Pythagoras és DiophantusEdit

Pythagorean triplesEdit

az ókorban ismert volt, hogy egy háromszög, amelynek oldalai 3:4:5 arányban voltak, derékszögű lenne, mint az egyik szöge. Ezt használták az építőiparban, majd később a korai geometriában. Az is ismert, hogy egy példa az általános szabály, hogy minden háromszög, ahol a hossza két oldalán, minden négyzet, majd össze (32 + 42 = 9 + 16 = 25), egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével (52 = 25), szintén derékszögű háromszög lenne.Ezt most Pythagorai tételnek nevezik, az ezt a feltételt teljesítő számok háromszorosát pedig Pythagorai triplanak nevezik – mindkettőt az ókori görög Pythagoras után nevezték el. Példák a következőkre: (3, 4, 5) és (5, 12, 13). Végtelenül sok ilyen hármas létezik, és az ilyen hármasok létrehozására szolgáló módszereket számos kultúrában tanulmányozták, kezdve a Babiloniakkal, majd később az ókori görög, kínai és indiai matematikusokkal. Matematikailag a pitagorai hármas meghatározása három egész szám (a, b, c) halmaza, amelyek megfelelnek az a 2 + b 2 = C 2 egyenletnek . {\displaystyle a^{2} + b^{2} = C^{2}.}

Diophantine equationsEdit

Fermat egyenlete, xn + yn = Zn pozitív egész megoldásokkal, egy példa egy Diofantin egyenletre, amelyet a 3. századi Alexandriai matematikus, Diophantus neveztek el, aki tanulmányozta őket, és módszereket fejlesztett ki bizonyos típusú Diofantin egyenletek megoldására. Egy tipikus Diophantine probléma az, hogy két egész szám x-y olyan, hogy az összeg, az összeg a terek, egyenlő két számot adni, illetve A B, illetve:

A = x + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B = x^{2} + y^{2}.}

Diophantus fő műve az Arithmetica, amelynek csak egy része maradt fenn. Fermat utolsó tételének sejtését inspirálta az Arithmetica új kiadásának olvasása közben, amelyet latinra fordítottak, és Claude Bachet 1621-ben adta ki.

A Diofantin egyenleteket évezredek óta tanulmányozzák. Például az X2 + y2 = z2 kvadratikus Diofantin egyenlet megoldásait a pitagorai hármasok adják, amelyeket eredetileg a babiloniak oldottak meg (Kr. e. 1800). A lineáris Diofantin-egyenletek megoldásai, mint például a 26X + 65y = 13, megtalálhatók az euklideszi algoritmus segítségével (KR. E.5. század).Sok Diofantin egyenlet az algebra szempontjából hasonló formában van, mint a Fermat Utolsó tételének egyenlete, mivel nincs két betűt keverő keresztfeltételük, anélkül, hogy megosztanák annak sajátos tulajdonságait. Ismeretes például, hogy végtelenül sok pozitív egész létezik x, y és z, úgy, hogy xn + yn = zm ahol n és m viszonylag prím természetes számok.

Fermat sejtéseszerkesztés

II.8 probléma a Diophantus Arithmetica 1621 kiadásában. A jobb oldalon az a margó, amely túl kicsi volt ahhoz, hogy Fermat állítólagos bizonyítékát tartalmazza az “utolsó tételéről”.

probléma II.8 Az Arithmetica megkérdezi, hogy egy adott négyzetszám van osztva két másik négyzet; más szóval, egy adott racionális szám k, megtalálni racionális számok u és v úgy, hogy k2 = u2 + v2. A Diophantus megmutatja, hogyan lehet megoldani ezt a négyzetek I ‘ m-of-négyzet problémáját k = 4 esetén(a megoldások u = 16/5 és v = 12/5).

Körül 1637, amelynek célja, hogy lehetővé írta az Utolsó Tétel a különbözet az ő példányát a Számtani mellett Diophantosz vagyok-a-négyzet probléma:

Fermat 1665-ös halála után fia, Clément-Samuel Fermat új kiadást készített a könyvből (1670), amelyet apja megjegyzései egészítettek ki. Bár valójában nem egy tétel időpontjában (azaz egy matematikai állítás, amelyre bizonyíték létezik), a különbözet megjegyzés vált ismertté, mint Fermat-Tétel, mivel ez volt az utolsó Fermat azt állította, tételek, hogy továbbra is bizonyított.

nem ismert, hogy a Fermat ténylegesen talált-e érvényes bizonyítékot minden n exponensre, de valószínűtlennek tűnik. Csak egy kapcsolódó bizonyíték maradt fenn, nevezetesen az n = 4 eset esetében, amint azt a szakasz igazolja a konkrét exponenseket.Míg Fermat az N = 4 és n = 3 eseteit jelentette matematikai tudósítóinak, például Marin Mersenne, Blaise Pascal és John Wallis kihívásainak, soha nem jelentette az általános esetet. Sőt, életének utolsó harminc évében Fermat soha többé nem írt az általános eset” igazán csodálatos bizonyítékáról”, és soha nem tette közzé. Van der Poorten azt sugallja, hogy bár a bizonyíték hiánya jelentéktelen, a kihívások hiánya azt jelenti, hogy Fermat rájött, hogy nincs bizonyítéka; idézi Weil-t, mondván, hogy Fermat röviden megtévesztette magát egy helyrehozhatatlan ötlettel.

a Fermat ilyen “csodálatos bizonyítékban” alkalmazott technikák ismeretlenek.

Taylor és Wiles bizonyítéka a 20. századi technikákra támaszkodik. Fermat bizonyítékának összehasonlításképpen elemi kellett volna lennie, figyelembe véve korának matematikai tudását.

Míg Harvey Friedman grand feltételezés azt jelenti, hogy semmilyen bizonyítható tétel (beleértve a Fermat-tétel) bizonyítható a csak elemi funkció számtani’, egy ilyen bizonyíték kell ‘általános’ csak technikai értelemben meg lehetne vonni millió lépéseket, így túl hosszú, hogy Fermat bizonyíték.

Igazolások konkrét exponentsEdit

Fermat végtelen leszállás a Fermat-Tétel, az n=4 az 1670 kiadás a Arithmetica a Diophantosz (pp. 338-339).

Exponent = 4edit

csak egy Fermat releváns bizonyítéka maradt fenn, amelyben a végtelen Süllyedés technikáját használja annak bizonyítására, hogy egy egész oldalú derékszögű háromszög területe soha nem lehet egyenlő egy egész szám négyzetével. A bizonyítás egyenértékű, amelyek igazolják, hogy az egyenlet

4 x − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

nem primitív megoldások egész számok (nem páronként relatív prímek megoldások). Ez viszont bizonyítja Fermat Utolsó tételét az N = 4 esetre, mivel az A4 + b4 = C4 egyenlet C4 − b4 = (a2)2 lehet.

Alternatív bizonyítéka az n = 4 fejlesztettek ki később a Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), van vele Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant pedig Perella (1999), Barbara (2007), és Dolan (2011).

Egyéb exponensekszerkesztés

miután Fermat bebizonyította az N = 4 különleges esetet, az összes n általános bizonyítéka csak arra volt szükség, hogy a tétel minden páratlan prím exponensre megállapításra kerüljön. Más szavakkal, csak azt kellett bizonyítani, hogy az An + bn = CN egyenletnek nincs pozitív egész megoldása (a, b, c), ha n páratlan prímszám. Ez azért következik, mert egy adott n-re vonatkozó megoldás (a, b, c) egyenértékű az n összes tényezőjére vonatkozó megoldással. Az általános egyenlet

an + bn = cn

azt jelenti, hogy (ad, bd, cd) egy megoldás az exponens e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

így annak bizonyítására, hogy Fermat egyenlete nincs megoldás n > 2, elegendő lenne bizonyítani, hogy nincs megoldás legalább egy prímtényezője minden n. minden egész n > 2 osztható 4 vagy páratlan prímszám (vagy mindkettő). Ezért Fermat utolsó tétele minden n esetében bizonyítható, ha n = 4 és minden páratlan p prím esetében bizonyítható.

a sejtését követő két évszázadban (1637-1839) Fermat Utolsó tételét három páratlan prímtényezőre, P = 3, 5 és 7-re igazolták. A P = 3 esetet először Abu-Mahmud Khojandi (10.század) állította, de a tétel bizonyítási kísérlete helytelen volt. 1770-ben Leonhard Euler bizonyítékot adott a P = 3-ra, de a végtelen származású bizonyítéka jelentős rést tartalmazott. Mivel azonban Euler maga is bizonyította a lemmát, amely a bizonyíték más munkában történő kitöltéséhez szükséges,általában az első bizonyítékot kapja. A független bizonyításokat Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) és Duarte (1944).

A P = 5-ös esetet Legendre és Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1825 körül önállóan igazolta. Az alternatív bizonyításokat Carl Friedrich Gauss (1875, posthumous), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Webrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915) és Guy Terjanian (1987) fejlesztette ki.

A P = 7 esetet Lamé 1839-ben bizonyította. Meglehetősen bonyolult bizonyítékát 1840-ben egyszerűsítette le Lebesgue, és még egyszerűbb bizonyítékait is kiadta Angelo Genocchi 1864-ben, 1874-ben és 1876-ban. Az alternatív bizonyítékokat Théophile Pépin (1876) és Edmond Maillet (1897) fejlesztette ki.

Fermat Utolsó tételét az N = 6, 10 és 14 exponensek esetében is igazolták. Az N = 6 bizonyítékait Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift és Breusch publikálta. Hasonlóképpen, Dirichlet és Terjanian mindegyik bizonyította az n = 14 esetet, míg Kapferer és Breusch mindegyik bizonyította az N = 10 esetet. Szigorúan véve, ezek a bizonyítékok feleslegesek, mivel ezek az esetek az N = 3, 5, illetve 7 bizonyítékokból származnak. Mindazonáltal ezeknek a páros-exponens bizonyítékoknak az érvelése eltér a páratlan exponens társaiktól. Dirichlet bizonyítéka n = 14-re 1832-ben jelent meg, Lamé 1839-es bizonyítéka N = 7-re.

az egyes exponensek minden bizonyítéka a Fermat végtelen származású technikáját használta, akár eredeti formájában, akár elliptikus görbéken vagy abeliai fajtákon való leereszkedés formájában. A részletek és a kiegészítő érvek azonban gyakran ad hoc jellegűek voltak, és a vizsgált egyéni kitevőhöz kötődtek. Mivel egyre bonyolultabbá váltak a P növekedésével, valószínűtlennek tűnt, hogy Fermat Utolsó tételének általános esete bizonyítható az egyes exponensek bizonyítékaira építve. Bár a Fermat Utolsó tételének néhány általános eredményét Niels Henrik Abel és Peter Barlow publikálta a 19.század elején, az általános tétel első jelentős munkáját Sophie Germain végezte.

korai modern áttörésekszerkesztés

Sophie GermainEdit

a 19.század elején Sophie Germain számos új megközelítést fejlesztett ki Fermat Utolsó tételének bizonyítására minden kitevő számára. Először a θ {\displaystyle \theta }

p {\displaystyle p}

egyenlettel definiálta a θ = 2 H P + 1 {\displaystyle \theta\theta =2HP+1}

, ahol h {\displaystyle h}

minden olyan egész szám , amely nem osztható hárommal. Megmutatta, hogy ha nem egész szám felvetette, hogy a p t a h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

hatalom szomszédos modulo θ {\displaystyle \theta }

(a nem-consecutivity feltétel), akkor θ {\displaystyle \theta }

kell osztani a terméket x y z {\displaystyle xyz}

. A cél az volt, hogy a matematikai indukció bizonyítani, hogy az adott p {\displaystyle p}

, végtelen sok kiegészítő fővezérek θ {\displaystyle \theta }

elégedett a nem-consecutivity állapotban, így osztva x y z {\displaystyle xyz}

; mivel a termék x y z {\displaystyle xyz}

lehet, legfeljebb véges számú elsődleges tényezők, ilyen bizonyíték volna létre Fermat-Tétel. Bár számos technikát fejlesztett ki a nem-egymás utáni állapot meghatározására,stratégiai céljában nem sikerült. Azt is dolgozott, hogy alacsonyabb határértékeket határozzon meg a Fermat egyenletének megoldásainak méretére egy adott exponens p {\displaystyle p}

, amelynek módosított változatát Adrien-Marie Legendre tette közzé. Mint egy mellékterméke ez utóbbi munka, de ő bebizonyította, Sophie Germain tétel, amely ellenőrizte az első esetben a Fermat-Tétel (nevezetesen, az ügy, amelyben a p {\displaystyle p}

nem osztja fel, x y z {\displaystyle xyz}

) minden páratlan prím kitevő kevesebb, mint 270 {\displaystyle 270}

, valamint minden p prímszám, {\displaystyle p}

olyan, hogy legalább az egyik 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

prime (speciálisan, a p prímszám, {\displaystyle p}

olyan, hogy 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

is prime are called Sophie Germain prímek). Germain sikertelenül próbálta bizonyítani Fermat Utolsó tételének első esetét minden páros exponens számára, különösen N=2 p {\displaystyle n=2p}

, amelyet Guy Terjanian 1977-ben bizonyított. 1985-ben Leonard Adleman, Roger Heath-Brown és Étienne Fouvry bebizonyították, hogy Fermat Utolsó tételének első esete végtelen sok páratlan prímre vonatkozik p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer pedig az elmélet idealsEdit

1847-Ben, Gabriel Lame felvázolt egy bizonyíték a Fermat-Tétel alapján a faktoring az egyenlet xp + yp = zp a komplex számok, különösen a cyclotomic mező alapján a gyökerek száma 1. Bizonyítéka azonban nem sikerült, mert helytelenül feltételezte, hogy az ilyen összetett számok egyedileg faktorálhatók prímekké, hasonlóan az egész számokhoz. Ezt a rést Joseph Liouville azonnal rámutatott, aki később egy olyan papírt olvasott, amely bizonyította az egyedi faktorizáció kudarcát, írta Ernst Kummer.

Kummer feladata volt annak meghatározása, hogy a ciklotomikus mező általánosítható-e olyan új prímszámokra, amelyek visszaállították az egyedi faktorizációt. Ezt a feladatot az ideális számok fejlesztésével sikerült elérnie.

(Megjegyzés: gyakran kijelentette, hogy Kummer vezetett, hogy az “ideális komplex számok” az ő érdeke, hogy Fermat-Tétel; van még egy történet, gyakran mondta, hogy Kummer, mint a Lame, úgy gondolta, hogy bizonyított Fermat-Tétel, amíg Lejeune Dirichlet mondta neki, hogy a vita támaszkodott egyedi faktorizációs; de a történetet először Kurt Hensel mondta el 1910-ben, és a bizonyítékok azt mutatják, hogy valószínűleg Hensel egyik forrása zavarából származik. Harold Edwards szerint az a meggyőződés, hogy Kummer elsősorban Fermat utolsó tétele iránt érdeklődött, “biztosan téves”. Lásd az ideális számok történetét.)

A Lamé által vázolt általános megközelítéssel Kummer mindkét esetben bizonyította Fermat Utolsó tételét minden szabályos prímszámra. Azonban nem tudta bizonyítani a kivételes prímek (szabálytalan prímek) tételét, amely feltételezés szerint az idő körülbelül 39% – ában fordul elő; az egyetlen szabálytalan prímek alatt 270 a következők 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 és 263.

Mordell sejtéseszerkesztés

Az 1920-as években Louis Mordell olyan sejtést tett közzé, amely azt sugallta, hogy Fermat egyenletének legfeljebb véges számú nem triviális primitív egész megoldása van, ha az n exponens nagyobb, mint kettő. Ezt a sejtést Gerd Faltings 1983-ban bizonyította, és ma Faltings-tételként ismert.

számítási tanulmányokSzerkesztés

a 20. század második felében számítási módszereket alkalmaztak Kummer megközelítésének kiterjesztésére a szabálytalan prímekre. 1954-ben Harry Vandiver SWAC számítógépet használt, hogy bizonyítsa Fermat Utolsó tételét az összes prímre 2521-ig. 1978-ra Samuel Wagstaff kiterjesztette ezt a 125 000-nél kisebb prímekre. 1993-ra Fermat Utolsó tételét minden négy milliónál kevesebb prímszámra bizonyították.

azonban ezen erőfeszítések és eredményeik ellenére sem volt bizonyíték Fermat Utolsó tételére. Az igazolások az egyes kitevőkkel a természet soha nem bizonyítja, hogy az általános esetben: még ha csak annyit is ellenőrizték fel, hogy egy rendkívül nagy száma X, magasabb kitevő túl X lehet, hogy még mindig létezik, amelyre az állítás nem igaz. (Ez volt a helyzet más múltbeli sejtésekkel is, és ebben a feltételezésben nem lehetett kizárni.)

Kapcsolat elliptikus curvesEdit

A stratégia, ami végül ahhoz vezetett, hogy egy sikeres bizonyíték Fermat-Tétel merült fel, a “meghökkentő”:211 Taniyama–Shimura–Hát csak feltételezés, javasolt körül 1955—amely sok matematikus hittem volna, közel lehetetlen bizonyítani,:223 volt kapcsolódik az 1980-as években Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre Ken Ribet, hogy a Fermat-egyenlet. A megvalósítása részleges bizonyítéka ez a feltételezés 1994-ben, Andrew Wiles végül sikerült bebizonyítani, Fermat-Tétel, valamint a vezető az utat teljes bizonyító mások által már ismert, mint a modularitás tétel.

Taniyama–Shimura–Weil-sejtésszerkesztés

1955 körül a japán matematikusok, Goro Shimura és Yutaka Taniyama lehetséges összefüggést figyeltek meg a matematika két látszólag teljesen különálló ága, az elliptikus görbék és a moduláris formák között. Az eredményül kapott modularitás-tétel (a Taniyama–Shimura sejtésnek nevezett időpontban) azt állítja, hogy minden elliptikus görbe moduláris, ami azt jelenti, hogy egy egyedi moduláris formához társulhat.

a linket eredetileg valószínűtlennek vagy erősen spekulatívnak ítélték el, de komolyan vették, amikor André Weil Számelméleti szakértő bizonyítékot talált, bár nem bizonyította; ennek eredményeként a sejtést gyakran Taniyama–Shimura–Weil-sejtésnek hívták.:211-215

még a komoly figyelem felkeltése után is a kortárs matematikusok rendkívül nehéznek vagy talán elérhetetlennek látták a bizonyítékot.: 203-205, 223, 226 például Wiles doktori témavezetője, John Coates kijelenti, hogy “lehetetlennek tűnt ténylegesen bizonyítani”,: 226 és Ken Ribet úgy vélte, hogy” az emberek túlnyomó többsége, akik úgy gondolták, hogy teljesen elérhetetlen”, hozzátéve, hogy ” Andrew Wiles valószínűleg azon kevés ember egyike volt a földön, akik mertek álmodni arról, hogy valóban megy, és bizonyítani .”:223

Ribet tétele Frey curvesEdit

1984-ben Gerhard Frey megjegyezte a kapcsolatot Fermat egyenlete és a modularitás tétel között, majd még mindig sejtés. Ha a Fermat egyenletének bármilyen megoldása (a, b, c) lenne a p > 2 exponens számára, akkor kimutatható, hogy a félig stabil elliptikus görbe (ma Frey-Hellegouarch néven ismert)

y2 = x (x-ap)(x + bp)

olyan szokatlan tulajdonságokkal rendelkezik, hogy valószínűleg nem lenne moduláris. Ez ellentétes lenne a modularitás tételével, amely azt állította, hogy minden elliptikus görbe moduláris. Mint ilyen, Frey megjegyezte, hogy a Taniyama–Shimura–Weil-sejtés bizonyítéka egyidejűleg bizonyíthatja Fermat Utolsó tételét is. Ellentétben, a Fermat Utolsó tételének megcáfolása vagy megcáfolása megcáfolná a Taniyama-Shimura-Weil sejtést.

egyszerű angol nyelven Frey megmutatta, hogy ha ez az intuíció az egyenletével kapcsolatban helyes, akkor bármilyen 4 szám (a, b, c, n), amely képes Fermat Utolsó tételének megcáfolására, felhasználható a Taniyama–Shimura–Weil sejtés cáfolására is. Ezért, ha ez utóbbi igaz lenne, az előbbit nem lehet megcáfolni, és igaznak is kell lennie.

ezt a stratégiát követve a Fermat Utolsó tételének bizonyítéka két lépést igényelt. Először is be kellett bizonyítani a modularitás tételét – vagy legalábbis bizonyítani az elliptikus görbék típusaira, amelyek Frey egyenletét tartalmazták (félig elliptikus görbék néven ismert). Ezt széles körben úgy vélték, hogy a kortárs matematikusok nem tudják bizonyítani.:203-205, 223, 226 másodperc, meg kellett mutatni, hogy Frey intuíciója helyes volt: hogy ha egy elliptikus görbét ilyen módon alakítottak ki, olyan számok halmazával, amelyek a Fermat egyenletének megoldását jelentették, az eredményül kapott elliptikus görbe nem lehet moduláris. Frey megmutatta, hogy ez elfogadható, de nem ment olyan messzire, hogy teljes bizonyítékot szolgáltasson. A hiányzó darabot (az úgynevezett” epsilon-sejtést”, amelyet ma Ribet-tételnek neveznek) Jean-Pierre Serre azonosította, aki szintén majdnem teljes bizonyítékot adott, és a Frey által javasolt linket végül Ken Ribet 1986-ban bizonyította.

Frey, Serre és Ribet munkásságát követően itt álltak a kérdések:

• Fermat Utolsó tételét minden n exponens esetében be kellett bizonyítani, amelyek prímszámok voltak.
• a modularitás-tétel-ha félstabil elliptikus görbék esetében bebizonyosodik-azt jelentené, hogy minden félistabil elliptikus görbének modulárisnak kell lennie.
• Ribet tétele azt mutatta, hogy a Fermat egyenletének bármely megoldása egy prímszámra felhasználható egy olyan félmondatos elliptikus görbe létrehozására, amely nem lehet moduláris;
• az egyetlen módja annak, hogy mindkét állítás igaz legyen, az volt, ha nem léteznek megoldások Fermat egyenletére (mert akkor nem lehet ilyen görbét létrehozni), amit Fermat utolsó tétele mondott. Amint Ribet tételét már bizonyították, ez azt jelentette, hogy a modularitás tétel bizonyítéka automatikusan bizonyítja Fermat Utolsó tételét is.

Wiles ‘s general proofEdit

brit matematikus, Andrew Wiles.

főbb cikkek: Andrew Wiles és Wiles igazolása Fermat Utolsó tételéről

Ribet igazolása az epsilon-sejtésről 1986-ban teljesítette a Frey által javasolt két cél közül az elsőt. Hallva a Ribet sikere, Andrew Wiles, egy angol matematikus, a gyermekkor varázsát Fermat-Tétel, ki volt dolgozott, elliptikus görbék, úgy döntött, hogy el magát megvalósítására, de a második félidőben bizonyítva, egy speciális esete a modularitás tétel (akkor ismert, mint a Taniyama–Shimura következtetés) a semistable elliptikus görbék.

Wiles hat éven át szinte teljes titokban dolgozott ezen a feladaton, eltitkolva erőfeszítéseit azzal, hogy a korábbi munkát kis szegmensekben külön papírként adta ki, és csak a feleségében bízott.:229-230 Az eredeti tanulmány szerint a bizonyíték indukció által,:230-232, 249-252 ő alapú a kezdeti munka első jelentős áttörés a Galois-elmélet:251-253, 259 váltás előtt, hogy megpróbálja kiterjeszteni vízszintes Iwasawa elmélet az induktív érvelés 1990-91 körül, amikor úgy tűnt, hogy nincs meglévő megközelítés megfelelő a probléma.:258-259 1991 közepére azonban úgy tűnt, hogy az Iwasawa elmélet nem érinti a probléma központi kérdéseit.:259-260 válaszul megkereste kollégáit, hogy tájékozódjanak az élvonalbeli kutatásokról és az új technikákról, és felfedezte a Victor Kolyvagin és Matthias Flach által nemrégiben kifejlesztett Euler-rendszert, amely a bizonyíték induktív részének “testre szabottnak” tűnt.: 260-261 Wiles tanulmányozta és kiterjesztette ezt a megközelítést, amely működött. Mivel munkája nagymértékben támaszkodott erre a megközelítésre, amely új volt a matematikában és a Wiles-ben, 1993 januárjában felkérte Princeton kollégáját, Nick Katz-t, hogy segítsen neki ellenőrizni érvelését finom hibák miatt. Abban az időben arra a következtetésre jutottak, hogy az alkalmazott technikák úgy tűnt, hogy helyesen működnek.: 261-265

1993. május közepére Wiles képes volt elmondani feleségének, hogy úgy gondolta, hogy megoldotta Fermat Utolsó tételének bizonyítékát:265, júniusra pedig elég magabiztosnak érezte magát ahhoz, hogy eredményeit három előadásban mutassa be, amelyeket 1993.június 21-23-án tartottak az Isaac Newton Matematikai Tudományok Intézetében. Pontosabban, Wiles bemutatta bizonyítékát a Taniyama-Shimura sejtésről a félig elliptikus görbékre; Ribet bizonyítékával együtt az epsilon-sejtésről, ez magában foglalta Fermat Utolsó tételét. A szakértői értékelés során azonban nyilvánvalóvá vált, hogy a bizonyíték kritikus pontja helytelen. Ez egy hibát tartalmazott egy adott csoport sorrendjében. A hibát több matematikus is észlelte, köztük Katz (a bíráló szerepében), aki 1993.augusztus 23-án figyelmeztette Wiles-t.

a hiba nem tette volna értéktelenné a munkáját – Wiles munkájának minden egyes része önmagában is rendkívül jelentős és innovatív volt, csakúgy, mint a sok fejlesztés és technika, amelyet munkája során létrehozott, és csak egy részét érintette.:289, 296-297 azonban anélkül, hogy ez a rész bizonyult volna, nem volt tényleges bizonyíték Fermat Utolsó tételére. Wiles majdnem egy évet töltött azzal, hogy megpróbálja megjavítani bizonyítékát, kezdetben egyedül, majd korábbi diákjával, Richard Taylorral együttműködve, sikertelenül. 1993 végére a pletykák elterjedtek, hogy ellenőrzés alatt Wiles bizonyítéka kudarcot vallott,de mennyire nem volt ismert. A matematikusok elkezdték nyomást gyakorolni Wiles-re, hogy tegye közzé munkáját, akár teljes, akár nem, hogy a szélesebb közösség felfedezhesse és felhasználhassa azt, amit sikerült elérnie. De ahelyett, hogy kijavították volna, a probléma, amely eredetileg kisebbnek tűnt, most nagyon jelentősnek, sokkal komolyabbnak és kevésbé könnyen megoldhatónak tűnt.

Wiles kijelenti, hogy 1994. szeptember 19-én reggel már a feladás küszöbén állt, és majdnem lemondott arról, hogy elfogadja, hogy kudarcot vallott, és közzéteszi munkáját, hogy mások építhessenek rá, és kijavítsák a hibát. Hozzáteszi, hogy végső pillantást vetett arra, hogy megpróbálja megérteni azokat az alapvető okokat, amelyek miatt megközelítését nem lehetett dolgozni, amikor hirtelen meglátása volt–, hogy a kolyvagin–Flach megközelítés konkrét oka nem működik közvetlenül, azt is jelentette, hogy az Iwasawa–elméletet használó eredeti kísérletei működhetnek, ha megerősítette azt a Kolyvagin-Flach megközelítésből szerzett tapasztalataival. Az egyik megközelítés rögzítése a másik megközelítés eszközeivel megoldja a problémát minden olyan esetben, amelyet a referált papírja még nem bizonyított. Később leírta, hogy az Iwasawa elmélet és a Kolyvagin-Flach megközelítés önmagukban nem megfelelőek, de együtt elég erősek lehetnek ahhoz, hogy legyőzzék ezt a végső akadályt.

” az asztalomnál ültem, a Kolyvagin–Flach módszert vizsgálva. Nem azt hittem, hogy meg tudom csinálni, de azt hittem, hogy legalább meg tudom magyarázni, miért nem működik. Hirtelen volt ez a hihetetlen kinyilatkoztatás. Rájöttem, hogy a Kolyvagin-Flach módszer nem működik, de ez volt minden, amire szükségem volt ahhoz, hogy az eredeti Iwasawa elméletem három évvel korábban működjön. Tehát Kolyvagin–Flach hamujából úgy tűnt, hogy az igazi válasz a problémára. Olyan leírhatatlanul szép volt, olyan egyszerű és elegáns. Nem értettem, hogy hagytam ki, és húsz percig hitetlenkedve bámultam. Aztán napközben körbejártam az osztályt, és visszajöttem az asztalomhoz, hogy megnézzem, még mindig ott van-e. Még mindig ott volt. Nem tudtam visszatartani magam, annyira izgatott voltam. Ez volt életem legfontosabb pillanata. Semmi, amit újra teszek, nem fog annyit jelenteni.”— Andrew Wiles, az idézett Simon Singh

október 24-én 1994, Wiles benyújtott két kéziratok, “elliptikus Moduláris görbe, illetve Fermat-Tétel”, valamint a “Gyűrű elméleti tulajdonságok bizonyos Hecke algebrák”, melyek közül a második volt társszerzője a Taylor pedig bebizonyította, hogy bizonyos feltételek teljesültek, hogy volt szükség, hogy igazolják a korrigált lépés a fő papír. A két dolgozatot a matematika Évkönyveinek 1995.májusi számának teljes egészében átvizsgálták és publikálták. Ezeket a papírokat létre a modularitás tétel a semistable elliptikus görbék, az utolsó lépés bizonyítja, Fermat-Tétel, 358 év után gondolta.

későbbi fejlesztésekszerkesztés

a teljes Taniyama–Shimura–Weil sejtést végül Diamond (1996) harvtxt hiba bizonyította: több cél (2×): CITEREFDiamond1996 (Súgó), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt hiba: több cél (2×): citerefconraddiamondtaylor1999 (help), and Breuil et al. (2001)harvtxt hiba: több cél (2×): A CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (help), aki Wiles munkájára építve fokozatosan eltávolította a fennmaradó eseteket, amíg a teljes eredményt be nem bizonyították. A most teljesen bizonyított sejtés modularitás tételként vált ismertté.

a Fermat Utolsó tételéhez hasonló Számelmélet számos más tétele is ugyanabból az érvelésből következik, a modularitás tétel felhasználásával. Például: egyetlen kocka sem írható két coprime n-edik hatvány összegeként, n ≥ 3. (Az N = 3 ügyet az Euler már ismerte.)