Pythagoraan ja Diofantusedit

Pythagoraan triplesEdit

antiikin aikana tiedettiin, että kolmiolla, jonka sivujen suhde oli 3:4:5, olisi yksi sen kulmista suora kulma. Tätä käytettiin rakentamisessa ja myöhemmin varhaisessa geometriassa. Se oli myös tiedossa olevan yksi esimerkki yleissääntö, että mikä tahansa kolmio, jossa pituus kaksi sivua, kukin neliö ja sitten lasketaan yhteen (32 + 42 = 9 + 16 = 25), on yhtä suuri kuin kolmannen sivun pituuden neliö (52 = 25), olisi myös suorakulmainen kolmio.Tämä tunnetaan nykyisin nimellä Pythagoraan lause, ja tämän ehdon täyttävää lukujen kolmoislukua kutsutaan Pythagoraan kolmoisluvuksi – molemmat on nimetty antiikin Kreikan Pythagoraan mukaan. Esimerkkejä ovat (3, 4, 5) ja (5, 12, 13). Tällaisia triplettejä on äärettömän monta, ja menetelmiä niiden aikaansaamiseksi on tutkittu monissa kulttuureissa, alkaen Babylonialaisista ja myöhemmin antiikin kreikkalaisista, kiinalaisista ja intialaisista matemaatikoista. Matemaattisesti Pythagoraan kolmikon määritelmä on kolmen kokonaisluvun (a, b, c) joukko, jotka täyttävät yhtälön a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle A^{2}+B^{2}=C^{2}.}

Diophantine equationsEdit

Fermat ’ n yhtälö XN + yn = zn positiivisilla kokonaislukuratkaisuilla on esimerkki Diofantiiniyhtälöstä, joka on nimetty 300-luvulla eläneen aleksandrialaisen matemaatikon Diofantoksen mukaan, joka tutki niitä ja kehitti menetelmiä eräiden diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseen. Tyypillinen Diofantiinin ongelma on löytää kaksi kokonaislukua x ja y siten, että niiden summa ja niiden neliöiden summa vastaavat kahta annettua lukua A ja B:

A = x + y {\displaystyle A=x+y}

b = x 2 + y 2 . {\displaystyle b=x^{2}+y^{2}.}

Diofantoksen pääteos on ”Arithmetica”, josta on säilynyt vain osa. Fermat ’ n konjektuuri hänen suuri lause oli inspiroinut lukiessaan uusi painos, Arithmetica, joka oli käännetty latina ja julkaistiin vuonna 1621 Claude Bachet.

Diofantiiniyhtälöitä on tutkittu tuhansia vuosia. Esimerkiksi kvadraattisen Diofantiiniyhtälön x2 + y2 = z2 ratkaisut saadaan Pythagoraan kolmikertoimilla, jotka alun perin ratkaisivat babylonialaiset (n. 1800 eaa. Ratkaisuja lineaarisiin Diofantiiniyhtälöihin, kuten 26x + 65y = 13, voidaan löytää euklidisen algoritmin avulla (N. 5.vuosisata eaa.Monilla Diofantiiniyhtälöillä on Fermat ’ n viimeisen lauseen yhtälön kaltainen muoto algebran näkökulmasta, sillä niissä ei ole ristisanoja sekoittamassa kahta kirjainta jakamatta sen erityisiä ominaisuuksia. Tiedetään esimerkiksi, että on äärettömän monta positiivista kokonaislukua x, y ja z siten, että xn + yn = zm, jossa n ja m ovat suhteellisen prime luonnollisia lukuja.

Fermat ’ n konjektuuri

Problem II.8 Diofantoksen arithmetican vuoden 1621 painoksessa. Oikealla on marginaali, joka oli liian pieni sisältääkseen Fermat ’ n väitetyn todisteen hänen ”suuresta lauseestaan”.

Problem II.8 of the Arithmetica kysyy, miten tietty neliöluku on jaettu kahteen muuhun neliöön; toisin sanoen, tietylle rationaaliluvulle k, löytää rationaaliluvut u ja v siten, että k2 = u2 + v2. Diofantos osoittaa, miten ratkaista tämä I ’ m-of-squares ongelma K = 4 (ratkaisut ovat u = 16/5 ja v = 12/5).

noin 1637, jonka tarkoituksena oli mahdollistaa kirjoitti viimeisen lauseensa aritmeettisen kappaleensa marginaaliin Diofantoksen I ’ m-of-squares-ongelman viereen:

Fermat ’n kuoltua vuonna 1665 hänen poikansa Clément-Samuel Fermat’ n laati kirjasta uuden painoksen (1670) täydennettynä isänsä kommenteilla. Vaikka ei varsinaisesti lause tuolloin (tarkoittaen matemaattista väitettä, jolle todisteet ovat olemassa), marginaalilause tuli ajan myötä tunnetuksi Fermat ’n viimeisenä teoreemana, koska se oli viimeinen Fermat’ n väitetyistä teoreemoista, jotka jäävät todistamatta.

ei tiedetä, oliko Fermat ’ n todella löytänyt pätevää todistetta kaikille eksponenteille n, mutta se vaikuttaa epätodennäköiseltä. Vain yksi liittyvä todiste hänestä on säilynyt, nimittäin tapauksessa n = 4, kuten on kuvattu jaksossa vedoksia erityisiä eksponentit.Vaikka Fermat ’ n aiheutti tapauksissa n = 4 ja N = 3 kuin haasteita hänen matemaattinen kirjeenvaihtajat, kuten Marin Mersenne, Blaise Pascal, ja John Wallis, hän ei koskaan aiheuttanut yleistä tapauksessa. Lisäksi viimeisen kolmenkymmenen elinvuotensa aikana Fermat ’ n ei enää koskaan kirjoittanut ”todella ihmeellisestä todistuksestaan” yleistapauksesta, eikä koskaan julkaissut sitä. Van der Poorten ehdottaa, että vaikka puuttuminen todiste on merkityksetön, puute haasteita tarkoittaa Fermat ’n ymmärtäneet hän ei ollut todiste; hän lainaa Weil kuin sanomalla Fermat’ n on lyhyesti harhaan itsensä kanssa peruuttamaton ajatus.

tekniikoita, joita Fermat ’ n olisi voinut käyttää tällaisessa ”ihmeellisessä todistuksessa”, ei tunneta.

Taylorin ja Wilesin todistus nojaa 1900-luvun tekniikoihin. Fermat ’ n todistuksen olisi täytynyt olla vertailun vuoksi alkeiskoppi, koska hänen aikansa matemaattinen osaaminen oli hyvin tiedossa.

vaikka Harvey Friedmanin suuri konjektuuri antaa ymmärtää, että mikä tahansa todistettavissa oleva lause (mukaan lukien Fermat ’n suuri lause) voidaan todistaa vain ”alkeisfunktion aritmetiikan” avulla, tällaisen todistuksen täytyy olla ”alkeisfunktio” vain teknisessä mielessä ja se voi sisältää miljoonia vaiheita, ja siten olla aivan liian pitkä ollakseen Fermat’ n todistus.

Proofs for specific exponentsEdit

Fermat ’n ääretön descent for Fermat’ n viimeinen lause tapauksessa N=4 1670 painos teoksesta The Arithmetica of Diofantos (s.338-339).

Exponent = 4edit

on säilynyt vain yksi Fermat ’ n esittämä merkityksellinen todiste, jossa hän käyttää äärettömän descent-tekniikkaa osoittaakseen, että suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jolla on kokonaisluku, ei voi koskaan olla yhtä suuri kuin kokonaisluvun neliö. Hänen todistuksensa vastaa sen osoittamista, että yhtälöllä

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

ei ole primitiivisiä ratkaisuja kokonaisluvuissa (ei pairwise coprime-ratkaisuja). Tämä puolestaan todistaa Fermat ’ n viimeisen lauseen tapaukselle N = 4, Sillä yhtälö a4 + b4 = c4 voidaan kirjoittaa muodossa c4 − b4 = (a2)2.

Vaihtoehtoiset todisteet tapauksesta n = 4 kehittivät myöhemmin frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant ja Perella (1999), Barbara (2007), ja Dolan (2011).

muut eksponentit

Fermat ’ n todistettua erikoistapauksen n = 4, yleinen todistus kaikille n: lle edellytti vain, että lause olisi vahvistettu kaikille parittomille alkuosan eksponenteille. Toisin sanoen, oli tarpeen todistaa vain, että yhtälö an + bn = cn ei ole positiivinen kokonaisluku ratkaisuja (a, b, c), Kun n on pariton alkuluku. Tämä johtuu siitä, että tietyn n: n ratkaisu (a, b, c) vastaa kaikkien n: n tekijöiden ratkaisua. havainnollistaa, otettakoon n huomioon D: ssä ja e: ssä, n = de. Yleinen yhtälö

an + bn = CN

merkitsee sitä, että (ad, bd, cd) on eksponentin E

(ad)e + (bd)e = (cd)e ratkaisu.

näin voidaan todistaa, että Fermat ’ n yhtälöllä ei ole ratkaisuja n > 2, riittää todistaa, ettei sillä ole ratkaisuja vähintään yhdelle alkutekijälle jokaista N: ää kohti. jokainen kokonaisluku n > 2 on jaollinen 4: llä tai parittomalla alkuluvulla (tai molemmilla). Siksi Fermat ’ n suuri lause voitaisiin todistaa kaikille n, jos se voitaisiin todistaa N = 4 ja kaikille parittomille alkuluvuille p.

sen konjektuuria seuranneina kahtena vuosisatana (1637-1839) Fermat ’ n viimeinen lause todistettiin kolmelle parittomalle alkulauseen eksponentille p = 3, 5 ja 7. Asian p = 3 esitti ensimmäisenä Abu-Mahmud Khojandi (10.vuosisata), mutta hänen yrityksensä todistaa lause oli virheellinen. Vuonna 1770 Leonhard Euler esitti todisteen P = 3: sta, mutta hänen todistuksensa äärettömällä laskeutumisella sisälsi merkittävän aukon. Kuitenkin, koska Euler itse oli osoittautunut heidät tarpeen täydentää todiste muussa työssä, hän on yleensä hyvitetään ensimmäinen todiste. Riippumattomia todisteita ovat julkaisseet Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) ja Duarte (1944).

Asian P = 5 todistivat itsenäisesti Legendre ja Peter Gustav Lejeune Dirichlet ’ n noin vuonna 1825. Vaihtoehtoisia todisteita kehittivät Carl Friedrich Gauss (1875, postuumi), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915) ja Guy Terjanian (1987).

Asian P = 7 todisti Lamé vuonna 1839. Hänen melko monimutkainen todiste oli yksinkertaistettu vuonna 1840, Lebesgue, ja vielä yksinkertaisempi vedoksia julkaistiin Angelo Genocchi vuonna 1864, 1874 ja 1876. Vaihtoehtoiset todisteet kehittivät Théophile Pépin (1876) ja Edmond Maillet (1897).

Fermat ’ n viimeinen lause todistettiin myös eksponenteille n = 6, 10 ja 14. Todisteet N = 6 julkaistiin Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift, ja Breusch. Vastaavasti Dirichlet ’ n ja Terjanian todistivat kumpikin asian n = 14, kun taas Kapferer ja Breusch todistivat kumpikin asian N = 10. Tarkkaan ottaen nämä todisteet ovat tarpeettomia, koska nämä tapaukset seuraavat vedoksia N = 3, 5, ja 7, vastaavasti. Tästä huolimatta näiden parillisten eksponenttisten todistusten päättely eroaa parittomista eksponenttisista vastineistaan. Dirichlet ’ n todiste n = 14 julkaistiin vuonna 1832, ennen Lamén 1839 todiste N = 7.

kaikki tiettyjen eksponenttien vedokset käyttivät Fermat ’ n tekniikkaa äärettömästä laskeutumisesta joko alkuperäisessä muodossaan tai laskeutumisen muodossa elliptisillä käyrillä tai Abelin muunnoksilla. Yksityiskohdat ja apuväitteet olivat kuitenkin usein tapauskohtaisia ja sidottuja tarkasteltavaan yksittäiseen eksponenttiin. Koska niistä tuli yhä monimutkaisempia kuin p kasvoi, se näytti epätodennäköiseltä, että yleinen tapaus Fermat ’ n suuri lause voitaisiin todistaa rakentamalla, kun todisteet yksittäisten eksponentit. Vaikka joitakin yleisiä tuloksia Fermat ’ n suuri lause julkaistiin alussa 19 th century Niels Henrik Abel ja Peter Barlow, ensimmäinen merkittävä työ yleisen lause oli tehnyt Sophie Germain.

varhaismoderni läpimurto

Sophie GermainEdit

1800-luvun alussa Sophie Germain kehitti useita uusia lähestymistapoja todistaakseen Fermat ’ n viimeisen lauseen kaikille eksponenteille. Ensiksi hän määritteli joukon apulukuja θ {\displaystyle \theta }

konstruoitu alkuluvusta p {\displaystyle p}

yhtälöllä θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, missä H {\displaystyle h}

on mikä tahansa kokonaisluku , joka ei ole jaollinen kolmella. Hän osoitti, että jos p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

potenssi olivat vierekkäiset modulo θ {\displaystyle \theta }

(ei-konsektiivinen ehto), niin θ {\displaystyle \theta }

on jaettava tuote x y z {\displaystyle XYZ}

. Hänen tavoitteenaan oli käyttää matemaattista induktiota todistaakseen, että mille tahansa annetulle p {\displaystyle p}

äärettömän monta apulukua θ {\displaystyle \theta }

täytti ei-konsektiivisen ehdon ja siten jaettu X y z {\displaystyle XYZ}

; koska tulolla X Y Z {\displaystyle XYZ}

voi olla korkeintaan äärellinen määrä alkutekijöitä , tällainen todistus olisi vahvistanut Fermat ’ n viimeisen lauseen. Vaikka hän kehitti monia tekniikoita ei-siunauksellisuusehdon perustamiseksi, hän ei onnistunut strategisessa tavoitteessaan. Hän pyrki myös asettamaan Fermat ’ n yhtälön ratkaisuille alarajat tietylle eksponentille p {\displaystyle p}

, josta Adrien-Marie Legendren julkaisema modifioitu versio. Jälkimmäisen teoksen sivutuotteena hän todisti Sophie Germainin lauseen, joka todisti Fermat ’ n viimeisen lauseen ensimmäisen tapauksen (nimittäin tapauksen, jossa p {\displaystyle p}

ei jaa x y z {\displaystyle xyz}

jokaiselle parittomalle alkuluvulle, joka on alle 270 {\displaystyle 270}

, ja kaikille alkuluvuille p {\displaystyle p}siten, että vähintään yksi 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4P+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 P + 1 {\displaystyle 14P+1}

ja 16 P + 1 {\displaystyle 16P+1}

on alkuluku (erityisesti alkuluvut P {\displaystyle p}

siten, että 2 P + 1 {\displaystyle 2P+1}

on alkuluku kutsutaan Sophie Germainin alkuluvuiksi). Germain yritti tuloksetta todistaa Fermat ’ n viimeisen lauseen ensimmäistä tapausta kaikille parillisille eksponenteille, erityisesti N = 2 p {\displaystyle N=2p}

, jonka Guy Terjanian todisti vuonna 1977. Vuonna 1985 Leonard Adleman, Roger Heath-Brown ja Étienne Fouvry todistivat, että Fermat ’ n viimeisen lauseen ensimmäinen tapaus pätee äärettömän monelle parittomalle alkuluvulle p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummerin ja idealseditin teorian

vuonna 1847 Gabriel Lamé esitti todisteen Fermat ’ n viimeisestä lauseesta, joka perustui yhtälön xp + yp = zp laskemiseen kompleksiluvuissa, erityisesti syklotomisessa kentässä, joka perustui luvun 1 juuriin. Hänen todiste epäonnistui kuitenkin, koska se olettaa virheellisesti, että tällaiset kompleksiluvut voidaan factored yksikäsitteisesti osaksi primes, samanlainen kokonaislukuja. Tämä aukko oli huomauttanut välittömästi Joseph Liouville, jotka myöhemmin lukea paperi, joka osoitti tämän epäonnistumisen ainutlaatuinen factorisation, kirjoittanut Ernst Kummer.

Kummer asetti itselleen tehtäväksi selvittää, voitaisiinko syklotominen kenttä yleistää sisältämään uusia alkulukuja siten, että ainutlaatuinen factorisaatio palautettiin. Hän onnistui tässä tehtävässä kehittämällä ihanteelliset numerot.

(Huom: on usein todettu, että Kummer oli johtanut hänen” ihanteellinen kompleksiluvut ”hänen kiinnostuksensa Fermat’ n suuri lause; on jopa tarina usein kerrottu, että Kummer, kuten Lamé, uskoi hän oli osoittautunut Fermat ’n suuri lause, kunnes Lejeune Dirichlet’ n kertoi hänelle hänen argumentti tukeutui ainutlaatuinen factorization; mutta tarinan kertoi ensimmäisenä Kurt Hensel vuonna 1910 ja todisteet osoittavat, että se todennäköisesti johtuu sekaannuksesta, jonka yksi Henselin lähteistä. Harold Edwardsin mukaan uskomus siitä, että Kummer oli lähinnä kiinnostunut Fermat ’ n suuresta lauseesta, ”on varmasti virheellinen”. Katso ideaalilukujen historia.)

käyttäen Lamén hahmottelemaa yleistä lähestymistapaa Kummer todisti molemmat Fermat ’ n viimeisen lauseen tapaukset kaikille säännöllisille alkuluvuille. Hän ei kuitenkaan kyennyt todistamaan teoreemaa poikkeuksellisille alkuluvuille (epäsäännöllisille alkuluvuille), jotka konjektuurisesti esiintyvät noin 39% ajasta; ainoat alle 270: n epäsäännölliset alkuluvut ovat 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 ja 263.

Mordellin konjektuuri

1920-luvulla Louis Mordell esitti konjektuurin, joka antoi ymmärtää, että Fermat ’ n yhtälöllä on korkeintaan äärellinen määrä nontriviaalisia primitiivisiä kokonaislukuratkaisuja, jos eksponentti n on suurempi kuin kaksi. Gerd Faltings todisti tämän arvelun vuonna 1983, ja se tunnetaan nykyään faltingsin teoreemana.

Laskennalliset studiesEdit

1900-luvun jälkipuoliskolla käytettiin laskennallisia menetelmiä laajentamaan kummerin lähestymistapaa epäsäännöllisiin alkulukuihin. Vuonna 1954 Harry Vandiver käytti SWAC-tietokonetta todistaakseen Fermat ’ n viimeisen lauseen kaikille alkuluvuille vuoteen 2521 asti. Vuoteen 1978 mennessä Samuel Wagstaff oli laajentanut tämän koskemaan kaikkia alle 125 000 Primeä. Vuoteen 1993 mennessä Fermat ’ n viimeinen lause oli todistettu kaikille alle neljälle miljoonalle alkuluvulle.

näistä yrityksistä ja niiden tuloksista huolimatta Fermat ’ n viimeiselle lauseelle ei kuitenkaan ollut olemassa todisteita. Todisteet yksittäisten eksponenttien niiden luonne voisi koskaan todistaa yleistä tapausta: vaikka kaikki eksponentit olisi verifioitu jopa äärimmäisen suuri määrä X, suurempi eksponentti kuin X voisi silti olla olemassa, jolle väite ei ollut totta. (Näin oli ollut joidenkin muiden aikaisempien konjektuurien kohdalla, eikä sitä voitu sulkea pois tässä konjektuurissa.)

yhteys ellipsinmuotoiseen curveseditiin

strategia, joka lopulta johti Fermat ’ n viimeisen lauseen onnistuneeseen todistamiseen, syntyi ”astoundingista”:211 Taniyaman–Shimura–Weilin konjektuurista, jota ehdotettiin noin vuonna 1955—minkä monet matemaatikot uskoivat olevan lähes mahdotonta todistaa,: 223 ja jonka Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre ja Ken Ribet yhdistivät 1980-luvulla Fermat ’ n yhtälöön. Toteuttamalla osittainen todiste tästä arveluihin vuonna 1994, Andrew Wiles lopulta onnistunut todistamaan Fermat ’ n suuri lause, sekä johtaa tietä täyden todiste muiden, mitä nyt tunnetaan niin modulaarisuus lause.

Taniyama–Shimura–Weilin konjektuuri

vuoden 1955 paikkeilla japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama havaitsivat mahdollisen yhteyden kahden ilmeisesti täysin erillisen matematiikan haaran, elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen välillä. Tuloksena olevan modulaarisuuslauseen (joka tuolloin tunnettiin Taniyaman–Shimuran konjektuurina) mukaan jokainen elliptinen käyrä on modulaarinen, eli se voidaan liittää ainutlaatuiseen modulaariseen muotoon.

yhteys hylättiin aluksi epätodennäköisenä tai erittäin spekulatiivisena, mutta se otettiin vakavammin, kun lukuteoreetikko André Weil löysi sitä tukevia todisteita, vaikkakaan ei todistanut sitä; tämän vuoksi konjektuuri tunnettiin usein Taniyaman–Shimuran–Weilin konjektuurina.:211-215

senkin jälkeen, kun se oli saanut vakavaa huomiota, aikalaiset matemaatikot pitivät konjektuuria poikkeuksellisen vaikeana tai ehkä mahdottomana todistaa.:203-205, 223, 226 esimerkiksi Wilesin tohtoriohjaaja John Coates toteaa, että tuntui ”mahdottomalta todella todistaa”,: 226 ja Ken Ribet piti itseään ”yhtenä valtaenemmistöstä ihmisistä, jotka uskoivat olevan täysin saavuttamattomissa”, lisäten, että ”Andrew Wiles oli luultavasti yksi harvoista ihmisistä maan päällä, jotka uskalsivat unelmoida, että voit todella mennä ja todistaa .”:223

Ribetin lause Freyn käyrälle

vuonna 1984 Gerhard Frey havaitsi yhteyden Fermat ’ n yhtälön ja modulaarisuuslauseen välillä, sitten vielä konjektuuri. Jos Fermat ’ n yhtälöllä olisi jokin ratkaisu (a, b, c) eksponentille p > 2, niin voitaisiin osoittaa, että puolivakaalla ellipsimäisellä käyrällä (joka tunnetaan nykyään nimellä Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x-ap)(x + bp)

olisi niin epätavallisia ominaisuuksia, että se ei todennäköisesti olisi modulaarinen. Tämä olisi ristiriidassa modulaarisuuslauseen kanssa, jonka mukaan kaikki elliptiset käyrät ovat modulaarisia. Näin ollen Frey huomautti, että taniyaman–Shimuran–Weilin konjektuuri voisi todistaa samanaikaisesti myös Fermat ’ n viimeisen lauseen. Kontrapunktiolla Fermat ’ n viimeisen lauseen kumoaminen tai kumoaminen kumoaisi Taniyaman–Shimuran–Weilin konjektuurin.

selväkielisessä englannin kielessä Frey oli osoittanut, että jos tämä intuitio hänen yhtälöstään oli oikea, niin mitä tahansa 4 luvun joukkoa (a, b, c, n), joka kykenee kumoamaan Fermat ’ n suuren lauseen, voitaisiin käyttää myös taniyaman–Shimuran–Weilin konjektuurin kumoamiseen. Siksi, jos jälkimmäinen olisi totta, edellistä ei voitaisi osoittaa vääräksi, ja myös sen olisi oltava totta.

tämän strategian mukaisesti Fermat ’ n viimeisen lauseen todistamiseen tarvittiin kaksi vaihetta. Ensin oli todistettava modulaarisuuslause-tai ainakin todistettava se elliptisten käyrien tyypeille, jotka sisälsivät Freyn yhtälön (tunnetaan semistable ellipsinmuotoisina käyrinä). Tämä oli yleisesti uskotaan saavuttamattomissa todiste contemporary matemaatikot.:203-205, 223, 226 toinen, se oli tarpeen osoittaa, että Frey intuitio oli oikea: että jos ellipsinmuotoinen käyrä oli rakennettu tällä tavalla käyttäen joukko numeroita, jotka olivat ratkaisu Fermat ’ n yhtälö, tuloksena ellipsinmuotoinen käyrä ei voinut olla modulaarinen. Frey osoitti, että tämä oli uskottava, mutta ei mennyt niin pitkälle kuin antaa täyden näytön. Puuttuvan palan (niin sanotun” Epsilonin konjektuurin”, joka nykyään tunnetaan Ribetin teoreemana) tunnisti Jean-Pierre Serre, joka myös antoi lähes täydellisen todistuksen ja Freyn ehdottaman linkin todisti lopulta vuonna 1986 Ken Ribet.

Freyn, Serren ja Ribetin työn jälkeen asiat olivat näin:

• Fermat ’ n suuri lause piti todistaa kaikille eksponenteille n, jotka olivat alkulukuja.
• modulaarisuuslause – jos se todistetaan puolivakaille elliptisille käyrille-tarkoittaisi, että kaikkien puolivakaiden elliptisten käyrien on oltava modulaarisia.
• Ribet ’n Lause osoitti, että mikä tahansa ratkaisu Fermat’ n yhtälöön alkuluvulle olisi mahdollista luoda semistable ellipsinmuotoinen käyrä, joka ei voisi olla modulaarinen;
• ainoa tapa, jolla molemmat väittämät voisivat olla tosia, oli, jos Fermat ’n yhtälölle ei olisi olemassa ratkaisuja (koska silloin tällaista käyrää ei voitaisi luoda), kuten Fermat’ n viimeinen lause sanoi. Koska Ribet ’n Lause oli jo todistettu, tämä tarkoitti sitä, että modulaarisuuslauseen todistaminen todistaisi automaattisesti myös Fermat’ n viimeisen lauseen todeksi.

Wilesin yleinen proofEdit

brittiläinen matemaatikko Andrew Wiles.

Ribetin todistus Epsilonin konjektuurista vuonna 1986 toteutti ensimmäisen Freyn ehdottamista kahdesta tavoitteesta. Kuultuaan Ribet n menestys, Andrew Wiles, Englanti matemaatikko, jolla on lapsuuden fascination kanssa Fermat ’ n suuri lause, ja jotka oli työskennellyt ellipsinmuotoinen käyriä, päätti sitoutua itse accompishing jälkipuoliskolla: todistaa erikoistapaus, modulaarisuus lause (sitten tunnetaan Taniyama–Shimura konjektuuri), semistable ellipsinmuotoinen käyriä.

Wiles työskenteli tämän tehtävän parissa kuusi vuotta lähes täydellisessä salailussa, peitellen pyrkimyksiään julkaisemalla aikaisempia töitään pienissä osissa erillisinä papereina ja uskoutuen vain vaimolleen.:229-230 hänen alustava tutkimus ehdotti todisteita induktio,: 230-232, 249-252 ja hän perustuu hänen alkuperäisen työn ja ensimmäinen merkittävä läpimurto Galois teoria:251-253, 259 ennen siirtymistä yrittää laajentaa horisontaalinen Iwasawa teoria induktiivinen argumentti noin 1990-91, kun näytti siltä, että ei ollut olemassa olevaa lähestymistapaa riittävä ongelma.: 258-259 vuoden 1991 puoliväliin mennessä Iwasawan teoria ei kuitenkaan näyttänyt saavuttavan ongelman keskeisiä kysymyksiä.:259-260 vastauksena, hän lähestyi kollegoita etsimään vihjeitä huippuluokan tutkimusta ja uusia tekniikoita, ja löysi Euler järjestelmä äskettäin kehittänyt Victor Kolyvagin ja Matthias Flach, joka tuntui ”räätälöidä” varten induktiivinen osa hänen todiste.: 260-261 Wiles tutkittu ja laajennettu tätä lähestymistapaa, joka toimi. Koska hänen työnsä vetosi laajasti tähän lähestymistapaan, joka oli uusi matematiikan ja Wiles, tammikuussa 1993 hän pyysi hänen Princetonin kollega, Nick Katz, auttaa häntä tarkistamaan hänen perustelut hienovaraisia virheitä. Heidän johtopäätös tuolloin oli, että tekniikoita Wiles käytetään näytti toimivan oikein.:261-265

toukokuun puolivälissä 1993, Wiles tunsi pystyä kertomaan hänen vaimonsa hän ajatteli hän oli ratkaistu todiste Fermat ’ n suuri lause,: 265 ja kesäkuussa hän tunsi riittävän luottavainen esittää hänen tuloksia kolme luentoja toimitetaan 21-23 kesäkuuta 1993, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Erityisesti Wiles esitti todisteensa taniyaman-Shimuran konjektuurista semistable ellipsinmuotoisille käyrille; yhdessä Ribetin todisteen Epsilonin konjektuurista kanssa tämä merkitsi Fermat ’ n suurta teoreemaa. Vertaisarvioinnissa kävi kuitenkin ilmi, että todisteen kriittinen kohta oli virheellinen. Se sisälsi virheen sidottu järjestyksessä tietyn ryhmän. Virhe oli kiinni useat matemaatikot refereeing Wilesin käsikirjoitus mukaan lukien Katz (hänen roolissaan arvostelija), jotka hälytti Wiles 23 päivänä elokuuta 1993.

virhe ei olisi tehnyt hänen työstään arvotonta – jokainen osa Wilesin työstä oli itsessään erittäin merkittävä ja innovatiivinen, samoin kuin monet hänen työnsä aikana luomansa kehitys ja tekniikat, ja vain yksi osa vaikutti.:289, 296-297 kuitenkin ilman tätä osaa osoittautunut, ei ollut todellista näyttöä Fermat ’ n suuri lause. Wiles vietti lähes vuoden yrittää korjata hänen todiste, aluksi itse ja sitten yhteistyössä hänen entinen opiskelija Richard Taylor, ilman menestystä. Vuoden 1993 loppuun mennessä oli levinnyt huhuja, joiden mukaan Wilesin todisteet olivat tutkinnan alla epäonnistuneet, mutta kuinka vakavasti niitä ei tiedetty. Matemaatikot olivat alkaneet paine Wiles paljastaa hänen työstään, onko se oli täydellinen tai ei, niin että laajempi yhteisö voisi tutkia ja käyttää mitä hän oli onnistunut saavuttamaan. Mutta sen sijaan, että se olisi korjattu, ongelma, joka oli alun perin näyttänyt vähäiseltä, vaikutti nyt hyvin merkittävältä, paljon vakavammalta ja vähemmän helpolta ratkaista.

Wiles toteaa, että aamulla 19.syyskuuta 1994 hän oli luovuttamisen partaalla ja oli vähällä alistua hyväksymään epäonnistumisensa ja julkaisemaan teoksensa, jotta muut voisivat rakentaa sen varaan ja korjata virheen. Hän lisää, että hän oli ottaa lopullinen katsoa yrittää ja ymmärtää perustavanlaatuisia syitä, miksi hänen lähestymistapa ei voitu tehdä työtä, kun hän oli äkillinen oivallus – että erityinen syy, miksi Kolyvagin–Flach lähestymistapa ei toimi suoraan tarkoitti myös sitä, että hänen alkuperäinen yrittää käyttäen Iwasawa teoria voitaisiin tehdä työtä, jos hän vahvisti sitä käyttäen hänen kokemuksensa saatu kolyvagin–Flach lähestymistapa. Vahvistamisesta yksi lähestymistapa työkaluja toisesta lähestymistavasta ratkaisisi ongelman kaikissa tapauksissa, joita ei ole jo todistettu hänen refereed paperi. Hän kuvaili myöhemmin, että Iwasawa-teoria ja Kolyvagin-Flach-lähestymistapa olivat kumpikin yksinään riittämättömiä, mutta yhdessä niistä voitiin tehdä riittävän voimakkaita tämän viimeisen esteen voittamiseksi.

”istuin pöytäni ääressä tutkimassa Kolyvagin–Flachin menetelmää. En uskonut, että saisin sen toimimaan, mutta ajattelin, että ainakin voisin selittää, miksi se ei toiminut. Yhtäkkiä sain uskomattoman ilmestyksen. Tajusin, että Kolyvagin-Flach menetelmä ei toimi, mutta se oli kaikki mitä tarvitsin tehdä alkuperäisen Iwasawa teoria työtä kolme vuotta aiemmin. Niinpä Kolyvagin–Flachin tuhkista näytti nousevan todellinen vastaus ongelmaan. Se oli niin sanoinkuvaamattoman kaunis; se oli niin yksinkertainen ja niin tyylikäs. En voinut ymmärtää, miten olin missannut sen ja tuijotin sitä epäuskoisena kaksikymmentä minuuttia. Sitten päivällä kävelin ympäri osastoa ja palasin työpöytäni ääreen katsomaan, onko se vielä siellä. Se oli yhä siellä. En pystynyt hillitsemään itseäni, olin niin innoissani. Se oli työelämäni tärkein hetki. Mikään, mitä teen enää koskaan, ei merkitse niin paljon.”- Andrew Wiles, kuten Simon Singh

siteerasi 24.lokakuuta 1994, Wiles esitti kaksi käsikirjoitusta,” Modulaariset ellipsinmuotoiset käyrät ja Fermat ’ n suuri lause ”ja” Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”, joista toinen oli yhdessä Taylorin kanssa ja osoitti, että tietyt ehdot täyttyivät, joita tarvittiin oikeuttamaan korjattu vaihe pääpaperissa. Nämä kaksi papers oli tarkistettu ja julkaistu koko toukokuun 1995 kysymys, Annals of Mathematics. Nämä paperit perustettiin modulaarisuus lause semistable ellipsinmuotoinen käyriä, viimeinen askel todistaa Fermat ’ n suuri lause, 358 vuotta sen jälkeen, kun se oli conjectured.

myöhemmät kehityssuunnat

täyden Taniyama–Shimura–Weilin konjektuurin todisti lopulta Diamond (1996) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFDiamond1996 (help), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt error: multiple targets (2×): citerefconraddiamondtaylor1999 (ohje), ja Breuil et al. (2001) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (ohje), joka perustuu Wilesin työhön, vähitellen haketettiin pois jäljellä olevissa tapauksissa, kunnes täysi tulos oli osoittautunut. Nyt täysin todistettu konjektuuri tuli tunnetuksi modulaarisuuslauseena.

samasta päättelystä seuraa myös useita muita lukuteorian teoreemoja, jotka ovat samanlaisia kuin Fermat ’ n viimeinen lause käyttäen modulaarisuuslausetta. Esimerkiksi: yksikään kuutio ei voida kirjoittaa kahden koprime n: n potenssien summana, n ≥ 3. (Tapaus n = 3 oli jo Eulerin tiedossa.)