Articles

fizică

by admin

știm din cinematică că accelerația este o schimbare a vitezei, fie în magnitudinea sa, fie în direcția sa, sau ambele. În mișcare circulară uniformă, direcția vitezei se schimbă constant, deci există întotdeauna o accelerație asociată, chiar dacă magnitudinea vitezei ar putea fi constantă. Experimentezi singur această accelerație atunci când întorci un colț în mașină. (Dacă țineți roata constantă în timpul unei viraje și vă deplasați la viteză constantă, vă aflați într-o mișcare circulară uniformă.) Ceea ce observați este o accelerație laterală, deoarece dvs. și mașina schimbați direcția. Cu cât curba este mai clară și cu cât viteza este mai mare, cu atât această accelerație va deveni mai vizibilă. În această secțiune vom examina direcția și amploarea acestei accelerații.

Figura 1 prezintă un obiect care se mișcă într-o cale circulară la viteză constantă. Direcția vitezei instantanee este prezentată în două puncte de-a lungul căii. Accelerația este în direcția schimbării vitezei, care indică direct spre centrul de rotație (centrul căii circulare). Această indicare este prezentată cu diagrama vectorială din figură. Numim accelerația unui obiect care se mișcă în mișcare circulară uniformă(rezultată dintr-o forță externă netă) accelerația centripetă (ac); centripet înseamnă „spre centru” sau „căutarea Centrului.”

figura dată arată un cerc, cu un triunghi având vârfuri A B C realizate de la centru la limită. A este în centru și punctele B și C sunt la calea cercului. Liniile A B și A C acționează ca raze și B C este o coardă. Delta theta este prezentată în interiorul triunghiului, iar lungimea arcului delta S și lungimea coardei delta r sunt de asemenea date. La punctul B, viteza obiectului este prezentată ca v unu și la punctul C, viteza obiectului este prezentată ca v doi. De-a lungul cercului o ecuație este prezentată ca delta v egal cu V sub 2 minus V sub 1.

Figura 1. Sunt arătate direcțiile vitezei unui obiect în două puncte diferite, iar schimbarea vitezei de circulație este văzută ca îndreptându-se direct spre centrul curburii. (Vezi Insertie mica.) Pentru că AC = 0CV/XCT, accelerația este, de asemenea, spre centru; ac se numește accelerație centripetă. (Pentru că este foarte mic, lungimea arcului este egală cu lungimea coardei pentru mici diferențe de timp.)

direcția accelerației centripete este spre centrul curburii, dar care este magnitudinea ei? Rețineți că triunghiul format de vectorii de viteză și cel format de razele r și centimetrele sunt similare. Ambele triunghiuri ABC și PQR sunt triunghiuri isoscele (două laturi egale). Cele două laturi egale ale triunghiului vectorial de viteză sunt vitezele v1 = v2 = v. folosind proprietățile a două triunghiuri similare, obținem \frac{\Delta{v}}{v}=\frac{\Delta{S}}{r}\\.

accelerația este \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, și astfel vom rezolva mai întâi această expresie pentru:

\displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{s}\\.

apoi împărțim acest lucru la XKT, producând

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

în cele din urmă, observând că \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ și că \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=V\\, Viteza liniară sau tangențială, vedem că magnitudinea accelerației centripete este

{a}_c=\frac{v^2}{r}\\,

care este accelerația unui obiect într-un cerc de rază R la o viteză V. Deci, accelerația centripetă este mai mare la viteze mari și în curbe ascuțite (rază mai mică), așa cum ați observat atunci când conduceți o mașină. Dar este un pic surprinzător faptul că ac este proporțional cu viteza pătrată, ceea ce înseamnă, de exemplu, că este de patru ori mai greu să faci o curbă la 100 km/h decât la 50 km/h. un colț ascuțit are o rază mică, astfel încât ac este mai mare pentru viraje mai strânse, așa cum probabil ați observat.

de asemenea, este util să se exprime ac în termeni de viteză unghiulară. Înlocuind v = rw în expresia de mai sus, găsim a_c=\frac{\left(r\omega\right)^2}{r}=r\omega^2\\. Putem exprima magnitudinea accelerației centripete folosind oricare dintre cele două ecuații:

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\.

amintiți-vă că direcția ac este spre centru. Puteți utiliza oricare dintre expresii este mai convenabil, așa cum este ilustrat în exemplele de mai jos.

o centrifugă (a se vedea figura 2b) este un dispozitiv rotativ utilizat pentru a separa eșantioane de densități diferite. Accelerația centripetă ridicată scade semnificativ timpul necesar separării și face posibilă separarea cu probe mici. Centrifugele sunt utilizate într-o varietate de aplicații în știință și medicină, inclusiv separarea suspensiilor cu o singură celulă, cum ar fi bacteriile, virușii și celulele sanguine dintr-un mediu lichid și separarea macromoleculelor, cum ar fi ADN-ul și proteinele, dintr-o soluție. Centrifugele sunt adesea evaluate în funcție de accelerația lor centripetă în raport cu accelerația datorată gravitației (g); accelerația centripetă maximă de câteva sute de mii g este posibilă în vid. Centrifugele umane, centrifuge extrem de mari, au fost folosite pentru a testa toleranța astronauților la efectele accelerațiilor mai mari decât cele ale gravitației Pământului.

Exemplul 1. Cum se compară accelerația centripetă a unei mașini în jurul unei curbe cu cea datorată gravitației?

care este magnitudinea accelerației centripete a unei mașini urmând o curbă de rază 500 m la o viteză de 25,0 m/s (aproximativ 90 km / h)? Comparați accelerația cu cea datorată gravitației pentru această curbă destul de blândă luată la viteza autostrăzii. A se vedea figura 2a.

strategie

deoarece v și r sunt date, prima expresie în \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ este cea mai convenabilă de utilizat.

soluție

introducerea valorilor date de v = 25,0 m/s și r=500 m în prima expresie pentru ac dă

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\stânga(25,0\text{ m/s}\dreapta)^2}{500\text{ m}}=1,25\text{ m/s}^2\\.

discuție

pentru a compara acest lucru cu accelerația datorată gravitației (g = 9,80 m / s2), luăm raportul \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25 \ text{ m / s}^2 \ dreapta)} {\stânga(9,80\text{ m/s}^2\dreapta)}=0,128\\. Astfel, ac=0,128 g și se observă mai ales dacă nu purtați centura de siguranță.

în figura a, o mașină prezentată de sus rulează pe un drum circular în jurul unei căi circulare. Centrul parcului este denumit centrul acestui cerc, iar distanța de la acest punct la mașină este luată ca rază r. Viteza liniară este prezentată în direcție perpendiculară spre partea din față a mașinii, prezentată ca v accelerația centripetă este prezentată cu o săgeată îndreptată spre centrul de rotație. În figura b, o centrifugă este prezentată un obiect de masă m se rotește în ea la o viteză constantă. Obiectul se află la distanța egală cu raza, r, a centrifugei. Accelerația centripetă este afișată spre centrul de rotație, iar viteza, v este afișată perpendicular pe obiect în sensul acelor de ceasornic.

Figura 2. (a) Mașina care urmează o cale circulară la viteză constantă este accelerată perpendicular pe viteza sa, așa cum se arată. Magnitudinea acestei accelerații centripete se găsește în exemplul 1. (b) o particulă de masă într-o centrifugă se rotește la o viteză unghiulară constantă . Trebuie să fie accelerat perpendicular pe viteza sa sau ar continua în linie dreaptă. Mărimea accelerației necesare se găsește în exemplul 2.

Exemplul 2. Cât de mare este accelerația centripetă într-un Ultracentrifuge?

calculați accelerația centripetă a unui punct 7.50 cm de la axa unui filare ultracentrifuge la 7.5 104 rot/min. Determinați raportul dintre această accelerație și cea datorată gravitației. A se vedea figura 2b.

strategia

termenul rot/min înseamnă rotații pe minut. Transformând acest lucru în radiani pe secundă, obținem viteza unghiulară centimetrul. Deoarece r este dat, putem folosi a doua expresie în ecuația a_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\\ pentru a calcula accelerația centripetă.

soluție

pentru a converti 7.50 de la 104 rot/min la radiani pe secundă, folosim faptele că o revoluție este de 2 la rad și un minut este de 60,0 s. astfel,

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text{ rad}}{1 \ text{ rev}} \ times \ frac{1 \ text{ min}}{60,0 \ text{ s}}=7854 \ text{ rad / s}\\ .

acum accelerația centripetă este dată de a doua expresie în

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ ca ac = rw2.

conversia 7.50 cm în metri și înlocuirea valorilor cunoscute dă ac = (0.0750 m)(7854 rad / s)2 = 4.63 int.106 m/s2.

rețineți că radianii fără unitate sunt aruncați pentru a obține unitățile corecte pentru accelerația centripetă. Luând raportul dintre ac și G produce

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\times10^6}{9.80}=4.72\times10^5\\.

discuție

acest ultim rezultat înseamnă că accelerația centripetală este de 472.000 de ori mai puternică decât g. nu este de mirare că astfel de centrifuge cu un nivel ridicat de Centimetre se numesc ultracentrifuge. Accelerațiile extrem de mari implicate scad foarte mult timpul necesar pentru a provoca sedimentarea celulelor sanguine sau a altor materiale.desigur, o forță externă netă este necesară pentru a provoca orice accelerație, așa cum a propus Newton în a doua sa lege a mișcării. Deci, o forță externă netă este necesară pentru a provoca o accelerație centripetă. În forța centripetă, vom lua în considerare forțele implicate în mișcarea circulară.

PhET explorări: gărgăriță mișcare 2D

Aflați mai multe despre poziția, viteza și vectori de accelerație. Mutați gărgărița setând poziția, viteza sau accelerația și vedeți cum se schimbă vectorii. Alegeți mișcare liniară, circulară sau eliptică și înregistrați și redați mișcarea pentru a analiza comportamentul.

Ladybug motion screenshot 2D.

Faceți clic pe imagine pentru a descărca. Utilizați Java pentru a rula simularea.

Rezumatul secțiunii

  • accelerația centripetă ac este accelerația experimentată în timp ce se află în mișcare circulară uniformă. Întotdeauna indică spre centrul de rotație. Este perpendicular pe Viteza liniară v și are magnitudinea {a} _ {\text{c}}= \ frac{{v}^{2}}{r}; {a}_{\text{c}}={\mathrm{r\omega }}^{2}\\.
  • unitatea de accelerație centripetă este m / s2.

întrebări conceptuale

  1. poate accelerația centripetă să schimbe viteza mișcării circulare? Explică.

probleme& exerciții

  1. o plimbare de târg își învârte ocupanții într-un recipient în formă de farfurie zburătoare. Dacă traseul circular orizontal pe care îl urmează călăreții are o rază de 8,00 m, la câte rotații pe minut vor fi supuși călăreților o accelerație centripetă a cărei magnitudine este de 1,50 ori mai mare decât din cauza gravitației?
  2. un alergător care participă la linia de 200 m trebuie să alerge în jurul capătului unei piste care are un arc circular cu o rază de curbură de 30 m. dacă completează linia de 200 m în 23,2 s și aleargă cu viteză constantă pe tot parcursul cursei, care este magnitudinea accelerației sale centripete în timp ce rulează porțiunea curbată a pistei?
  3. luând vârsta Pământului să fie de aproximativ 4 ani 109 și presupunând că raza orbitală a acestuia este de 1.5 1011 nu s-a schimbat și este circular, se calculează distanța totală aproximativă parcursă de pământ de la naștere (într-un cadru de referință staționar în raport cu soarele).
  4. elicea unui avion de vânătoare din Al Doilea Război Mondial are un diametru de 2,30 m. (a) care este viteza sa unghiulară în radiani pe secundă dacă se rotește la 1200 rot/min? (b) care este Viteza liniară a vârfului său la această viteză unghiulară dacă planul este staționar pe pistă? c) care este accelerația centripetă a vârfului elicei în aceste condiții? Calculați-l în metri pe secundă pătrat și convertiți în multipli de g.
  5. o piatră de măcinat obișnuită are o rază de 7,50 cm și se rotește la 6500 rot/min. (a) calculați magnitudinea accelerației centripete la marginea sa în metri pe secundă pătrată și convertiți-o în multipli de g. (B) care este Viteza liniară a unui punct de pe marginea sa?
  6. lamele elicopterului rezistă la solicitări extraordinare. Pe lângă susținerea greutății unui elicopter, acestea sunt rotite la viteze rapide și experimentează accelerații centripete mari, în special la vârf. (a) calculați magnitudinea accelerației centripete la vârful unei lame de elicopter de 4,00 m lungime care se rotește la 300 rot/min. (b) comparați Viteza liniară a vârfului cu viteza sunetului (considerată a fi 340 m/s).
  7. patinatorii olimpici de gheață sunt capabili să se rotească la aproximativ 5 rev/s. (a) care este viteza lor unghiulară în radiani pe secundă? (b) care este accelerația centripetă a nasului patinatorului dacă se află la 0,120 m de axa de rotație? (c) un patinator excepțional pe nume Dick Button a reușit să se rotească mult mai repede în anii 1950 decât oricine de atunci—la aproximativ 9 rev/s. Care a fost accelerația centripetă a vârfului nasului, presupunând că este la o rază de 0,120 m? (d) comentează magnitudinile accelerațiilor găsite. Se știe că Butonul a rupt vasele mici de sânge în timpul rotirilor sale.
  8. ce procent din accelerația de la suprafața Pământului este accelerația datorată gravitației în poziția unui satelit situat la 300 km deasupra pământului?
  9. verificați dacă Viteza liniară a unui ultracentrifuge este de aproximativ 0,50 km/s, Iar pământul pe orbita sa este de aproximativ 30 km/s calculând: (a) Viteza liniară a unui punct pe un ultracentrifuge 0.100 m de centrul său, rotindu-se la 50.000 rot/min; (b) Viteza liniară a Pământului pe orbita sa în jurul Soarelui (folosiți date din text pe raza orbitei Pământului și aproximați-l ca fiind circular).se spune că o stație spațială rotativă creează „gravitație artificială” —un termen vag definit folosit pentru o accelerație care ar fi grosolan similară cu gravitația. Peretele exterior al Stației Spațiale rotative ar deveni un etaj pentru astronauți, iar accelerația centripetă furnizată de podea ar permite astronauților să exercite și să mențină forța musculară și osoasă mai natural decât în mediile spațiale care nu se rotesc. Dacă stația spațială are un diametru de 200 m, ce viteză unghiulară ar produce o „gravitație Artificială” de 9,80 m/s2 la jantă?
  10. la decolare, un avion comercial are o viteză de 60,0 m/s. Anvelopele sale au un diametru de 0,850 m. (a) la câte rot/min se rotesc anvelopele? b) care este accelerația centripetă de la marginea anvelopei? (c)cu ce forță trebuie să se agațe de jantă o bacterie determinată de 1,00 x,10-15 kg? (d) luați raportul dintre această forță și greutatea bacteriei.
  11. concepte integrate. Călăreții într-o plimbare în parc de distracții în formă de navă vikingă atârnată de un pivot mare sunt rotite înainte și înapoi ca un pendul rigid. Cândva aproape de mijlocul călătoriei, nava este momentan nemișcată în vârful arcului său circular. Nava se balansează apoi sub influența gravitației. (a) presupunând o frecare neglijabilă, găsiți viteza călăreților în partea de jos a arcului său, având în vedere că centrul de masă al sistemului se deplasează într-un arc având o rază de 14,0 m, iar călăreții sunt aproape de centrul de masă. b) care este accelerația centripetă de la baza arcului? (c) desenați o diagramă a corpului liber a forțelor care acționează asupra unui călăreț în partea de jos a arcului. (d) găsiți forța exercitată de plimbare pe un călăreț de 60,0 kg și comparați-o cu greutatea ei. (e) discutați dacă răspunsul pare rezonabil.
  12. rezultate nerezonabile. O mamă își împinge copilul pe un leagăn, astfel încât viteza lui să fie de 9.00 m / s în punctul cel mai de jos al căii sale. Leagănul este suspendat la 2,00 m deasupra centrului de masă al copilului. (a) care este magnitudinea accelerației centripete a copilului la punctul scăzut? b) care este mărimea forței pe care copilul o exercită asupra scaunului dacă masa sa este de 18,0 kg? c) Ce este nerezonabil cu privire la aceste rezultate? (d) care premise sunt nerezonabile sau inconsistente?

Glosar

accelerare centripetă: accelerația unui obiect care se mișcă într-un cerc, îndreptat spre centru

ultracentrifugă: o centrifugă optimizată pentru rotirea unui rotor la viteze foarte mari

soluții selectate la probleme& exerciții

1. 12, 9 rot/min

3. 4 int 1021 m

5. (a) 3,47 int.104 m/s2, 3,55 int. 103 g; (b) 51,1 m/s

7. (a) 3,14 rad/s; (b) 118 m/s; (c)384 m/s; (d) accelerația centripetă resimțită de patinatorii olimpici este de 12 ori mai mare decât accelerația datorată gravitației. Aceasta este destul de multă accelerație în sine. Accelerația centripetă simțită de nasul lui Button a fost de 39,2 ori mai mare decât accelerația datorată gravitației. Nu este de mirare că a rupt vasele mici de sânge în rotirile sale.

9. (a) 0,524 km/s; (b) 29,7 km/S

11. (a) 1,35 la 103 rpm; (b) 8,47 la 103 m/s2; (c) 8,47 la 10-12 n; (d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19,6 m/s2;

(c)

un dreptunghi cu o bază mai lungă decât înălțimea. O linie verticală cu vârfuri de săgeată pe ambele capete trece prin dreptunghi, împărțind laturile orizontale. Partea de sus a săgeții este etichetată N, iar partea de jos este etichetată w.;

(d) 1,76 103 n sau 3,00 W, adică forța normală (în sus) este de trei ori greutatea ei; (e) acest răspuns pare rezonabil, deoarece simte că este forțată să urce pe scaun mult mai puternic decât doar prin gravitație.

13. (a) 40,5 m/s2; (b) 905 N; (c) forța din partea (b) este foarte mare. Accelerația în parte (a) este prea mare, aproximativ 4 g; (d) viteza leagănului este prea mare. La viteza dată în partea de jos a leagănului, există suficientă energie cinetică pentru a trimite copilul până la capăt, ignorând frecarea.