Vor ein paar Tagen habe ich einen Artikel über die Ramanujan-Summation geschrieben, die, um es kurz zu machen, eine mathematische Reihe ist, die ungefähr so aussieht:

Wenn Sie den Artikel lesen möchten, klicken Sie hier. Ich beweise diese Tatsache in dem Artikel zusammen mit zwei anderen ebenso interessanten Gleichungen. Dies ist eigentlich, wo ich in die Idee für diesen Artikel gestolpert. Nachdem ich die Ramanujan-Summation veröffentlicht hatte, erhielt ich einen Kommentar zu meiner Verwendung der Kommutativität einer unendlich zählbaren Menge. Kommutativität ist die Idee, dass, wenn Sie haben 1+2+3 , die Begriffe neu anordnen ändert das Ergebnis nicht. Also 1+2+3=1+3+2, sie können aber die Begriffe in beliebiger Reihenfolge und die Antwort wird immer noch immer 6. Ich benutze diese Eigenschaft, um die obige Gleichung in meinem anderen Artikel zu beweisen, aber forceOfHabit brachte einen interessanten Punkt, gilt dies für eine unendliche Menge von Zahlen?

„Es ist intuitiv offensichtlich, dass es doppelt so viele positive ganze Zahlen gibt wie sogar positive ganze Zahlen. Aber wenn wir die Folge der positiven ganzen Zahlen nehmen und sie alle mit 2 multiplizieren, erhalten wir die Folge der geraden positiven ganzen Zahlen. Das Multiplizieren jedes Elements der Sequenz mit 2 ändert jedoch nicht die Anzahl der Elemente. Es gibt also genau die gleiche Anzahl positiver Ganzzahlen wie gerade positive Ganzzahlen. Also, was ist es? Doppelt so viele oder die gleiche Anzahl?“ – forceOfHabit

Und ehrlich gesagt wusste ich die Antwort darauf nicht. Aber es hatte mein Interesse geweckt, also beschloss ich, es ein wenig mehr zu erforschen. Ich ging durch ein Wikipedia-Wurmloch durch verschiedene Zweige der Mathematik, lernte dabei einige interessante Fakten und landete bei Cardinality. Kardinalität befasst sich mit Mengen und beschreibt die Anzahl der Elemente in einer Menge. Zum Beispiel hat die Menge {1,2,3} 3 Elemente oder eine Kardinalität von 3.

Mit Kardinalität können wir beginnen, die obigen Fragen in den Griff zu bekommen. Ich recherchierte ein wenig weiter und fand einen interessanten Teil der Kardinalität namens Kardinalarithmetik, die arithmetische Operationen sind, die auf Kardinalzahlen durchgeführt werden können, die die gewöhnlichen Operationen für natürliche Zahlen verallgemeinern. Um es in Lamens-Begriffen auszudrücken, handelt es sich um einen speziellen Satz von Operationen, die speziell für Kardinalzahlen mit jeweils eigener Definition funktionieren. Wenn Sie beispielsweise zwei Mengen A und B mit den Kardinalitäten 3 und 4 haben, bezeichnen wir dies als |A | = 3 und | B | = 4. Dann |A| + |B| = /A ∪ B/. Die Tatsache, dass es auf diese Weise definiert ist, zeigt, wie es arithmetische Operationen gibt, die für bestimmte Mengen erstellt werden können (vorausgesetzt, die Operation erfüllt bestimmte Kriterien).

Mit Kardinalarithmetik wurde nicht nur bewiesen, dass die Anzahl der Punkte in einer reellen Zahlenlinie gleich der Anzahl der Punkte in einem beliebigen Segment dieser Linie ist. Es klingt sehr kontraintuitiv, aber andererseits ist es auch die obige Frage, weshalb ich gerne denke, dass sie ähnlich sind. Offensichtlich ist dies in keiner Weise ein formaler oder gar ein gültiger Beweis, aber ich würde postulieren, dass, wenn Sie sie im gleichen Sinne betrachten, die Antwort auf die Frage von forceOfHabit Option b ist; die gleiche Anzahl von ganzen Zahlen.

Aber andererseits kann ich mich völlig irren, und das ist die Ratlosigkeit der Unendlichkeit. Es gibt so viel, was darüber nicht bekannt ist, weil es nur ein Konzept ist. Es gibt keine Möglichkeit, die Unendlichkeit zu messen, weil sie per Definition nicht messbar ist und das an und für sich ein schwieriges Konzept ist, um den Kopf zu wickeln. Ich denke, mein Mathematikprofessor im 1. Jahr hat die Unendlichkeit ziemlich gut zusammengefasst: „Ich hasse die Unendlichkeit. Es ist keine Zahl, aber wir behandeln es wie eine, aber wir sollten es nicht. Es ist ein Konzept, kein mathematischer Wert, also wenn jemand von euch es als solches benutzt, kannst du genauso gut den Kurs fallen lassen!”