(condiția de neconsecutivitate), apoi {\displaystyle \Theta }

trebuie să împartă produsul X Y Z {\displaystyle XYZ}

. Scopul ei a fost de a folosi inducția matematică pentru a demonstra că, pentru orice P {\displaystyle p}

, infinit de multe numere prime auxiliare (numere prime auxiliare) {\displaystyle \theta }

a satisfăcut condiția de neconsecutivitate și astfel a împărțit x y z {\displaystyle XYZ}

; deoarece produsul X Y Z {\displaystyle XYZ}

poate avea cel mult un număr finit de factori primi, o astfel de dovadă ar fi stabilit ultima teoremă a lui Fermat. Deși a dezvoltat multe tehnici pentru stabilirea condiției de neconsecutivitate, ea nu a reușit în scopul său strategic. De asemenea , a lucrat pentru a stabili limite mai mici ale mărimii soluțiilor la ecuația lui Fermat pentru un exponent dat p {\displaystyle p}

, a cărui versiune modificată a fost publicată de Adrien-Marie Legendre. Ca produs secundar al acestei ultime lucrări, ea a dovedit Teorema lui Sophie Germain, care a verificat primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat (și anume, cazul în care p {\displaystyle p}

nu împarte x y Z {\displaystyle xyz}

) pentru fiecare exponent prim impar mai mic de 270 {\displaystyle 270}

și pentru toate numerele prime p {\displaystyle p}

astfel încât cel puțin unul din 2 p + 1 {\displaystyle 2P+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8P+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14P+1}

și 16 P + 1 {\displaystyle 16P+1}

este prim (în special, primele p {\displaystyle p}

astfel încât 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

este prim sunt numite Sophie Germain prime). Germain a încercat fără succes să demonstreze primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat pentru toți exponenții par, în special pentru N = 2 p {\displaystyle n=2P}

, care a fost dovedit de Guy Terjanian în 1977. În 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown și Inktienne Fouvry au demonstrat că primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat este valabil pentru infinit de multe numere prime ciudate p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer and the theory of idealsEdit

în 1847, Gabriel Lamus a prezentat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat bazată pe factorizarea ecuației xp + yp = zp în numere complexe, în special câmpul ciclotomic bazat pe rădăcinile numărului 1. Dovada sa a eșuat, totuși, deoarece a presupus incorect că astfel de numere complexe pot fi luate în considerare în mod unic în numere prime, similar cu numere întregi. Acest decalaj a fost subliniat imediat de Joseph Liouville, care a citit mai târziu o lucrare care a demonstrat acest eșec al factorizării unice, scrisă de Ernst Kummer.Kummer și-a stabilit sarcina de a determina dacă câmpul ciclotomic ar putea fi generalizat pentru a include noi numere prime, astfel încât factorizarea unică a fost restabilită. El a reușit această sarcină dezvoltând numerele ideale.

(notă: se afirmă adesea că Kummer a fost condus la „numerele sale complexe ideale” de interesul său față de ultima teoremă a lui Fermat; există chiar și o poveste adesea spusă că Kummer, la fel ca Lamiq, credea că a dovedit ultima teoremă a lui Fermat până când Lejeune Dirichlet i-a spus argumentul său bazat pe factorizarea unică; dar povestea a fost spusă pentru prima dată de Kurt Hensel în 1910, iar dovezile indică faptul că derivă probabil dintr-o confuzie a uneia dintre sursele lui Hensel. Harold Edwards spune că credința că Kummer era interesat în principal de ultima teoremă a lui Fermat”este cu siguranță greșită”. Vedeți istoria numerelor ideale.)

folosind abordarea generală subliniată de Lam inkt, Kummer a dovedit ambele cazuri ale ultimei teoreme a lui Fermat pentru toate numerele prime regulate. Cu toate acestea, el nu a putut dovedi teorema pentru primele excepționale (prime neregulate) care apar conjectural aproximativ 39% din timp; singurele numere prime neregulate sub 270 sunt 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 și 263.

mordell conjectureEdit

în anii 1920, Louis Mordell a prezentat o presupunere care presupunea că ecuația lui Fermat are cel mult un număr finit de soluții întregi primitive netriviale, dacă exponentul n este mai mare de doi. Această presupunere a fost dovedită în 1983 de Gerd Faltings și este acum cunoscută sub numele de teorema lui Faltings.

studii de Calculedit

în a doua jumătate a secolului 20, metodele de calcul au fost folosite pentru a extinde abordarea lui Kummer la numerele prime neregulate. În 1954, Harry Vandiver a folosit un computer SWAC pentru a dovedi ultima teoremă a lui Fermat pentru toate numerele prime până în 2521. Până în 1978, Samuel Wagstaff a extins acest lucru la toate numerele prime mai mici de 125.000. Până în 1993, ultima teoremă a lui Fermat fusese dovedită pentru toate primele mai puțin de patru milioane.cu toate acestea, în ciuda acestor eforturi și a rezultatelor lor, nu a existat nicio dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat. Dovezile exponenților individuali prin natura lor nu ar putea dovedi niciodată cazul general: chiar dacă toți exponenții ar fi verificați până la un număr extrem de mare X, ar putea exista în continuare un exponent mai mare dincolo de X pentru care afirmația nu era adevărată. (Acesta fusese cazul altor presupuneri din trecut și nu putea fi exclus în această presupunere.)

legătura cu curbele elipticeedit

strategia care a dus în cele din urmă la o dovadă de succes a ultimei teoreme a lui Fermat a apărut din conjectura „uluitoare”:211 Taniyama–Shimura–Weil, propusă în jurul anului 1955—despre care mulți matematicieni credeau că ar fi aproape imposibil de dovedit,:223 și a fost legată în anii 1980 de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre și Ken Ribet la ecuația lui Fermat. Realizând o dovadă parțială a acestei presupuneri în 1994, Andrew Wiles a reușit în cele din urmă să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat, precum și să conducă calea către o dovadă completă de către alții a ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema modularității.

conjectura Taniyama–Shimura–Weil

în jurul anului 1955, matematicienii Japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au observat o posibilă legătură între două ramuri aparent complet distincte ale matematicii, curbele eliptice și formele modulare. Teorema modularității rezultată (la momentul cunoscut sub numele de conjectura Taniyama–Shimura) afirmă că fiecare curbă eliptică este modulară, ceea ce înseamnă că poate fi asociată cu o formă modulară unică.

legătura a fost inițial respinsă ca fiind puțin probabilă sau extrem de speculativă, dar a fost luată mai în serios atunci când teoreticianul numerelor Andrixt Weil a găsit dovezi care o susțin, deși nu o dovedesc; ca urmare, conjectura a fost adesea cunoscută sub numele de conjectura Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

chiar și după ce a câștigat o atenție serioasă, conjectura a fost văzută de matematicienii contemporani ca fiind extraordinar de dificilă sau poate inaccesibilă dovezilor.:203-205, 223, 226 de exemplu, supervizorul doctoral al lui Wiles, John Coates, afirmă că părea „imposibil de dovedit”,: 226 și Ken Ribet se considera „unul dintre marea majoritate a oamenilor care credeau că este complet inaccesibil”, adăugând că „Andrew Wiles a fost probabil unul dintre puținii oameni de pe pământ care au avut îndrăzneala să viseze că poți merge și dovedi .”:223

teorema lui Ribet pentru curbele Freyedit

în 1984, Gerhard Frey a remarcat o legătură între ecuația lui Fermat și teorema modularității, apoi încă o presupunere. Dacă ecuația lui Fermat ar avea vreo soluție (A, b, c) pentru exponentul p > 2, atunci s-ar putea arăta că curba eliptică semi-stabilă (acum cunoscută sub numele de Frey − Hellegouarch)

y2 = x (x-ap)(x + bp)

ar avea proprietăți atât de neobișnuite încât este puțin probabil să fie modulară. Acest lucru ar intra în conflict cu teorema modularității, care a afirmat că toate curbele eliptice sunt modulare. Ca atare, Frey a observat că o dovadă a conjecturii Taniyama–Shimura–Weil ar putea dovedi simultan ultima teoremă a lui Fermat. Prin contrapoziție, o respingere sau respingere a ultimei teoreme a lui Fermat ar respinge conjectura Taniyama–Shimura–Weil.

în engleză simplă, Frey arătase că, dacă această intuiție despre ecuația sa era corectă, atunci orice set de 4 numere (A, b, c, n) capabil să infirme ultima teoremă a lui Fermat, ar putea fi folosit și pentru a infirma conjectura Taniyama–Shimura–Weil. Prin urmare, dacă acestea din urmă ar fi adevărate, cele dintâi nu ar putea fi respinse și ar trebui, de asemenea, să fie adevărate.

urmând această strategie, o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat a necesitat doi pași. În primul rând, a fost necesar să se demonstreze teorema modularității – sau cel puțin să se demonstreze pentru tipurile de curbe eliptice care includeau ecuația lui Frey (cunoscută sub numele de curbe eliptice semistabile). Acest lucru a fost considerat inaccesibil dovezilor de către matematicienii contemporani.:203-205, 223, 226 în al doilea rând, a fost necesar să se arate că intuiția lui Frey era corectă: că dacă o curbă eliptică ar fi construită în acest fel, folosind un set de numere care erau o soluție a ecuației lui Fermat, curba eliptică rezultată nu ar putea fi modulară. Frey a arătat că acest lucru este plauzibil, dar nu a mers până la a da o dovadă completă. Piesa lipsă (așa-numita „conjectură epsilon”, cunoscută acum sub numele de teorema lui Ribet) a fost identificată de Jean-Pierre Serre care a dat și o dovadă aproape completă, iar legătura sugerată de Frey a fost dovedită în cele din urmă în 1986 de Ken Ribet.

în urma lucrărilor lui Frey, Serre și Ribet, aici a stat problema:

• ultima teoremă a lui Fermat trebuia dovedită pentru toți exponenții n care erau numere prime.
• teorema modularității – dacă este dovedită pentru curbele eliptice semi – stabile-ar însemna că toate curbele eliptice semistabile trebuie să fie modulare.
• teorema lui Ribet a arătat că orice soluție la ecuația lui Fermat pentru un număr prim ar putea fi folosită pentru a crea o curbă eliptică semistabilă care nu putea fi modulară;
• singurul mod în care ambele afirmații ar putea fi adevărate, ar fi dacă nu ar exista soluții la ecuația lui Fermat (pentru că atunci nu ar putea fi creată o astfel de curbă), ceea ce a spus ultima teoremă a lui Fermat. Deoarece Teorema lui Ribet era deja dovedită, aceasta însemna că o dovadă a teoremei modularității ar dovedi automat că și ultima teoremă a lui Fermat era adevărată.

dovada generală a lui Wiles

matematicianul britanic Andrew Wiles.

dovada lui Ribet a conjecturii epsilon în 1986 a realizat primul dintre cele două obiective propuse de Frey. La auzul succesului lui Ribet, Andrew Wiles, un matematician englez cu o fascinație din copilărie pentru ultima teoremă a lui Fermat și care lucrase la curbe eliptice, a decis să se angajeze să realizeze a doua jumătate: dovedind un caz special al teoremei modularității (cunoscută atunci sub numele de conjectura Taniyama–Shimura) pentru curbe eliptice semistabile.Wiles a lucrat la această sarcină timp de șase ani într-un secret aproape total, acoperindu-și eforturile prin eliberarea lucrărilor anterioare în segmente mici ca hârtii separate și încredințându-se doar soției sale.:229-230 studiul său inițial a sugerat dovezi prin inducție,: 230-232, 249-252 și și-a bazat lucrarea inițială și prima descoperire semnificativă pe teoria Galois:251-253, 259 înainte de a trece la o încercare de a extinde teoria orizontală Iwasawa pentru argumentul inductiv în jurul anilor 1990-91, când părea că nu există o abordare existentă adecvată problemei.:258-259 cu toate acestea, până la mijlocul anului 1991, teoria Iwasawa părea, de asemenea, să nu ajungă la problemele centrale ale problemei.:259-260 ca răspuns, el a abordat colegii pentru a căuta orice indicii de cercetare de ultimă oră și noi tehnici și a descoperit un sistem Euler dezvoltat recent de Victor Kolyvagin și Matthias Flach care părea „adaptat” pentru partea inductivă a dovezii sale.: 260-261 Wiles a studiat și a extins această abordare, care a funcționat. Deoarece munca sa s-a bazat pe această abordare, care era nouă pentru matematică și pentru Wiles, în ianuarie 1993 i-a cerut colegului său de la Princeton, Nick Katz, să-l ajute să-și verifice raționamentul pentru erori subtile. Concluzia lor la acea vreme a fost că tehnicile folosite de Wiles păreau să funcționeze corect.:261-265

până la jumătatea lunii mai 1993, Wiles s-a simțit capabil să-i spună soției sale că a crezut că a rezolvat dovada ultimei teoreme a lui Fermat,:265 și până în iunie s-a simțit suficient de încrezător pentru a-și prezenta rezultatele în trei prelegeri susținute în perioada 21-23 iunie 1993 la Institutul Isaac Newton pentru științe Matematice. Mai exact, Wiles și–a prezentat dovada conjecturii Taniyama-Shimura pentru curbe eliptice semistabile; împreună cu dovada lui Ribet a conjecturii epsilon, aceasta a implicat ultima teoremă a lui Fermat. Cu toate acestea, a devenit evident în timpul evaluării inter pares că un punct critic al dovezii a fost incorect. Acesta conținea o eroare într-o legătură în ordinea unui anumit grup. Eroarea a fost surprinsă de mai mulți matematicieni care au arbitrat manuscrisul lui Wiles, inclusiv Katz (în rolul său de recenzor), care l-a alertat pe Wiles la 23 August 1993.

eroarea nu i – ar fi făcut munca fără valoare-fiecare parte a lucrării lui Wiles a fost extrem de semnificativă și inovatoare de la sine, la fel ca numeroasele evoluții și tehnici pe care le-a creat în cursul lucrării sale și doar o parte a fost afectată.:289, 296-297 cu toate acestea, fără această parte dovedită, nu a existat nicio dovadă reală a ultimei teoreme a lui Fermat. Wiles a petrecut aproape un an încercând să-și repare dovada, inițial singur și apoi în colaborare cu fostul său student Richard Taylor, fără succes. Până la sfârșitul anului 1993, s-au răspândit zvonuri că, sub control, dovada lui Wiles a eșuat, dar cât de serios nu se știa. Matematicienii începeau să-l preseze pe Wiles să-și dezvăluie lucrarea dacă era completă sau nu, astfel încât comunitatea mai largă să poată explora și folosi tot ceea ce reușise să realizeze. Dar, în loc să fie rezolvată, problema, care inițial părea minoră, părea acum foarte semnificativă, mult mai gravă și mai puțin ușor de rezolvat.Wiles afirmă că, în dimineața zilei de 19 septembrie 1994, era pe punctul de a renunța și era aproape resemnat să accepte că a eșuat și să-și publice lucrarea, astfel încât alții să poată construi pe ea și să remedieze eroarea. El adaugă că avea o privire finală pentru a încerca să înțeleagă motivele fundamentale pentru care abordarea sa nu putea fi făcută să funcționeze, când a avut o înțelegere bruscă – că motivul specific pentru care abordarea Kolyvagin–Flach nu ar funcționa direct a însemnat, de asemenea, că încercările sale inițiale folosind teoria Iwasawa ar putea fi făcute să funcționeze, dacă ar întări–o folosind experiența sa dobândită din abordarea Kolyvagin-Flach. Fixarea unei abordări cu instrumente din cealaltă abordare ar rezolva problema pentru toate cazurile care nu au fost deja dovedite de lucrarea sa arbitrată. El a descris mai târziu că teoria Iwasawa și abordarea Kolyvagin–Flach au fost fiecare inadecvate pe cont propriu, dar împreună ar putea fi făcute suficient de puternice pentru a depăși acest obstacol final.

„stăteam la biroul meu examinând metoda Kolyvagin–Flach. Nu am crezut că o pot face să funcționeze, dar m-am gândit că cel puțin aș putea explica de ce nu a funcționat. Dintr-o dată am avut această revelație incredibilă. Mi–am dat seama că metoda Kolyvagin-Flach nu funcționa, dar era tot ce aveam nevoie pentru ca teoria mea originală Iwasawa să funcționeze de acum trei ani. Deci, din cenușa lui Kolyvagin-Flach părea să ridice adevăratul răspuns la problemă. A fost atât de frumos de nedescris; a fost atât de simplu și atât de elegant. Nu am putut înțelege cum am ratat-o și m-am uitat la ea cu neîncredere timp de douăzeci de minute. Apoi, în timpul zilei m-am plimbat în jurul departamentului, și mi-ar păstra vin înapoi la biroul meu în căutarea pentru a vedea dacă acesta a fost încă acolo. Era încă acolo. Nu m-am putut abține, eram atât de emoționată. A fost cel mai important moment al vieții mele profesionale. Nimic din ce voi mai face vreodată nu va însemna la fel de mult.Andrew Wiles, Citat de Simon Singh

la 24 octombrie 1994, Wiles a trimis două manuscrise, „curbe eliptice modulare și ultima teoremă a lui Fermat” și „proprietățile teoretice ale inelului anumitor algebre Hecke”, al doilea dintre care a fost co-autor cu Taylor și a dovedit că au fost îndeplinite anumite condiții necesare pentru a justifica pasul corectat din lucrarea principală. Cele două lucrări au fost verificate și publicate în întregime în numărul din mai 1995 al Analele matematicii. Aceste lucrări au stabilit teorema modularității pentru curbele eliptice semistabile, ultimul pas în dovedirea ultimei teoreme a lui Fermat, la 358 de ani după ce a fost conjecturată.

dezvoltări Ulterioareedit

conjectura completă Taniyama–Shimura–Weil a fost dovedită în cele din urmă de Diamond (1996) harvtxt eroare: ținte multiple (2 Irak): CITEREFDiamond1996 (ajutor), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt eroare: ținte multiple (2 citerefconraddiamondtaylor1999 (ajutor), și Breuil și colab. (2001) eroare harvtxt: ținte multiple (2 inkt): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (ajutor) care, bazându-se pe munca lui Wiles, a tăiat treptat cazurile rămase până când rezultatul complet a fost dovedit. Conjectura acum complet dovedită a devenit cunoscută sub numele de teorema modularității.

Mai multe alte teoreme din teoria numerelor similare cu ultima teoremă a lui Fermat rezultă, de asemenea, din același raționament, folosind teorema modularității. De exemplu: Niciun cub nu poate fi scris ca o sumă a două puteri coprime n, n 3. (Cazul n = 3 era deja cunoscut de Euler.)