moins v sub1.

Figure 1. Les directions de la vitesse d’un objet en deux points différents sont représentées, et le changement de vitesse Δv est vu comme pointant directement vers le centre de courbure. (Voir petit encart.) Parce que ac = Δv / Δt, l’accélération est également vers le centre; ac est appelée accélération centripète. (Puisque Δθ est très petit, la longueur d’arc Δs est égale à la longueur de corde Δr pour de petites différences de temps.)

La direction de l’accélération centripète est vers le centre de courbure, mais quelle est son ampleur? On notera que le triangle formé par les vecteurs vitesse et celui formé par les rayons r et Δs sont similaires. Les triangles ABC et PQR sont tous deux des triangles isocèles (deux côtés égaux). Les deux côtés égaux du triangle vecteur vitesse sont les vitesses v1 = v2 = v. En utilisant les propriétés de deux triangles similaires, nous obtenons \frac{\Delta{v}}{v} = \frac{\Delta{s}}{r}\\.

L’accélération est \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, et nous résolvons donc d’abord cette expression pour Δv:

\displaystyle\Delta{v}= \frac{v}{r}\Delta{s}\\.

Ensuite, nous divisons cela par Δt, ce qui donne

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

Enfin, en notant que \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} =a_c\\ et que \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}} = v\\, la vitesse linéaire ou tangentielle, on voit que l’amplitude de l’accélération centripète est

{a}_c = \frac{v^2}{r}\\,

qui est l’accélération d’un objet dans un cercle de rayon r à une vitesse v. Ainsi, l’accélération centripète est plus grande à grande vitesse et dans les courbes nettes (rayon plus petit), comme vous l’avez remarqué lorsque vous conduisez une voiture. Mais il est un peu surprenant que le courant alternatif soit proportionnel à la vitesse au carré, ce qui implique, par exemple, qu’il est quatre fois plus difficile de prendre une courbe à 100 km / h qu’à 50 km / h. Un virage pointu a un petit rayon, de sorte que le courant alternatif est plus important pour les virages serrés, comme vous l’avez probablement remarqué.

Il est également utile d’exprimer ac en termes de vitesse angulaire. En remplaçant v=rw dans l’expression ci-dessus, on trouve a_c =\frac {\left(r\omega\right)^2} {r} = r\omega^2\\. Nous pouvons exprimer l’amplitude de l’accélération centripète en utilisant l’une des deux équations suivantes :

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c= r\omega^2\\.

Rappelez-vous que la direction du courant alternatif est vers le centre. Vous pouvez utiliser l’expression la plus pratique, comme illustré dans les exemples ci-dessous.

Une centrifugeuse (voir Figure 2b) est un dispositif rotatif utilisé pour séparer des échantillons de différentes densités. Une accélération centripète élevée diminue considérablement le temps nécessaire à la séparation et rend la séparation possible avec de petits échantillons. Les centrifugeuses sont utilisées dans une variété d’applications en science et en médecine, y compris la séparation de suspensions unicellulaires telles que des bactéries, des virus et des cellules sanguines à partir d’un milieu liquide et la séparation de macromolécules, telles que l’ADN et les protéines, à partir d’une solution. Les centrifugeuses sont souvent évaluées en fonction de leur accélération centripète par rapport à l’accélération due à la gravité (g); une accélération centripète maximale de plusieurs centaines de milliers de g est possible dans le vide. Des centrifugeuses humaines, des centrifugeuses de très grande taille, ont été utilisées pour tester la tolérance des astronautes aux effets d’accélérations supérieures à celle de la gravité terrestre.

Exemple 1. Comment l’Accélération Centripète d’une Voiture Autour d’une Courbe Se Compare-t-Elle à Celle Due à la Gravité?

Quelle est l’amplitude de l’accélération centripète d’une voiture suivant une courbe de rayon 500 m à une vitesse de 25,0 m/s (environ 90 km/h) ? Comparez l’accélération avec celle due à la gravité pour cette courbe assez douce prise à la vitesse de l’autoroute. Voir Figure 2a.

Stratégie

Parce que v et r sont donnés, la première expression dans \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c =r\omega^2\\ est la plus pratique à utiliser.

Solution

Entrer les valeurs données de v=25,0 m/s et r=500 m dans la première expression pour ac donne

\displaystyle{a}_c = \frac{v^2}{r} = \frac {\left (25,0\text{m/s}\right) ^2}{500\text{m }} = 1,25 \ texte {m/s} ^2\\.

Discussion

Pour comparer cela avec l’accélération due à la gravité (g = 9,80 m/s2), nous prenons le rapport de \displaystyle\frac{a_c}{g} = \frac{\left(1.25\text{m/s}^2\right)} {\left (9,80\text{m/s}^2\right) } = 0,128\\. Ainsi, ac = 0,128 g et est perceptible surtout si vous ne portiez pas de ceinture de sécurité.

Sur la figure a, une voiture montrée du haut roule sur une route circulaire autour d'un chemin circulaire. Le centre du parc est appelé le centre de ce cercle et la distance entre ce point et la voiture est prise comme rayon r. La vitesse linéaire est indiquée dans la direction perpendiculaire vers l'avant de la voiture, représentée par v l'accélération centripète est indiquée avec une flèche pointée vers le centre de rotation. Sur la figure b, une centrifugeuse est représentée un objet de masse m y tourne à une vitesse constante. L'objet est à la distance égale au rayon, r, de la centrifugeuse. L'accélération centripète est représentée vers le centre de rotation et la vitesse, v est représentée perpendiculairement à l'objet dans le sens des aiguilles d'une montre.

Figure 2. a) La voiture qui suit une trajectoire circulaire à vitesse constante est accélérée perpendiculairement à sa vitesse, comme illustré. L’ampleur de cette accélération centripète se retrouve dans l’exemple 1. b) Une particule de masse dans une centrifugeuse tourne à vitesse angulaire constante. Il doit être accéléré perpendiculairement à sa vitesse, sinon il continuerait en ligne droite. L’amplitude de l’accélération nécessaire se trouve dans l’exemple 2.

Exemple 2. Quelle est la taille de l’Accélération Centripète dans un Ultracentrifuge?

Calculer l’accélération centripète d’un point 7.50 cm de l’axe d’une ultracentrifugeuse tournant à 7,5 × 104 tr/min. Déterminez le rapport de cette accélération à celle due à la gravité. Voir Figure 2b.

Stratégie

Le terme tr/min signifie tours par minute. En convertissant cela en radians par seconde, on obtient la vitesse angulaire ω. Comme r est donné, on peut utiliser la deuxième expression de l’équation a_c = \frac{v^2}{r}; a_c= r\omega^2\\ pour calculer l’accélération centripète.

Solution

Pour convertir 7.50 × 104 tr / min en radians par seconde, nous utilisons les faits qu’une révolution est de 2π rad et qu’une minute est de 60,0 s. Ainsi,

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text {rad}} {1\text {rev}}\times\frac {1\text {min}} {60.0\text{s}} = 7854\text {rad/s}\\.

Maintenant l’accélération centripète est donnée par la deuxième expression dans

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\as ac=rw2.

Convertir 7,50 cm en mètres et substituer des valeurs connues donne ac =(0,0750 m) (7854 rad/s) 2 =4.63 × 106 m/s2.

Notez que les radians sans unité sont rejetés afin d’obtenir les unités correctes pour l’accélération centripète. En prenant le rapport ac/g, on obtient

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\times10^6}{9.80}=4.72\times10^5\\.

Discussion

Ce dernier résultat signifie que l’accélération centripète est 472 000 fois plus forte que g. Il n’est pas étonnant que de telles centrifugeuses à ω élevé soient appelées ultracentrifuges. Les accélérations extrêmement importantes impliquées diminuent considérablement le temps nécessaire pour provoquer la sédimentation des cellules sanguines ou d’autres matériaux.

Bien sûr, une force externe nette est nécessaire pour provoquer toute accélération, tout comme Newton l’a proposé dans sa deuxième loi du mouvement. Une force externe nette est donc nécessaire pour provoquer une accélération centripète. Dans la Force centripète, nous considérerons les forces impliquées dans le mouvement circulaire.

Explorations de PhET: Mouvement de coccinelle 2D

En savoir plus sur les vecteurs de position, de vitesse et d’accélération. Déplacez la coccinelle en définissant la position, la vitesse ou l’accélération, et voyez comment les vecteurs changent. Choisissez un mouvement linéaire, circulaire ou elliptique, puis enregistrez et lisez le mouvement pour analyser le comportement.

Capture d'écran 2D du mouvement de la coccinelle.

Cliquez sur l’image à télécharger. Utilisez Java pour exécuter la simulation.

Résumé de la section

  • L’accélération centripète ac est l’accélération subie lors d’un mouvement circulaire uniforme. Il pointe toujours vers le centre de rotation. Elle est perpendiculaire à la vitesse linéaire v et a la magnitude {a}_ {\text{c}} = \frac{{v}^{2}}{r}; {a}_ {\text{c}} = {\mathrm{r\omega}}^{2}\\.
  • L’unité d’accélération centripète est m/s2.

Questions conceptuelles

  1. L’accélération centripète peut-elle modifier la vitesse du mouvement circulaire? Expliquer.

Problèmes&Exercices

  1. Un manège fait tourner ses occupants à l’intérieur d’un conteneur en forme de soucoupe volante. Si la trajectoire circulaire horizontale suivie par les coureurs a un rayon de 8,00 m, à combien de tours par minute les coureurs seront-ils soumis à une accélération centripète dont la magnitude est 1,50 fois supérieure à celle due à la gravité?
  2. Un coureur participant au 200 m dash doit courir à la fin d’une piste qui a un arc de cercle avec un rayon de courbure de 30 m. S’il termine le 200 m dash en 23,2 s et court à vitesse constante tout au long de la course, quelle est l’ampleur de son accélération centripète lorsqu’il parcourt la partie courbe de la piste?
  3. En prenant l’âge de la Terre à environ 4 × 109 ans et en supposant que son rayon orbital est de 1.5 × 1011 n’a pas changé et est circulaire, calculez la distance totale approximative parcourue par la Terre depuis sa naissance (dans un cadre de référence stationnaire par rapport au Soleil).
  4. L’hélice d’un avion de chasse de la Seconde Guerre mondiale mesure 2,30 m de diamètre. a) Quelle est sa vitesse angulaire en radians par seconde si elle tourne à 1200 tr/min? b) Quelle est la vitesse linéaire de sa pointe à cette vitesse angulaire si l’avion est immobile sur le tarmac? c) Quelle est l’accélération centripète de la pointe de l’hélice dans ces conditions? Calculez-le en mètres par seconde au carré et convertissez-le en multiples de g.
  5. Une meule d’atelier ordinaire a un rayon de 7,50 cm et tourne à 6500 tr / min. (a) Calculer l’amplitude de l’accélération centripète à son bord en mètres par seconde au carré et la convertir en multiples de g. (b) Quelle est la vitesse linéaire d’un point sur son bord?
  6. Les pales d’hélicoptère résistent à des contraintes énormes. En plus de supporter le poids d’un hélicoptère, ils sont filés à des vitesses rapides et subissent de grandes accélérations centripètes, en particulier à la pointe. a) Calculer l’amplitude de l’accélération centripète à l’extrémité d’une pale d’hélicoptère de 4,00 m de long qui tourne à 300 tr/min. (b) Comparer la vitesse linéaire de la pointe avec la vitesse du son (prise à 340 m/s).
  7. Les patineurs olympiques peuvent tourner à environ 5 tr/s. (a) Quelle est leur vitesse angulaire en radians par seconde? b) Quelle est l’accélération centripète du nez du patineur si celui-ci est à 0,120 m de l’axe de rotation? (c) Un patineur exceptionnel nommé Dick Button a pu tourner beaucoup plus vite dans les années 1950 que quiconque depuis — à environ 9 tr/s. Quelle était l’accélération centripète du bout de son nez, en supposant qu’il se trouve à un rayon de 0,120 m? d) Commenter les grandeurs des accélérations constatées. Il est réputé que Button a rompu de petits vaisseaux sanguins lors de ses rotations.
  8. Quel pourcentage de l’accélération à la surface de la Terre est l’accélération due à la gravité à la position d’un satellite situé à 300 km au-dessus de la Terre?
  9. Vérifier que la vitesse linéaire d’une ultracentrifugeuse est d’environ 0,50 km/s et que la Terre sur son orbite est d’environ 30 km/s en calculant : (a) La vitesse linéaire d’un point sur une ultracentrifugeuse 0.100 m de son centre, tournant à 50 000 tr / min; (b) La vitesse linéaire de la Terre sur son orbite autour du Soleil (utilisez les données du texte sur le rayon de l’orbite terrestre et approximez-le comme étant circulaire).
  10. Une station spatiale en rotation est censée créer une « gravité artificielle » — un terme vaguement défini utilisé pour une accélération qui serait grossièrement similaire à la gravité. La paroi extérieure de la station spatiale en rotation deviendrait un plancher pour les astronautes, et l’accélération centripète fournie par le plancher permettrait aux astronautes de faire de l’exercice et de maintenir la force musculaire et osseuse plus naturellement que dans des environnements spatiaux non rotatifs. Si la station spatiale a un diamètre de 200 m, quelle vitesse angulaire produirait une ”gravité artificielle » de 9,80 m/s2 au niveau de la jante?
  11. Au décollage, un jet commercial a une vitesse de 60,0 m/s. Ses pneus ont un diamètre de 0,850 m. (a) À combien de tr/min les pneus tournent-ils? b) Quelle est l’accélération centripète au bord du pneu? c) Avec quelle force une bactérie déterminée de 1,00 × 10-15 kg doit-elle s’accrocher au bord? (d) Prenez le rapport de cette force au poids de la bactérie.
  12. Concepts intégrés. Les cavaliers dans un manège de parc d’attractions en forme de navire viking suspendu à un grand pivot sont tournés d’avant en arrière comme un pendule rigide. Vers le milieu du trajet, le navire est momentanément immobile au sommet de son arc de cercle. Le navire bascule alors sous l’influence de la gravité. (a) En supposant un frottement négligeable, trouver la vitesse des cavaliers au bas de son arc, étant donné que le centre de masse du système se déplace dans un arc de rayon de 14,0 m et que les cavaliers sont proches du centre de masse. b) Quelle est l’accélération centripète au bas de l’arc? (c) Tracer un diagramme de corps libre des forces agissant sur un cavalier au bas de l’arc. (d) Trouver la force exercée par le trajet sur un cavalier de 60,0 kg et la comparer à son poids. e) Examiner si la réponse semble raisonnable.
  13. Résultats déraisonnables. Une mère pousse son enfant sur une balançoire pour que sa vitesse soit de 9.00 m/s au point le plus bas de sa trajectoire. La balançoire est suspendue à 2,00 m au-dessus du centre de masse de l’enfant. a) Quelle est l’ampleur de l’accélération centripète de l’enfant au point bas? b) Quelle est l’ampleur de la force que l’enfant exerce sur le siège si sa masse est de 18,0 kg? c) Qu’est-ce qui est déraisonnable dans ces résultats? d) Quelles prémisses sont déraisonnables ou incohérentes?

Glossaire

accélération centripète : accélération d’un objet se déplaçant en cercle, dirigée vers le centre

ultracentrifuge: une centrifugeuse optimisée pour faire tourner un rotor à des vitesses très élevées

Solutions sélectionnées aux problèmes &Exercices

1. 12,9 tr / min

3. 4 × 1021 m

5. (a) 3,47 × 104 m /s2, 3,55 × 103 g; (b) 51,1 m/s

7. a) 3,14 rad/s; b) 118 m/s; c) 384 m/s; d) L’accélération centripète ressentie par les patineurs olympiques est 12 fois plus grande que l’accélération due à la gravité. C’est beaucoup d’accélération en soi. L’accélération centripète ressentie par le nez de Button était 39,2 fois plus grande que l’accélération due à la gravité. Il n’est pas étonnant qu’il ait rompu de petits vaisseaux sanguins dans ses spins.

9. (a) 0,524 km/s; (b) 29,7 km/s

11. (a) 1,35 × 103 tr / min; (b) 8,47 × 103 m / s2; (c) 8,47 × 10-12 N; (d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19,6 m/s2;

(c)

Un rectangle avec une base plus longue que la hauteur. Une ligne verticale avec des pointes de flèches aux deux extrémités traverse le rectangle, coupant en deux les côtés horizontaux. Le haut de la flèche est étiqueté N et le bas est étiqueté w.;

(d) 1,76 × 103 N ou 3,00 w, c’est-à-dire que la force normale (vers le haut) est trois fois son poids; (e) Cette réponse semble raisonnable, car elle a l’impression d’être forcée à s’asseoir sur la chaise BEAUCOUP plus fort que par la simple gravité.

13. (a) 40,5 m / s2; (b) 905 N; (c) La force en partie (b) est très importante. L’accélération dans la partie (a) est trop importante, environ 4 g; (d) La vitesse du balancement est trop grande. À la vitesse donnée au bas de la balançoire, il y a suffisamment d’énergie cinétique pour envoyer l’enfant tout au-dessus, en ignorant les frottements.