学習目標

このセクションの終わりまでに、次のことができます。

• 求心加速度の式を確立します。
• 遠心分離機を説明します。運動学から、加速度は速度の変化であり、その大きさまたは方向のいずれか、またはその両方であることがわかります。 均一な円運動では、速度の方向は常に変化するため、速度の大きさが一定であっても、関連する加速度が常に存在します。 あなたがあなたの車の中で角を曲がるとき、あなたはこの加速を自分で経験します。 （ターン中にホイールを安定させて一定の速度で移動すると、均一な円運動になります。）あなたと車が方向を変えているので、あなたが気づくのは横加速度です。 カーブがシャープで速度が大きいほど、この加速はより顕著になります。 このセクションでは、その加速度の方向と大きさを調べます。

  図1は、一定の速度で円形の経路を移動するオブジェクトを示しています。 瞬間的な速度の方向は、経路に沿った2つの点で示されています。 加速度は速度の変化の方向にあり、回転中心（円形経路の中心）に直接向いています。 このポインティングは、図のベクトル図で示されています。 我々は、均一な円運動（正味の外力から生じる）で動く物体の加速度を求心加速度（ac）と呼び、求心性は”中心に向かって”または”中心を求める”ことを意味する。”

  

  図1. 二つの異なる点における物体の速度の方向を示し，速度Δ Ｖの変化は曲率中心に向かって直接指すように見られる。 （小さなインセットを参照してください。）Ac=Δ V/Δ Tなので、加速度も中心に向かっています。acは求心加速度と呼ばれます。 （Δ Θは非常に小さいため、時間差が小さい場合、弧長Δ Sは弦長Δ Rに等しくなります。求心加速度の方向は曲率の中心に向かっていますが、その大きさは何ですか？ なお、速度ベクトルによって形成される三角形と、半径rおよびΔ Sによって形成される三角形は類似している。 三角形ABCとPQRの両方が二等辺三角形（2つの等しい辺）です。 2つの類似した三角形のプロパティを使用すると、\frac{\Delta{v}}{v}=\frac{\Delta{s}}{r}\\が得られます。この式は、次のようになります。

  加速度は\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\です。

  \displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{s}\\。

  次に、これをΔ Tで除算し、次のようになります。

  \displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.最後に、\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\と\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=v\、線形または接線速度であることに注意すると、求心加速度の大きさは

  {a}_c=\frac{v^2}{r}\、

  これは、速度vでの半径rの円内の物体の加速度です。 したがって、車を運転しているときに気づいたように、求心加速度は高速で鋭い曲線（半径が小さい）で大きくなります。 しかし、acが速度の二乗に比例することは少し驚くべきことであり、例えば、100km/hで曲線を取るのは50km/hよりも四倍難しいことを意味しています。角速度の観点からacを表現することも有用である。

  上記の式にv=rwを代入すると、a_c=\frac{\left（r\omega\right）2 2}{r}=r\omega^2\\が見つかります。 求心加速度の大きさは、次の2つの式のいずれかを使用して表すことができます。

  \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\。

  acの方向は中心に向かっていることを思い出してください。 以下の例に示すように、より便利な式を使用することができます。

  遠心分離機（図2b参照）は、異なる密度の試料を分離するために使用される回転装置です。 求心加速度が高いと、分離が起こるのにかかる時間が大幅に短縮され、小さなサンプルで分離が可能になります。 遠心分離機は、液体培地からの細菌、ウイルス、血液細胞などの単細胞懸濁液の分離、および溶液からのDNAおよびタンパク質などの高分子の分離を含む、科学および医学における様々な用途に使用されている。 遠心分離機は、重力（g）による加速度に対する求心加速度の観点から評価されることがよくあり、真空中で数十万gの最大求心加速度が可能である。 人間の遠心分離機、非常に大きい遠心分離機は、地球の重力のそれより大きい加速の効果に対する宇宙飛行士の許容をテストするのに使用されてい

  例1. 曲線の周りの車の求心加速度は、重力によるものとどのように比較されますか？半径500mの曲線を25.0m/s（約90km/h）の速度でたどった車の求心加速度の大きさは何ですか？

  速道路の速度で撮影されたこのかなり穏やかな曲線のために重力による加速度と比較してください。 図2aを参照してください。Vとrが与えられているので、displaystyle displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\の最初の式を使用するのが最も便利です。ac v=25.0m/sとr=500mの与えられた値をacの最初の式に入力すると、{a}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left（25.0\text{m/s}\right）2 2}{500\text{m}}=\frac{\left（25.0\text{m/s}\right）2 2}{500\text{m}}=\frac{\left（25.0\text{m/s}\right）^2}{500\text{m}}=\frac{\left（25.0\text{m/s}\right）^2}{500\text{m}}=\frac{\left（25.0\text{m/s}\right）^2}{500\text{m}}=\frac{\left（25.0\text{m/s}\right）div2}{500\text1.25\テキスト{m/s}^2\\。これを重力による加速度（g=9.80m/s2）と比較するには、\displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left（1.25\text{m/s}right2\right）}{\left（9.80\text{m/s}2 2\right）}=0.128\です。 したがって、ac=0.128gであり、特にシートベルトを着用していない場合に顕著です。

  

  （a）一定速度で円形の経路をたどる自動車は、示されているように、その速度に垂直に加速される。 この求心加速度の大きさは、実施例１に見出される。 (b)遠心分離機の質量の粒子は、一定の角速度で回転しています。 それはその速度に垂直に加速されなければならないか、それは直線で続くでしょう。 必要な加速度の大きさは、実施例2に示されています。

例2. 超遠心の求心加速度はどれくらい大きいですか？

点7の求心加速度を計算します。５×１ ０ ４回転／分で回転する超遠心の軸から５ ０ｃｍ。 この加速度と重力による加速度の比を決定します。 図2bを参照してください。

戦略

rev/minという用語は、毎分の回転数を表します。 これを毎秒ラジアンに変換することにより、角速度ωが得られる。 Rが与えられているので、方程式a_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\\の2番目の式を使用して求心加速度を計算することができます。

解決策

変換する7。50×104回転/分からラジアン/秒まで、1回転は2π rad、1分は60.0秒であるという事実を使用します。

PhET Explorations:てんとう虫の動き2D

位置、速度、加速度ベクトルについて学びます。 位置、速度または加速度を設定することにより、てんとう虫を移動し、ベクトルがどのように変化するかを参照してください。 直線運動、円形運動、または楕円運動を選択し、運動を記録して再生して動作を分析します。

Javaを使用してシミュレーションを実行します。

概念の質問

1. 求心加速度は円運動の速度を変えることができますか？ 説明しろ

問題&演習

1. フェアグラウンドライドは、空飛ぶ円盤状の容器の中にその乗員を回転させます。 ライダーが続く横の円道に8.00mの半径があれば、ライダーは重力による大きさが1.50倍である求心加速度に毎分何回転で服従するか。
2. 200mダッシュに参加しているランナーは、曲率半径30mの円弧を持つトラックの端の周りを走る必要があります。200mダッシュを23.2秒で完了し、レース全体で一定の速度で走る場合、トラックの湾曲した部分を走るときの求心加速度の大きさはどれくらいですか？
3. 地球の年齢を約4×109年とし、その軌道半径を1とする。5×1011は変更されておらず、円形であり、地球が誕生以来移動したおおよその総距離を計算します（太陽に対して静止した基準のフレーム内）。
4. 第二次世界大戦の戦闘機のプロペラは直径2.30mです。 （a）1200回転/分で回転する場合、その角速度は毎秒ラジアン単位で何ですか？ （b）平面が駐機場上に静止している場合、この角速度での先端の線形速度はいくらですか？ (c)これらの条件下でのプロペラ先端の求心加速度は何ですか？ 通常のワークショップ砥石は7.50cmの半径を持ち、6500回転/分で回転します。
5. 通常のワークショップ砥石は7.50cmの半径を持ち、6500回転/分で回転します。
6. （a）そのエッジでの求心加速度の大きさをメートル/秒の二乗で計算し、それをgの倍数に変換します。（b）そのエッジ上の点の線形速度は何ですか？
7. ヘリコプターのブレードは驚異的なストレスに耐えます。 ヘリコプターの重量を支えることに加えて、それらは急速な速度で回り、先端で大きい求心性の加速を、特に経験する。 (a)長さ4.00mのヘリコプター刃の先端で300回転/分で回転する求心加速度の大きさを計算します。 （b）先端の直線速度を音速と比較する（340m/sとする）。
8. オリンピックのアイススケーターは約5回転/sで回転することができます。(a)毎秒ラジアンでの角速度は何ですか？ （b）回転軸から0.120mの場合、スケーターの鼻の求心加速度は何ですか？ (c)ディック—ボタンという名前の例外的なスケーターは、1950年代には誰よりもはるかに速く回転することができました-約9回転/秒で。 彼の鼻の先端の求心加速度は、それが半径0.120mであると仮定して、何でしたか？ (d)発見された加速度の大きさについてのコメント。 ボタンが回転中に小さな血管を破裂させたと言われています。
9. 地球の表面での加速度の何パーセントは、地球の上に300キロに位置する衛星の位置での重力による加速度ですか？
10. 超遠心の直線速度が約0.50km/sであり、軌道上の地球が約30km/sであることを確認するには、(a)超遠心0上の点の直線速度を計算します。その中心から100メートル、50,000回転/分で回転する;(b)太陽の周りの軌道上の地球の線形速度（地球の軌道の半径上のテキストからのデータを使用し、円形であ
11. 回転する宇宙ステーションは、重力に粗雑に似ている加速のために使用される緩く定義された用語である”人工重力”を作り出すと言われています。 回転宇宙ステーションの外壁は宇宙飛行士のための床となり、床によって供給される求心加速度は、宇宙飛行士が非回転宇宙環境よりも自然に筋肉や骨の強さを運動させ、維持することを可能にする。 宇宙ステーションが直径200mの場合、どの角速度がリムで9.80m/s2の「人工重力」を生成するのでしょうか？
12. 離陸時には、商業ジェットは60.0m/sの速度を持っています。 そのタイヤは0.850mの直径を持っています。（a）タイヤは何回転/分で回転していますか？ （b）タイヤの端での求心加速度は何ですか？ （c）どのような力で決定された1.00×10-15kgの細菌がリムにしがみつく必要がありますか？ （d）細菌の重量に対するこの力の比を取る。
13. 統合された概念。 大きなピボットから吊り下げられたバイキング船のような形をした遊園地の乗り物のライダーは、剛性の振り子のように前後に回転します。 乗車の中央付近では、船は円弧の上部で瞬間的に動かない。 その後、船は重力の影響を受けて揺れます。 （a）無視できる摩擦を仮定すると、システムの質量中心が半径14.0mの円弧内を移動し、ライダーが質量中心に近いと仮定して、その円弧の底部にあるライダーの速度を求めます。 （b）円弧の底部での求心加速度は何ですか？ (c)円弧の下部にあるライダーに作用する力の自由体図を描画します。 (d)60.0kgのライダーに乗ることによって加えられる力を見つけ、彼女の重量と比較して下さい。 （e）答えが合理的であるかどうかを議論する。
14. 不合理な結果。 彼の速度が9であるように母は振動の彼女の子供を押す。彼のパスの最低点で00m/s。 振動は子供の重心の上の2.00m中断される。 （a）低い点での子供の求心加速度の大きさは何ですか？ （b）彼の質量が18.0kgの場合、子供が座席に及ぼす力の大きさは何ですか？ （c）これらの結果について不合理なことは何ですか？ （d）どの施設が不合理または矛盾していますか？

問題に対する選択された解決策&演習

1。 12.9回転/分

3. 4×1021m

5. (a)3.47×104m/s2,3.55×103g;(b)51.1m/s

7. (a)3.14rad/s;(b)118m/s;(c)384m/s;(d)オリンピックのスケーターが感じる求心加速度は、重力による加速度の12倍です。 それはそれ自体が非常に多くの加速です。 ボタンの鼻が感じた求心加速度は、重力による加速度の39.2倍であった。 彼がスピンの中で小さな血管を破裂させたのは不思議ではありません。

9. (a)0.524km/s;(b)29.7km/s

11. (a)1.35×103rpm;(b)8.47×103m/s2;(c)8.47×10-12N;(d)865

12. (a)16.6m/s;(b)19.6m/s2;

(c)

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（d）1.76×103Nまたは3.00w、つまり、法線力（上向き）は体重の三倍です。