ピタゴラスとディオファントス編集

ピタゴラス三重編集

古代では、辺の比が3：4：5の三角形は、その角度の一つとして直角を持つことが知られていた。 これは建設に使用され、後に初期の幾何学に使用されました。 また、一般的なルールの一例であることが知られていた任意の三角形は、両側の長さは、それぞれが二乗し、一緒に追加されました(32 + 42 = 9 + 16 = 25), 三辺の長さの二乗に等しい（52=25）、また直角三角形になります。これは現在、ピタゴラスの定理として知られており、この条件を満たす数のトリプルはピタゴラスのトリプルと呼ばれています。 例としては、（３、４、５）および（５、１ ２、１ ３）が挙げられる。 そのようなトリプルは無限に多くあり、そのようなトリプルを生成する方法は、バビロニア人や後の古代ギリシャ、中国、インドの数学者から始めて、多くの文化で研究されてきた。 数学的には、ピタゴラス三重の定義は、方程式a2+b2=c2を満たす3つの整数(a,b,c)の集合である。 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}である。}

Diophantine equationedit

フェルマーの方程式xn+yn=znは、3世紀のアレクサンドリアの数学者ディオファントスにちなんで命名されたディオファントス方程式の一例である。 典型的なディオファントス問題は、2つの整数xとyを見つけて、それらの和とそれらの平方和がそれぞれ与えられた2つの数AとBに等しくなるようにすることである。

A=x+y{\displaystyle a=x+y}

B=x2+y2。 {\displaystyle B=x^{2}+y^{2}。}

ディオファントスの主要な仕事はArithmeticaであり、そのうちの一部のみが生き残っています。 フェルマーの最終定理の予想は、ラテン語に翻訳され、クロード-バシェによって1621年に出版されたArithmeticaの新しい版を読んでいる間に触発されました。

ディオファントス方程式は何千年もの間研究されてきました。 例えば、二次ディオファントス方程式x2+y2=z2の解は、もともとバビロニア人（c.1800BC）によって解決されたピタゴラスのトリプルによって与えられる。 26x+65y=13のような線形ディオファントス方程式の解は、ユークリッドアルゴリズム（紀元前5世紀）を使用して見つけることができる。多くのディオファントス方程式は、代数学の観点からフェルマーの最終定理の方程式に似た形をしており、その特定の性質を共有することなく、二つの文字を混合するクロス項を持たない。 例えば、xn+yn=zmとなるような正の整数x、y、zは無限に多く存在することが知られており、nおよびmは比較的素数の自然数である。

フェルマーの予想編集

問題II.8ディオファントスのArithmeticaの1621版で。 右側には、フェルマーの”最後の定理”の証明を含むには小さすぎるマージンがあります。つまり、与えられた有理数kに対して、k2=u2+v2となるような有理数uとvを見つける。 ディオファントスは、k=4（解はu=16/5およびv=12/5）のこのi’m-of-squares問題を解決する方法を示しています。

1637年頃、ディオファントスのi’m-of-squares問題の隣に算術の彼のコピーのマージンに彼の最後の定理を書いたことを可能にするように設計されています。

二つのcubosの立方体、または二つのquadratumのquadratum quadratoquadratos&同じ名前の権利の二つの平方パワーを超えて無限大で一般的に持続可能な問題のデモ素晴らしいdetexiを分割することです。 Hanc marginis exiguitas non caperet.

キューブを二つのキューブに、または第四の累乗を二つの第四の累乗に、または一般に、第二よりも高い任意の累乗を二つの同様の累乗に分離することは不可能である。 私はこれの本当に素晴らしい証拠を発見しましたが、このマージンは狭すぎて含まれていません。

フェルマーが1665年に死去した後、彼の息子クレマン-サミュエル-フェルマーは父親のコメントを加えた本（1670年）の新版を制作した。 当時は実際には定理ではなかったが（証明が存在する数学的な声明を意味する）、マージンノートはフェルマーの最後の定理として知られるようになり、フェルマーの主張された定理の最後が証明されていないままであった。

フェルマーが実際にすべての指数nに対して有効な証明を見つけたかどうかは分かっていませんが、そうは思われません。

彼による関連する証明は、特定の指数の証明のセクションで説明されているように、すなわちn=4の場合にのみ生き残っています。フェルマーはN=4とn=3の場合をMarin Mersenne、Blaise Pascal、John Wallisなどの数学的な特派員の課題として提起しましたが、一般的なケースを提起することはありませんでした。 さらに、彼の人生の最後の30年間で、フェルマーは再び一般的なケースの彼の”本当に素晴らしい証拠”を書いたことはなく、それを出版したことはありません。 ファンデル・プールテンは、証明の欠如は重要ではないが、挑戦の欠如はフェルマーが証明を持っていないことに気づいたことを意味し、フェルマーは取り返しのつかない考えで簡単に自分自身を欺いていたに違いないとヴァイルを引用している。

フェルマーがこのような「驚くべき証明」で使用した可能性のある技術は不明です。

テイラーとワイルズの証明は、20世紀の技術に依存しています。

テイラーとワイルズの証明は、20世紀の技術に依存しています。 フェルマーの証明は、彼の時代の数学的知識を考えると、比較することによって基本的でなければならなかったでしょう。

ハーヴェイ-フリードマンの壮大な予想は、証明可能な定理（フェルマーの最終定理を含む）は”基本関数算術”のみを使用して証明できることを意味するが、そのような証明は技術的な意味でのみ”基本”である必要があり、何百万ものステップを含む可能性があり、フェルマーの証明であるにはあまりにも長い。

特定の指数のための証明edit

メイン記事：特定の指数のためのフェルマーの最終定理の証明

フェルマーの無限降下フェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のArithmeticaのフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの最終定理の場合n=4の1670版のフェルマーの無限降下ディオファントス(pp.338-339)。

Exponent=4edit

フェルマーによる唯一の関連する証明は、彼が整数の辺を持つ直角三角形の面積が整数の二乗に等しくなることはないことを示すために無限降下の技術を使用して生き残っている。 彼の証明は、方程式

x4−y4=z2{\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

が整数の原始解を持たないことを証明することと同値である（ペアワイズの共起解はない）。 これは、方程式a4+b4=c4はc4−b4=(a2)2と書くことができるので、N=4の場合のフェルマーの最終定理を証明する。

n=4の場合の代替証明は、後にFrénicle de Bessy(1676)、Leonhard Euler(1738)、Kausler(1802)、Peter Barlow(1811)、Adrien-Marie Legendre(1830)、Schopis(1825)、Olry Terquem(1846)、Joseph Bertrand(1851)、Victor Lebesgue(1853)によって開発されました。1859年、1862年）、テオフィル-ペピン（1883年）、タフェルマッハー（1893年）、デイビッド-ヒルベルト（1897年）、ベンツ（1901年）、ガンビオリ（1901年）、レオポルド-クロネッカー（1901年）、バン（1905年）、ソマー（1907年）、ボッタリ（1908年）、カレル-ライクリーク（1910年）、ヌッツホルン（1910年）1912年）、ロバート-カーマイケル（1913年）、ハンコック（1931年）、ゲオルゲ-ヴランセアヌ（1966年）、グラント-アンド-ペレラ（1999年）、バーバラ ることを明らかにした。フェルマーが特殊な場合n=4を証明した後、すべてのnの一般的な証明は、すべての奇数の素数指数に対して定理が確立されることだけを必要とした。 言い換えれば、nが奇数であるとき、方程式an+bn=cnに正の整数解（a、b、c）がないことだけを証明する必要がありました。 これは、与えられたnに対する解（a、b、c）は、nのすべての因子に対する解と等価であるためです。 一般式

an+bn=cn

は、(ad,bd,cd)が指数e

(ad)e+(bd)e=(cd)eの解であることを意味します。

したがって、フェルマーの方程式にn>2の解がないことを証明するには、すべてのnの少なくとも一つの素因数に対して解がないことを証明するだけで十分です。>

2は4または奇数の素数（またはその両方）で割り切れます。 したがって、フェルマーの最終定理は、n=4およびすべての奇数素数pに対して証明できる場合、すべてのnに対して証明することができます。その予想（1637年-1839年）に続く二世紀の間に、フェルマーの最終定理は3つの奇数素数指数p=3,5,7に対して証明された。 P=3の場合は、10世紀のAbu-Mahmud Khojandiによって最初に述べられましたが、彼の試みられた定理の証明は間違っていました。 1770年、レオンハルト-オイラーはp=3の証明を与えたが、彼の無限降下による証明には大きなギャップが含まれていた。 しかし、オイラー自身は他の研究で証明を完了するために必要な補題を証明していたので、彼は一般的に最初の証明と信じられています。 独立した証明はKausler(1802)、Legendre(1823,1830)、Calzolari(1855)、Gabriel Lamé(1865)、Peter Guthrie Tait(1872)、Günther(1878)、Gambioli(1901)、Krey(1909)、Rychlík(1910)、Stockhaus(1910)、Carmichael(1915)によって出版された。1915年）、アクセル-トゥー（1917年）、デュアルテ（1944年）。p=5の場合は、1825年頃にLegendreとPeter Gustav Lejeune Dirichletによって独立に証明されました。 代替証明はCarl Friedrich Gauss(1875、死後)、Lebesgue(1843)、Lamé(1847)、Gambioli(1901)、Werebrusow(1905)、Rychlík(1910)、van der Corput(1915)、Guy Terjanian(1987)によって開発された。p=7の場合は1839年にLaméによって証明された。 彼のかなり複雑な証明は1840年にルベーグによって簡略化され、さらに単純な証明は1864年、1874年、1876年にアンジェロ-ジェノッキによって出版された。 代替証明はThéophile Pépin(1876)とEdmond Maillet(1897)によって開発された。フェルマーの最後の定理は、指数n=6,10,14についても証明されました。

フェルマーの最後の定理は、指数n=6,10,14についても証明されました。 N=6の証明は、Kausler、Thue、Tafelmacher、Lind、Kapferer、Swift、Breuschによって出版されました。 同様に、DirichletとTerjanianはそれぞれn=14の場合を証明し、KapfererとBreuschはそれぞれn=10の場合を証明しました。 厳密に言えば、これらの証明は、それぞれn=3、5、および7の証明に従うので、これらの証明は不要です。 それにもかかわらず、これらの偶数指数証明の推論は、それらの奇数指数の対応するものとは異なります。 ディリクレのn=14の証明は1832年に発表され、ラメの1839年のn=7の証明よりも前に発表された。

特定の指数のすべての証明は、元の形式で、または楕円曲線またはアーベル多様体上の降下の形で、無限降下のフェルマーの技術を使用しました。 しかし、詳細と補助的な議論はしばしばアドホックであり、検討中の個々の指数に結びついていました。 Pが増加するにつれてそれらはますます複雑になったので、フェルマーの最終定理の一般的な場合は、個々の指数の証明に基づいて証明することがで フェルマーの最終定理に関するいくつかの一般的な結果は19世紀初頭にNiels Henrik AbelとPeter Barlowによって出版されたが、一般定理に関する最初の重要な研究はSophie Germainによって行われた。

近世ブレークスルー編集

Sophie Germain編集

19世紀初頭、Sophie Germainはすべての指数に対してフェルマーの最後の定理を証明するためのいくつかの新 まず、彼女は素数指数p{\displaystyle p}

から構成される補助素数の集合を、方程式θ=2h p+1{\displaystyle\theta=2hp+1}

によって定義した。{\displaystyle\theta=2hp+1}

、ここでh{\displaystyle h}

は三つで割り切れない任意の整数である。 彼女は、p t h{\displaystyle p^{\mathrm{th}}}

冪が隣接モジュロθ{\displaystyle\theta}

（非連続性条件）であるならば、θ{\displaystyle\theta}であることを示した。

積x y z{\displaystyle xyz}

を除算しなければならない。 彼女の目標は、任意のp{\displaystyle p}

に対して、無限に多くの補助素数θ{\displaystyle\theta}

が非連続条件を満たし、したがってx y z{\displaystyle xyz}

を分割することを証明するために数学的帰納法を用いることであった。xyz;積x y z{\displaystyle xyz}

は最大でも有限個の素因数を持つことができるので、そのような証明はフェルマーの最終定理を確立したであろう。 彼女は非連続状態を確立するための多くの技術を開発したが、彼女は彼女の戦略的目標に成功しなかった。 彼女はまた、与えられた指数p{\displaystyle p}

に対するフェルマーの方程式の解の大きさの下限を設定することにも取り組んだ。 この後者の研究の副産物として、彼女はソフィー・ジェルマンの定理を証明し、フェルマーの最終定理の最初のケース（すなわち、p{\displaystyle p}

がx y z{\displaystyle xyz}

）を270{\displaystyle270}

、すべての素数p{\displaystyle p}

2p+1{\displaystyle2p+1}

,4p+1{\displaystyle4p+1}

,8p+1{\displaystyle8p+1}

,10p+1{\displaystyle10p+1}

,14p+1{\displaystyle14p+1}

and16p+1{\displaystyle16p+1}

div>は素数である（特に、2p+1{\displaystyle2p+1}を満たす素数p{\displaystyle p}

素数はSophie Germain素数と呼ばれます）。 ゲルマンはすべての偶数指数、特にn=2p{\displaystyle n=2p}

に対するフェルマーの最後の定理の最初のケースを証明しようとしたが失敗し、1977年にガイ-テルヤニアンによって証明された。 1985年、Leonard Adleman、Roger Heath-Brown、Étienne Fouvryは、フェルマーの最後の定理の最初の場合が無限に多くの奇数素数p{\displaystyle p}

に対して成り立つことを証明した。

エルンスト-クンマーと理想論編集

1847年、ガブリエル-ラメは、方程式xp+yp=zpを複素数で因数分解することに基づいてフェルマーの最終定理の証明を概説し、具体的には数1の根に基づく円分体である。 しかし、そのような複素数は整数と同様に素数に一意的に因数分解できると誤って仮定したため、彼の証明は失敗した。 このギャップはすぐにJoseph Liouvilleによって指摘され、Joseph Liouvilleは後にErnst Kummerによって書かれたこのユニークな因数分解の失敗を実証した論文を読んだ。

Kummerは、循環体が一意の因数分解が回復するような新しい素数を含むように一般化できるかどうかを決定するタスクを自分自身に設定しました。 彼は理想的な数を開発することによってその仕事に成功しました。

（注：クンマーはフェルマーの最後の定理に興味を持って彼の”理想的な複素数”に導かれたとよく言われています。Laméのようなクンマーは、Lejeune Dirichletが彼に彼の議論が一意の因数分解に依存していると言うまで、彼はフェルマーの最後の定理を証明していたと信じていたとよく言われる話さえあります; しかし、この物語は1910年にKurt Henselによって最初に語られたものであり、証拠はHenselの情報源の1つによる混乱に由来する可能性が高いことを示しています。 ハロルド・エドワーズは、クマーが主にフェルマーの最終定理に興味を持っていたという信念は「確かに間違っている」と述べている。 理想的な数の歴史を参照してください。)

Laméによって概説された一般的なアプローチを使用して、Kummerはすべての正則素数に対するフェルマーの最終定理の両方の場合を証明しました。 しかし、彼は予想的に約39％の時間に発生する例外的な素数（不規則な素数）の定理を証明することができませんでした; 270以下の唯一の不規則な素数は次のとおりです37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 263となった。

Mordell conjectureEdit

1920年代に、Louis Mordellは、指数nが2より大きい場合、フェルマーの方程式は最大でも有限個の非自明な原始整数解を持つことを暗示する予想を提起した。 この予想は1983年にGerd Faltingsによって証明され、現在はFaltingsの定理として知られています。

Computational studiesEdit

20世紀後半には、計算方法が不規則素数へのKummerのアプローチを拡張するために使用されました。 1954年、Harry VandiverはSWACコンピュータを使用して、2521までのすべての素数についてフェルマーの最終定理を証明した。 1978年までに、Samuel Wagstaffはこれを125,000未満のすべての素数に拡張しました。 1993年までに、フェルマーの最後の定理は400万未満のすべての素数に対して証明されていた。しかし、これらの努力とその結果にもかかわらず、フェルマーの最終定理の証明は存在しなかった。 個々の指数の性質による証明は、一般的なケースを証明することはできませんでした：すべての指数が非常に大きな数Xまで検証されたとしても、Xを超えたより高い指数はまだ主張が真実ではなかったために存在する可能性があります。 （これは他のいくつかの過去の推測の場合であり、この推測では除外することができませんでした。)

楕円曲線との接続編集

最終的にフェルマーの最終定理の証明に成功した戦略は、1955年頃に提案された”驚異的な”：211谷山–志村–ヴェイユ予想、多くの数学者が証明することは不可能に近いと考えられていた：223から生じ、1980年代にゲルハルト—フレイ、ジャン＝ピエール-セレ、ケン-リベによってフェルマーの方程式にリンクされた。 1994年にこの予想の部分的な証明を達成することによって、Andrew Wilesは最終的にフェルマーの最終定理を証明することに成功し、現在modularity theoremとして知られているものの完全な証明への道を導くことに成功した。

Taniyama–Shimura–Weil conjectureEdit

1955年頃、日本の数学者志村五郎と谷山豊は、数学の二つの明らかに完全に異なる枝、楕円曲線とモジュラー形式の間の可能なリンクを観察した。 結果として得られたモジュラ性定理（当時は谷山–志村予想として知られていた）は、すべての楕円曲線はモジュラーであり、それは一意のモジュラー形式に関連することができることを示している。

このリンクは当初、ありそうもない、または非常に投機的であると却下されましたが、数論者のアンドレ–ワイルがそれを証明していないにもかかわらず、それを裏付ける証拠を見つけたときにより真剣に取られました。:211-215

深刻な注目を集めた後でさえ、現代の数学者によって予想は非常に困難であるか、おそらく証明することができないと見られていました。:203-205,223,226たとえば、ワイルズの博士課程の監督者ジョン-コーツは、”実際に証明することは不可能に見えた”と述べ、226ケン-リベットは”完全にアクセスできないと信じていた大多数の人々の一人”と考え、”アンドリュー-ワイルズはおそらくあなたが実際に行って証明することができるという大胆な夢を持っていた地球上で数少ない人々の一人であった”と付け加えた。”:223

フレイ曲線のリベット定理編集

1984年、ゲルハルトフレイはフェルマーの方程式とモジュラリティ定理との間のリンクを指摘した。 フェルマーの方程式が指数p>2に対する解(a,b,c)を持っていれば、半安定楕円曲線（現在はFrey-Hellegouarchとして知られている）

y2=x(x-ap)(x+bp)

がモジュラーではないような異常な性質を持つことが示される。 これは、すべての楕円曲線がモジュラーであることを主張したモジュラリティ定理と矛盾するだろう。 このように、フレイは谷山–志村–ワイル予想の証明がフェルマーの最終定理を同時に証明する可能性があることを観察した。 これとは対照的に、フェルマーの最終定理の反証または反証は谷山–志村–ヴェイユ予想を反証する。

平易な英語では、フレイは、彼の方程式についてのこの直感が正しければ、フェルマーの最後の定理を反証することができる4つの数（a、b、c、n）の任意の集合は、谷山–志村–ワイル予想を反証するためにも使用できることを示していた。 したがって、後者が真実であれば、前者は反証することができず、また真実でなければならないでしょう。この戦略に続いて、フェルマーの最終定理の証明には2つのステップが必要でした。

まず、モジュール性定理を証明する必要がありました–または少なくともフレイの方程式（半安定楕円曲線として知られている）を含む楕円曲線のタイプのためにそれを証明する必要がありました。 これは現代の数学者によって証明することができないと広く信じられていた。203-205,223,226第二に、フレイの直感が正しいことを示す必要があった：フェルマーの方程式の解であった数の集合を用いて楕円曲線がこのように構成された場合、結果として得られる楕円曲線はモジュラーではないことができた。 フレイはこれがもっともらしいことを示したが、完全な証拠を与える限り行っていなかった。 欠けている部分（いわゆる「イプシロン予想」、現在はRibetの定理として知られている）は、ほぼ完全な証明を与えたJean-Pierre Serreによって同定され、Freyによって提案された

Frey、Serre、Ribetの研究に続いて、これは問題が立っていた場所でした。

• フェルマーの最後の定理は、素数であるすべての指数nに対して証明される必半安定楕円曲線について証明されたならば、モジュラ性定理は、すべての半安定楕円曲線がモジュラーでなければならないことを意味する。
• Ribetの定理は、素数に対するフェルマーの方程式の解を使って、モジュラー化できない半安定楕円曲線を作ることができることを示した。
• これらの文の両方が真実である唯一の方法は、フェルマーの方程式に解が存在しない場合（そのような曲線は作成できないため）であり、フェルマーの最後の定理が言ったものであった。 Ribetの定理がすでに証明されていたので、これはモジュラリティ定理の証明が自動的にフェルマーの最終定理も真実であることを証明することを意味していた。

ワイルズの一般的なproofEdit

英国の数学者Andrew Wiles。

ribetの1986年のイプシロン予想の証明は、Freyによって提案された2つの目標の最初 リーベットの成功を聞いて、楕円曲線に取り組んでいた英語の数学者アンドリュー–ワイルズは、半安定楕円曲線に対するモジュラリティ定理（当時は谷山-志村予想として知られていた）の特別な場合を証明することに専念することにした。

ワイルズは、ほぼ完全な秘密で六年間、そのタスクに取り組んでいました,別の論文として小さなセグメントで以前の仕事を解放し、彼の妻にのみ打ち明けることによって彼の努力をカバーします.:229-230彼の最初の研究は、誘導による証明を示唆しました,:230-232,249-252そして、彼はガロア理論に彼の最初の仕事と最初の重要なブレークスルーに基づいて:251-253,259それは問題に十分な既存のアプローチがなかったように見えたときに1990-91の周りの帰納的引数のための水平岩澤理論を拡張しようとする試みに切り替える前に.:258-259しかし、1991年半ばまでに、岩澤理論も問題の中心的な問題に達していないように見えました。:259-260それに応じて、彼は最先端の研究と新しい技術のヒントを模索するために同僚に近づき、Victor KolyvaginとMatthias Flachによって最近開発されたオイラー系を発見し、彼の証明の帰納的部分のために”テーラーメイド”と思われた。:260-261ワイルズは、このアプローチを研究し、拡張しました,これは働きました. 彼の作品は、数学とワイルズに新しいものだったこのアプローチに広く依存していたので、1993年に彼は彼のプリンストン大学の同僚、ニック*カッツ、彼は微妙なエラーのために彼の推論をチェックするのに役立つように頼んだ。 当時の彼らの結論は、Wilesが使用した技術が正しく動作するように見えたということでした。:261-265

1993年半ばまでに、ワイルズは、彼がフェルマーの最後の定理の証明を解決したと思った彼の妻を伝えることができると感じた:265とJuneによって、彼は21-23June1993アイザックニュートン数理科学研究所で行われた三つの講義で彼の結果を提示するのに十分な自信を持って感じた。 具体的には、ワイルズは半安定楕円曲線に対する谷山–志村予想の証明を提示し、リベットのイプシロン予想の証明とともに、これはフェルマーの最終定理を暗示した。 しかし、ピアレビューの間に、証明の臨界点が間違っていることが明らかになった。 特定のグループの順序に関する境界にエラーが含まれていました。 この誤りは、1993年8月23日にワイルズに警告したカッツ（査読者としての役割）を含む、ワイルズの原稿を査読している数人の数学者によって捉えられた。

このエラーは彼の作品を無価値にすることはなかったでしょう–ワイルズの作品の各部分は、彼が彼の作品の過程で作成した多くの開発と技術と同様に、非常に重要で革新的であり、一つの部分だけが影響を受けました。:289,296-297しかし、この部分が証明されていないと、フェルマーの最終定理の実際の証明はありませんでした。 ワイルズは、最初は自分自身で、その後、彼の元学生リチャード*テイラーと共同で、成功せずに、彼の証明を修復しようとしているほぼ一年を過ごしました。 1993年の終わりまでに、ワイルズの証明は精査の下で失敗したという噂が広がっていたが、どのように真剣に知られていなかった。 数学者は、より広いコミュニティが探求し、彼が達成するために管理していたものは何でも使用できるように、それが完了したかどうか、彼の仕事を開 しかし、修正されるのではなく、もともとマイナーだった問題は、今では非常に重要で、はるかに深刻で、解決するのは簡単ではないように見えました。

ワイルズは、1994年9月19日の朝、彼はあきらめの危機に瀕していたと述べ、彼が失敗したことを受け入れ、他の人がそれを構築し、エラーを修正できるように彼の作品を出版することにほとんど辞任したと述べている。 彼は、彼が突然の洞察を持っていたときに、彼のアプローチがうまくいかなかった理由の根本的な理由を試してみて、理解するための最終的な外観を持っていたと付け加えます–Kolyvagin–Flachアプローチが直接機能しない特定の理由は、Kolyvagin–Flachアプローチから得られた経験を使ってそれを強化すれば、岩澤理論を使った彼のオリジナルの試みが機能することができることを意味していました。 あるアプローチを他のアプローチのツールで修正すると、彼の査読論文ではまだ証明されていないすべてのケースの問題が解決されます。 彼は後に、岩沢理論とコリヴァギン–フラッハアプローチはそれぞれ単独では不十分であったが、この最終的なハードルを克服するのに十分な強力なものにすることができたと述べた。

“私はKolyvagin–Flach法を調べて私の机に座っていました。 私はそれを機能させることができると信じていたわけではありませんでしたが、少なくとも私はそれが機能しなかった理由を説明できると思 突然、私はこの信じられないほどの啓示を受けました。 私はKolyvagin–Flach法がうまくいかなかったことに気付きましたが、3年前から私のオリジナルの岩澤理論を働かせるために必要なのはそれだけでした。 だから、Kolyvagin–Flachの灰のうち、問題に対する真の答えを上昇させるように見えました。 それはとても言葉で表せないほど美しかった、それはとてもシンプルでとてもエレガントだった。 私はそれを逃した方法を理解することができませんでしたし、私はちょうど二十分のために不信でそれを見つめていました。 その後、日中私は部門の周りを歩いて、私はそれがまだそこにあったかどうかを確認するために私の机に戻ってくるだろう。 それはまだそこにあった。 私は自分自身を含めることができなかった、私はとても興奮していた。 それは私のワーキングライフの中で最も重要な瞬間でした。 私が二度とすることは何も同じくらい意味しません。”-Andrew Wiles,Simon Singh

によって引用されたように24October1994,Wilesは二つの原稿を提出しました,”Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”と”ある種のヘッケ代数の環理論的性質”,そのうちの二番目はTaylorと共著され、主な論文の修正されたステップを正当化するために必要な一定の条件が満たされていることを証明しました. この2つの論文は、1995年5月号のThe Annals of Mathematicsの全体として審査され、出版されました。 これらの論文は、それが推測された358年後、フェルマーの最終定理を証明する最後のステップである半安定楕円曲線のモジュール性定理を確立しました。完全な谷山–志村–ワイル予想は、Diamond(1996)harvtxt error:multiple targets(2x):Citerefdiamond1996(help),Conrad,Diamondによって最終的に証明されました&Taylor(1999)harvtxt error:multiple targets(2x):Citerefconraddiamondtaylor1999（Ｈｅｌｐ）、およびｂｒｅｕｉｌ Ｅ ｔ ａ ｌ． (東京都)-(2001)複数のターゲット(2×): C i t e r e f b r e u i lconraddiamondtaylor2001(help)Whoは、ワイルズの仕事に基づいて、完全な結果が証明されるまで、残りのケースで徐々に欠けていました。 今では完全に証明された予想はモジュラリティ定理として知られるようになった。フェルマーの最後の定理に似た数論における他のいくつかの定理も、モジュラリティ定理を用いて同じ推論から続く。

例えば、立方体は、2つの共起n-thのべき乗、n≥3の和として書くことはできません。 （N=3の場合はオイラーによって既に知られていた。)