Un mathématicien célèbre affirme aujourd’hui avoir résolu l’hypothèse de Riemann, un problème relatif à la distribution des nombres premiers qui n’a pas été résolu depuis près de 160 ans. Dans une conférence de 45 minutes le 24 septembre au Forum des lauréats de Heidelberg en Allemagne, Michael Atiyah, mathématicien émérite à l’Université d’Edimbourg, a présenté ce qu’il décrit comme une « preuve simple” qui s’appuie sur un outil d’un problème apparemment sans rapport en physique. Mais de nombreux experts doutent de sa validité, notamment parce qu’Atiyah, 89 ans, a commis des erreurs ces dernières années.

« Il est très peu probable que ce qu’il a montré dans la présentation ressemble à une preuve de l’hypothèse de Riemann telle que nous la connaissons”, explique Jørgen Veisdal, économiste à l’Université norvégienne des sciences et de la Technologie de Trondheim qui a déjà étudié l’hypothèse de Riemann. « C’est tout simplement trop vague et non spécifique. »Veisdal a ajouté qu’il devrait examiner de plus près la preuve écrite pour porter un jugement définitif.

L’hypothèse de Riemann, l’un des derniers grands problèmes non résolus en mathématiques, a été proposée pour la première fois en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. C’est une supposition sur les nombres premiers, tels que deux, trois, cinq, sept et 11, qui ne peuvent être divisés que par un ou eux-mêmes. Ils deviennent moins fréquents, séparés par des espaces de plus en plus éloignés sur la ligne numérique. Riemann a découvert que la clé pour comprendre leur distribution se trouvait dans un autre ensemble de nombres, les zéros d’une fonction appelée fonction zêta de Riemann qui a des entrées réelles et imaginaires. Et il a inventé une formule pour calculer combien de nombres premiers il y a, jusqu’à une coupure, et à quels intervalles ces nombres premiers se produisent, sur la base des zéros de la fonction zêta.

Cependant, la formule de Riemann ne tient que si l’on suppose que les parties réelles de ces zéros de fonction zêta sont toutes égales à la moitié. Reimann a prouvé cette propriété pour les premiers nombres premiers, et au cours du siècle dernier, il a été démontré par calcul qu’elle fonctionnait pour un grand nombre de nombres premiers, mais elle reste à prouver formellement et indiscutablement à l’infini. Une preuve gagnerait non seulement la récompense de 1 million de dollars qui vient pour résoudre l’un des sept problèmes du Prix du Millénaire établis par le Clay Mathematics Institute en 2000, mais elle pourrait également avoir des applications dans la prédiction des nombres premiers, importants en cryptographie.

Géant dans son domaine, Atiyah a apporté des contributions majeures à la géométrie, à la topologie et à la physique théorique. Il a reçu les deux plus grands prix de mathématiques, la Médaille Fields en 1966 et le Prix Abel en 2004. Mais malgré une carrière longue et prolifique, l’affirmation de Riemann suit les traces de preuves plus récentes et ratées.

En 2017, Atiyah a déclaré au Times de Londres qu’il avait converti le théorème de Feit-Thompson de 255 pages, une théorie vieille d’un demi-siècle traitant d’objets mathématiques appelés groupes, en une preuve de 12 pages très simplifiée. Il a envoyé sa preuve à 15 experts dans le domaine et a été accueilli avec scepticisme ou silence, et la preuve n’a jamais été imprimée dans un journal. Un an plus tôt, Atiyah a affirmé avoir résolu un problème célèbre en géométrie différentielle dans un article qu’il a publié sur le dépôt de préimpression arXiv, mais ses pairs ont rapidement souligné des inexactitudes dans son approche et la preuve n’a jamais été officiellement publiée.

Science a contacté plusieurs collègues d’Atiyah. Ils se sont tous inquiétés de son désir de sortir de sa retraite pour présenter des preuves basées sur des associations fragiles et ont déclaré qu’il était peu probable que sa preuve de l’hypothèse de Riemann réussisse. Mais aucun ne voulait critiquer publiquement son mentor ou son collègue de peur de compromettre la relation. John Baez, un physicien mathématique de l’Université de Californie à Riverside, était l’un des rares à vouloir mettre son nom à des remarques critiques sur la revendication d’Atiyah. « La preuve ne fait qu’empiler une affirmation impressionnante sur une autre sans aucun argument de connexion ni véritable justification”, dit-il.

De son côté, Atiyah semble imperturbable. « Le public y a des jeunes brillants sans crainte et des vieux dorés bien informés », a écrit Atiyah dans un e-mail avant sa présentation.  » Je me jette aux lions. J’espère en sortir indemne. »Selon Atiyah, la nouvelle de sa preuve et des copies de ses papiers ont circulé en ligne, l’incitant à accepter la présentation. Il dit dans une interview que malgré les critiques, son travail pose une base concrète pour prouver non seulement l’hypothèse de Riemann, mais d’autres problèmes non prouvés en mathématiques. ”Les gens vont se plaindre et râler », dit Atiyah, « mais c’est parce qu’ils sont résistants à l’idée qu’un vieil homme ait pu proposer une méthode entièrement nouvelle. »Dans sa présentation, Atiyah n’a consacré qu’une poignée de diapositives à sa preuve, passant la majorité de son temps à discuter des contributions de deux mathématiciens du 20e siècle, John von Neumann et Friedrich Hirzebruch, sur lesquelles il a dit que sa preuve était basée.

Le nœud de la preuve d’Atiyah dépend d’une quantité en physique appelée constante de structure fine, qui décrit la force et la nature de l’interaction électromagnétique entre les particules chargées. En décrivant cette constante en utilisant une relation relativement obscure connue sous le nom de fonction de Todd, Atiyah a prétendu pouvoir prouver l’hypothèse de Riemann par contradiction.

Dans la rédaction de cinq pages de la preuve, Atiyah attribue une grande partie du travail théorique qui sous-tend la preuve à un de ses propres documents qui a été soumis aux Proceedings of the Royal Society A. Ce document n’a pas encore été publié.

* Correction, 27 septembre, 12h50: Une version antérieure de cette histoire indiquait à tort que le théorème de Feit-Thompson traite des nombres.