hace Un par de días escribí un artículo acerca de la Ramanujan Suma, que para cortar una larga historia corta es un matemático de la serie que se ve algo como esto:

Si desea leer el artículo, haga clic en aquí. Pruebo este hecho en el artículo junto con otras dos ecuaciones igualmente interesantes. En realidad, aquí es donde me topé con la idea de este artículo. Después de publicar el Resumen de Ramanujan, recibí un comentario sobre mi uso de la conmutatividad de un conjunto infinitamente numerable. La conmutatividad es la idea de que si tienes 1+2+3, reordenar los términos no cambia el resultado. Así que 1+2+3=1+3+2, usted puede, pero los términos en cualquier orden y la respuesta seguirá siendo siempre 6. Utilizo esta propiedad para probar la ecuación anterior en mi otro artículo, pero forceOfHabit planteó un punto interesante, ¿es válido para un conjunto infinito de números?

» Es intuitivamente obvio que hay el doble de enteros positivos que incluso enteros positivos. Pero si tomamos la secuencia de enteros positivos y multiplicar por 2 obtenemos la secuencia de incluso los enteros positivos. Pero multiplicar cada miembro de la secuencia por 2 no cambia el número de miembros. Así que hay exactamente el mismo número de enteros positivos que incluso enteros positivos. Entonces, ¿cuál es? ¿El doble o el mismo número?»- forceOfHabit

Y honestamente, no sabía la respuesta a esto. Pero había alcanzado mi máximo interés, así que decidí investigarlo un poco más. Bajé por un agujero de gusano de Wikipedia a través de diferentes ramas de las matemáticas, aprendiendo algunos datos interesantes en el camino, y terminé en cardinalidad. Cardinalidad se ocupa de los conjuntos y es la forma en que describirías el número de elementos en un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {1,2,3} tiene 3 elementos o una cardinalidad de 3.

Usando cardinalidad, podemos empezar a comprender las preguntas anteriores. Investigué un poco más y encontré una parte interesante de la cardinalidad llamada Aritmética Cardinal, que son operaciones aritméticas que se pueden realizar en números cardinales que generalizan las operaciones ordinarias para números naturales. Para decirlo en términos de lamens, son un conjunto especial de operaciones que funcionan específicamente para números cardinales, cada una con su propia definición. Por ejemplo, si tienes dos conjuntos A y B con cardinalidades 3 y 4 respectivamente, entonces denotamos esto como |A / = 3 y |B| = 4. Entonces |A| + |B| = |A ∪ B|. Por supuesto, esto es lo mismo que simplemente agregar valores numéricos de |A / y / B/, el hecho de que se defina de esta manera muestra cómo hay operaciones aritméticas que se pueden crear para conjuntos específicos (siempre que la operación cumpla con ciertos criterios).

Usando aritmética cardinal, se ha demostrado no solo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta. Suena muy contrario a la intuición, pero, de nuevo, también lo es la pregunta anterior, por lo que me gusta pensar que son similares. Obviamente, esto no es de ninguna manera una prueba formal o incluso válida, pero yo postularía que si las consideras en el mismo sentido, entonces la respuesta a la pregunta de forceOfHabit es la opción b; el mismo número de enteros.

Pero por otro lado, puedo estar completamente equivocado, y esa es la perplejidad del infinito. Hay tanto que no se sabe de él porque es solo un concepto. No hay manera de medir el infinito porque, por definición, es medible y que en sí mismo es un concepto difícil de envolver su cabeza alrededor. Creo que el profesor de matemáticas de mi primer año resumió el infinito bastante bien: «Odio el infinito. No es un número, pero lo tratamos como uno, pero no deberíamos. Es un concepto, no un valor matemático, así que si alguno de ustedes lo usa como tal, es mejor que abandonen el curso.”