Il y a quelques jours, j’ai écrit un article sur la sommation Ramanujan, qui pour faire court est une série mathématique qui ressemble à ceci:

Si vous voulez lire l’article, cliquez ici. Je prouve ce fait dans l’article avec deux autres équations tout aussi intéressantes. C’est en fait là que je suis tombé sur l’idée de cet article. Après avoir publié la sommation de Ramanujan, j’ai reçu un commentaire sur mon utilisation de la commutativité d’un ensemble dénombrable à l’infini. La commutativité est l’idée que si vous avez 1+2+3 , réorganiser les termes ne change pas le résultat. Donc 1+2+3=1+3+2, vous pouvez mais les termes dans n’importe quel ordre et la réponse sera toujours toujours 6. J’utilise cette propriété pour prouver l’équation ci-dessus dans mon autre article, mais forceOfHabit a soulevé un point intéressant, cela vaut-il pour un ensemble infini de nombres?

« Il est intuitivement évident qu’il y a deux fois plus d’entiers positifs que même d’entiers positifs. Mais si nous prenons la séquence des entiers positifs et les multiplions tous par 2, nous obtenons la séquence des entiers positifs pairs. Mais multiplier chaque membre de la séquence par 2 ne change pas le nombre de membres. Il y a donc exactement le même nombre d’entiers positifs que même les entiers positifs. Alors, c’est quoi ? Deux fois plus ou le même nombre? »- forceOfHabit

Et honnêtement, je ne connaissais pas la réponse à cela. Mais cela avait culminé mon intérêt, alors j’ai décidé de le rechercher un peu plus. Je suis descendu dans un trou de ver de Wikipédia à travers différentes branches des mathématiques, apprenant des faits intéressants en cours de route, et je me suis retrouvé à la cardinalité. La cardinalité traite des ensembles et est la façon dont vous décririez le nombre d’éléments dans un ensemble. Par exemple, l’ensemble {1,2,3} a 3 éléments ou une cardinalité de 3.

En utilisant la cardinalité, nous pouvons commencer à comprendre les questions ci-dessus. J’ai fait des recherches un peu plus loin et j’ai trouvé une partie intéressante de la cardinalité appelée Arithmétique cardinale qui sont des opérations arithmétiques qui peuvent être effectuées sur des nombres cardinaux qui généralisent les opérations ordinaires pour les nombres naturels. Pour le dire en termes de lamens, il s’agit d’un ensemble spécial d’opérations qui fonctionnent spécifiquement pour les nombres cardinaux, chacune avec sa propre définition. Par exemple, si vous avez deux ensembles A et B avec des cardinalités 3 et 4 respectivement, nous dénotons cela comme |A / = 3 et /B / = 4. Puis |A|+|B/ = /A ∪B/. Bien sûr, cela revient à simplement ajouter des valeurs numériques de | A | et | B|, le fait qu’il soit défini de cette façon montre comment il y a des opérations arithmétiques qui peuvent être créées pour des ensembles spécifiques (à condition que l’opération réponde à certains critères).

En utilisant l’arithmétique cardinale, il a été prouvé non seulement que le nombre de points dans une ligne de nombres réels est égal au nombre de points dans n’importe quel segment de cette ligne. Cela semble très contre-intuitif, mais là encore, la question ci-dessus l’est aussi, c’est pourquoi j’aime penser qu’ils sont similaires. De toute évidence, ce n’est en aucun cas une preuve formelle ou même valide, mais je poserais que si vous les considérez dans le même sens, alors la réponse à la question de forceOfHabit est l’option b; le même nombre d’entiers.

Mais d’un autre côté, je peux me tromper complètement, et c’est la perplexité de l’infini. Il y a tellement de choses que l’on ne sait pas à ce sujet parce que ce n’est qu’un concept. Il n’y a aucun moyen de mesurer l’infini car, par définition, il est incommensurable et cela en soi est un concept difficile à appréhender. Je pense que mon professeur de mathématiques de 1ère année a assez bien résumé l’infini: « Je déteste l’infini. Ce n’est pas un nombre, mais nous le traitons comme un, mais nous ne devrions pas. C’est un concept, pas une valeur mathématique, donc si l’un d’entre vous l’utilise comme tel, autant abandonner le cours!”