Problema II.8 nell’edizione del 1621 dell’Arithmetica di Diofanto. Sulla destra è il margine che era troppo piccolo per contenere la presunta prova di Fermat del suo “ultimo teorema”.

Il problema II.8 dell’Arithmetica chiede come un dato numero quadrato sia diviso in altri due quadrati; in altre parole, per un dato numero razionale k, trova i numeri razionali u e v tali che k2 = u2 + v2. Diophantus mostra come risolvere questo problema I’m-of-squares per k = 4 (le soluzioni sono u = 16/5 e v = 12/5).

Intorno al 1637, progettato per consentire scrisse il suo Ultimo Teorema di a margine della sua copia del Aritmetica accanto a Diophantus della sto-di-piazze problema:

Dopo la morte di Fermat nel 1665, suo figlio Clément-Samuel Fermat produsse una nuova edizione del libro (1670) aumentata con i commenti del padre. Anche se in realtà non è un teorema al momento (che significa una dichiarazione matematica per la quale esiste la prova), la nota di margine divenne nota nel tempo come Ultimo Teorema di Fermat, in quanto fu l’ultimo dei teoremi asseriti da Fermat a rimanere non provato.

Non è noto se Fermat avesse effettivamente trovato una prova valida per tutti gli esponenti n, ma sembra improbabile. Solo una prova correlata da lui è sopravvissuta, vale a dire per il caso n = 4, come descritto nella sezione Prove per esponenti specifici.Mentre Fermat pose i casi di n = 4 e di n = 3 come sfide ai suoi corrispondenti matematici, come Marin Mersenne, Blaise Pascal e John Wallis, non pose mai il caso generale. Inoltre, negli ultimi trent’anni della sua vita, Fermat non scrisse mai più della sua “prova veramente meravigliosa” del caso generale, e non la pubblicò mai. Van der Poorten suggerisce che mentre l’assenza di una prova è insignificante, la mancanza di sfide significa che Fermat si è reso conto di non avere una prova; cita Weil come dicendo Fermat deve essersi brevemente illuso con un’idea irrecuperabile.

Le tecniche che Fermat potrebbe aver usato in una tale “prova meravigliosa” sono sconosciute.

La prova di Taylor e Wiles si basa su tecniche del 20 ° secolo. La prova di Fermat avrebbe dovuto essere elementare al confronto, data la conoscenza matematica del suo tempo.

Mentre la grande congettura di Harvey Friedman implica che qualsiasi teorema dimostrabile (incluso l’ultimo teorema di Fermat) può essere dimostrato usando solo “aritmetica delle funzioni elementari”, tale dimostrazione deve essere “elementare” solo in senso tecnico e potrebbe coinvolgere milioni di passaggi, e quindi essere troppo lunga per essere stata la dimostrazione di Fermat.

Prove specifiche exponentsEdit

Fermat infinita discesa per l’Ultimo Teorema di Fermat caso n=4 nel 1670 edizione dell’Arithmetica di Diophantus (pp. 338-339).

Exponent = 4Edit

Solo una prova rilevante di Fermat è sopravvissuta, in cui usa la tecnica della discesa infinita per mostrare che l’area di un triangolo rettangolo con lati interi non può mai eguagliare il quadrato di un intero. La sua dimostrazione equivale a dimostrare che l’equazione

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

non ha soluzioni primitive in numeri interi (nessuna soluzione coprime a coppie). A sua volta, questo dimostra l’ultimo Teorema di Fermat per il caso n = 4, poiché l’equazione a4 + b4 = c4 può essere scritta come c4 − b4 = (a2)2.

Altre prove del caso n = 4 sono stati sviluppati successivamente da Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pipino (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli, fondatrice dell’associazione. (1901), Leopold Kronecker (1901), Botto (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant e Perella (1999), Barbara (2007), e Dolan (2011).

Altri esponentimodifica

Dopo che Fermat dimostrò il caso speciale n = 4, la dimostrazione generale per tutti gli n richiedeva solo che il teorema fosse stabilito per tutti gli esponenti primi dispari. In altre parole, era necessario dimostrare solo che l’equazione an + bn = cn non ha soluzioni intere positive (a, b, c) quando n è un numero primo dispari. Ciò segue perché una soluzione (a, b, c) per un dato n è equivalente a una soluzione per tutti i fattori di n. Per esempio, sia n fattorizzato in d ed e, n = de. L’equazione generale

an + bn = cn

implica che (ad, bd, cd) è una soluzione per l’esponente e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

Così, per dimostrare che Fermat equazione non ha soluzioni per n > 2, sarebbe sufficiente a dimostrare che non ha soluzioni per almeno un fattore primo di ogni n. Ogni intero n > 2 è divisibile per 4 o da un numero primo dispari (o entrambi). Pertanto, l’ultimo Teorema di Fermat potrebbe essere dimostrato per tutti n se potesse essere dimostrato per n = 4 e per tutti i numeri primi dispari p.

Nei due secoli successivi alla sua congettura (1637-1839), l’ultimo Teorema di Fermat fu dimostrato per tre esponenti primi dispari p = 3, 5 e 7. Il caso p = 3 fu dichiarato per la prima volta da Abu-Mahmud Khojandi (10 ° secolo), ma il suo tentativo di dimostrazione del teorema non era corretto. Nel 1770, Leonhard Euler ha dato una prova di p = 3, ma la sua prova di discesa infinita conteneva una grande lacuna. Tuttavia, dal momento che Eulero stesso aveva dimostrato il lemma necessario per completare la prova in altri lavori, egli è generalmente accreditato con la prima prova. Indipendente prove sono state pubblicate da Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), gambioli, fondatrice dell’associazione. (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917), e Duarte (1944).

Il caso p = 5 fu dimostrato indipendentemente da Legendre e Peter Gustav Lejeune Dirichlet intorno al 1825. Le prove alternative furono sviluppate da Carl Friedrich Gauss (1875, postumo), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915) e Guy Terjanian (1987).

Il caso p = 7 fu dimostrato da Lamé nel 1839. La sua prova piuttosto complicata fu semplificata nel 1840 da Lebesgue, e le prove ancora più semplici furono pubblicate da Angelo Genocchi nel 1864, 1874 e 1876. Prove alternative sono state sviluppate da Théophile Pépin (1876) e Edmond Maillet (1897).

L’ultimo Teorema di Fermat è stato dimostrato anche per gli esponenti n = 6, 10 e 14. Le prove per n = 6 sono state pubblicate da Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift e Breusch. Allo stesso modo, Dirichlet e Terjanian dimostrarono ciascuno il caso n = 14, mentre Kapferer e Breusch dimostrarono ciascuno il caso n = 10. A rigor di termini, queste prove non sono necessarie, poiché questi casi derivano dalle prove per n = 3, 5 e 7, rispettivamente. Tuttavia, il ragionamento di queste prove a esponente pari differisce dalle loro controparti a esponente dispari. La prova di Dirichlet per n = 14 fu pubblicata nel 1832, prima della prova di Lamé del 1839 per n = 7.

Tutte le prove per esponenti specifici usavano la tecnica di Fermat di discesa infinita, sia nella sua forma originale, sia nella forma di discesa su curve ellittiche o varietà abeliane. I dettagli e gli argomenti ausiliari, tuttavia, erano spesso ad hoc e legati al singolo esponente in esame. Dal momento che sono diventati sempre più complicati con l’aumento di p, sembrava improbabile che il caso generale dell’Ultimo Teorema di Fermat potesse essere dimostrato basandosi sulle prove per i singoli esponenti. Anche se alcuni risultati generali su ultimo teorema di Fermat sono stati pubblicati nei primi anni del 19 ° secolo da Niels Henrik Abel e Peter Barlow, il primo lavoro significativo sul teorema generale è stato fatto da Sophie Germain.

Le prime scoperte modernemodifica

Sophie GermainEdit

All’inizio del xix secolo, Sophie Germain sviluppò diversi nuovi approcci per dimostrare l’ultimo Teorema di Fermat per tutti gli esponenti. In primo luogo, ha definito una serie di ausiliari primi θ {\displaystyle \theta }

costruito il primo esponente p {\displaystyle p}

dall’equazione q = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, dove h {\displaystyle h}

è un numero intero non divisibile per tre. Lei ha dimostrato che, se non interi elevato al p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

potenza sono stati adiacente modulo θ {\displaystyle \theta }

(non consecutivity condizione), quindi θ {\displaystyle \theta }

deve dividere il prodotto x y z {\displaystyle xyz}

. Il suo obiettivo era quello di utilizzare induzione matematica per dimostrare che, per ogni p {\displaystyle p}

, infinitamente molti ausiliari primi θ {\displaystyle \theta }

soddisfatto non consecutivity condizione e quindi, diviso x y z {\displaystyle xyz}

; dal momento che il prodotto x y z {\displaystyle xyz}

può avere al più un numero finito di fattori primi, tale prova avrebbe stabilito l’Ultimo Teorema di Fermat. Sebbene abbia sviluppato molte tecniche per stabilire la condizione di non consecutività, non è riuscita nel suo obiettivo strategico. Ha anche lavorato per impostare limiti inferiori alla dimensione delle soluzioni all’equazione di Fermat per un dato esponente p {\displaystyle p}

, una versione modificata della quale è stata pubblicata da Adrien-Marie Legendre. Come un sottoprodotto di questo ultimo lavoro, ha dimostrato Sophie Germain teorema, che ha verificato il primo caso di Ultimo Teorema di Fermat (cioè il caso in cui p {\displaystyle p}

non divide x y z {\displaystyle xyz}

) per ogni dispari primo esponente di meno di 270 {\displaystyle 270}

, e per tutti i numeri primi p {\displaystyle p}

in modo che almeno uno dei 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

e 16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

è il primo (in particolare, i numeri primi p {\displaystyle p}

tale che 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

è primo sono chiamati Sophie Germain primi). Germain tentò senza successo di dimostrare il primo caso dell’Ultimo Teorema di Fermat per tutti gli esponenti pari, in particolare per n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, che fu dimostrato da Guy Terjanian nel 1977. Nel 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown e Étienne Fouvry dimostrarono che il primo caso dell’Ultimo Teorema di Fermat vale per infiniti numeri primi dispari p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer e la teoria degli idealimodifica

Nel 1847, Gabriel Lamé delineò una dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat basato sul factoring dell’equazione xp + yp = zp in numeri complessi, in particolare il campo ciclotomico basato sulle radici del numero 1. La sua dimostrazione fallì, tuttavia, perché presumeva erroneamente che tali numeri complessi potessero essere fattorizzati in modo univoco in numeri primi, simili agli interi. Questa lacuna è stata evidenziata immediatamente da Joseph Liouville, che in seguito ha letto un documento che ha dimostrato questo fallimento di fattorizzazione unica, scritto da Ernst Kummer.

Kummer si è posto il compito di determinare se il campo ciclotomico potesse essere generalizzato per includere nuovi numeri primi in modo tale che la fattorizzazione unica fosse ripristinata. Riuscì in quel compito sviluppando i numeri ideali.

(Nota: Si afferma spesso che Kummer è stato portato ai suoi “numeri complessi ideali” dal suo interesse per l’ultimo Teorema di Fermat; c’è anche una storia spesso raccontata che Kummer, come Lamé, credeva di aver dimostrato l’ultimo Teorema di Fermat fino a quando Lejeune Dirichlet gli disse che la sua argomentazione si basava sulla fattorizzazione unica; ma la storia fu raccontata per la prima volta da Kurt Hensel nel 1910 e le prove indicano che probabilmente deriva da una confusione di una delle fonti di Hensel. Harold Edwards afferma che la convinzione che Kummer fosse interessato principalmente all’ultimo teorema di Fermat “è sicuramente sbagliata”. Vedere la storia dei numeri ideali.)

Usando l’approccio generale delineato da Lamé, Kummer dimostrò entrambi i casi dell’ultimo Teorema di Fermat per tutti i numeri primi regolari. Tuttavia, non ha potuto dimostrare il teorema per i numeri primi eccezionali (numeri primi irregolari) che si verificano congetturalmente circa il 39% delle volte; gli unici numeri primi irregolari inferiori a 270 sono 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 e 263.

Congettura di Mordelledit

Nel 1920, Louis Mordell pose una congettura che implicava che l’equazione di Fermat ha al massimo un numero finito di soluzioni intere primitive non banali, se l’esponente n è maggiore di due. Questa congettura è stata dimostrata nel 1983 da Gerd Faltings, ed è ora noto come teorema di Faltings.

Studi computazionalimodifica

Nella seconda metà del xx secolo, i metodi computazionali furono usati per estendere l’approccio di Kummer ai numeri primi irregolari. Nel 1954, Harry Vandiver utilizzò un computer SWAC per dimostrare l’ultimo Teorema di Fermat per tutti i numeri primi fino al 2521. Nel 1978, Samuel Wagstaff aveva esteso questo a tutti i numeri primi inferiori a 125.000. Nel 1993, l’ultimo teorema di Fermat era stato dimostrato per tutti i primi meno di quattro milioni.

Tuttavia, nonostante questi sforzi e i loro risultati, non esisteva alcuna prova dell’ultimo Teorema di Fermat. Le prove dei singoli esponenti per loro natura non potrebbero mai dimostrare il caso generale: anche se tutti gli esponenti fossero verificati fino a un numero estremamente grande X, potrebbe ancora esistere un esponente più alto oltre X per il quale l’affermazione non era vera. (Questo era stato il caso di alcune altre congetture passate, e non poteva essere escluso in questa congettura.)

Connessione con ellittica curvesEdit

La strategia che ha portato al successo la prova dell’Ultimo Teorema di Fermat si alzò da “sorprendente”:211 Taniyama–Shimura–Weil congettura, proposto intorno al 1955—che molti matematici credeva essere vicino a impossibile dimostrare,:223, legato nel 1980 da Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre e Ken Ribet di Fermat equazione. Realizzando una prova parziale di questa congettura nel 1994, Andrew Wiles alla fine riuscì a dimostrare l’ultimo Teorema di Fermat, oltre a aprire la strada a una dimostrazione completa da parte di altri di ciò che ora è noto come teorema di modularità.

Taniyama–Shimura–Weil conjectureEdit

Intorno al 1955, i matematici giapponesi Goro Shimura e Yutaka Taniyama osservarono un possibile legame tra due rami apparentemente completamente distinti della matematica, le curve ellittiche e le forme modulari. Il teorema di modularità risultante (all’epoca noto come congettura di Taniyama–Shimura) afferma che ogni curva ellittica è modulare, il che significa che può essere associata a una forma modulare unica.

Il collegamento è stato inizialmente respinto come improbabile o altamente speculativo, ma è stato preso più seriamente quando il teorico dei numeri André Weil ha trovato prove a sostegno, anche se non dimostrarlo; di conseguenza la congettura è stata spesso conosciuta come la congettura di Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

Anche dopo aver guadagnato seria attenzione, la congettura è stata vista dai matematici contemporanei come straordinariamente difficile o forse inaccessibile alla prova.:203-205, 223, 226 Ad esempio, il supervisore del dottorato di Wiles, John Coates, afferma che sembrava “impossibile provare effettivamente”,: 226 e Ken Ribet si considerava “una della stragrande maggioranza delle persone che credevano fosse completamente inaccessibile”, aggiungendo che “Andrew Wiles era probabilmente una delle poche persone sulla terra che hanno avuto l’audacia di sognare che si possa effettivamente andare a dimostrare .”:223

Teorema di Ribet per le curve di Freymodifica

Nel 1984, Gerhard Frey notò un legame tra l’equazione di Fermat e il teorema di modularità, allora ancora una congettura. Se l’equazione di Fermat avesse una soluzione (a, b, c) per l’esponente p > 2, allora si potrebbe dimostrare che la curva ellittica semi-stabile (ora nota come Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x − ap)(x + bp)

avrebbe proprietà così insolite che era improbabile che fosse modulare. Ciò sarebbe in conflitto con il teorema di modularità, che affermava che tutte le curve ellittiche sono modulari. Come tale, Frey ha osservato che una prova della congettura Taniyama–Shimura–Weil potrebbe anche dimostrare simultaneamente l’ultimo Teorema di Fermat. Per contrapposizione, un disproof o confutazione dell’Ultimo Teorema di Fermat confuterebbe la congettura di Taniyama–Shimura–Weil.

In parole povere, Frey aveva dimostrato che, se questa intuizione sulla sua equazione fosse corretta, allora qualsiasi insieme di 4 numeri (a, b, c, n) in grado di confutare l’ultimo Teorema di Fermat, potrebbe anche essere usato per confutare la congettura di Taniyama–Shimura–Weil. Pertanto, se quest’ultimo fosse vero, il primo non potrebbe essere confutato e dovrebbe anche essere vero.

Seguendo questa strategia, una dimostrazione dell’ultimo Teorema di Fermat richiedeva due passaggi. In primo luogo, era necessario dimostrare il teorema di modularità – o almeno dimostrarlo per i tipi di curve ellittiche che includevano l’equazione di Frey (note come curve ellittiche semistabili). Questo è stato ampiamente creduto inaccessibile alla prova dai matematici contemporanei.:203-205, 223, 226 Secondo, era necessario dimostrare che l’intuizione di Frey era corretta: che se una curva ellittica fosse costruita in questo modo, usando un insieme di numeri che erano una soluzione dell’equazione di Fermat, la curva ellittica risultante non poteva essere modulare. Frey ha dimostrato che questo era plausibile, ma non è andato fino a dare una prova completa. Il pezzo mancante (la cosiddetta “congettura di epsilon”, ora nota come teorema di Ribet) è stato identificato da Jean-Pierre Serre che ha anche dato una prova quasi completa e il collegamento suggerito da Frey è stato finalmente dimostrato nel 1986 da Ken Ribet.

Seguendo il lavoro di Frey, Serre e Ribet, questo era il punto in cui le cose stavano:

• L’ultimo Teorema di Fermat doveva essere dimostrato per tutti gli esponenti n che erano numeri primi.
• Il teorema di modularità – se dimostrato per curve ellittiche semistabili-significherebbe che tutte le curve ellittiche semistabili devono essere modulari.
• Ribet teorema dimostrato che qualsiasi soluzione di Fermat equazione per un numero primo può essere utilizzato per creare un semistable curva ellittica che potrebbe non essere modulare;
• L’unico modo che entrambe queste affermazioni potrebbe essere vero, se non soluzioni esisteva equazione di Fermat (perché nessuna di tali curve potrebbero essere creati), che è l’Ultimo Teorema di Fermat, ha detto. Poiché il teorema di Ribet era già stato dimostrato, ciò significava che una dimostrazione del Teorema di modularità avrebbe automaticamente dimostrato che anche l’ultimo teorema di Fermat era vero.

Prova generale di wilesEdit

Matematico britannico Andrew Wiles.

La dimostrazione di Ribet della congettura di epsilon nel 1986 ha compiuto il primo dei due obiettivi proposti da Frey. Dopo aver sentito del successo di Ribet, Andrew Wiles, un matematico inglese con un fascino infanzia con l’ultimo teorema di Fermat, e che aveva lavorato su curve ellittiche, ha deciso di impegnarsi a realizzare la seconda metà: dimostrando un caso speciale del teorema di modularità (allora noto come la congettura di Taniyama–Shimura) per le curve ellittiche semistabili.

Wiles ha lavorato a questo compito per sei anni in quasi totale segretezza, coprendo i suoi sforzi rilasciando lavori precedenti in piccoli segmenti come documenti separati e confidando solo con sua moglie.:229-230 Il suo studio iniziale ha suggerito la prova per induzione,: 230-232, 249-252 e ha basato il suo lavoro iniziale e la prima svolta significativa sulla teoria di Galois: 251-253, 259 prima di passare a un tentativo di estendere la teoria Iwasawa orizzontale per l’argomento induttivo intorno al 1990-91 quando sembrava che non esistesse un approccio adeguato al problema.:258-259 Tuttavia, a metà del 1991, anche la teoria di Iwasawa sembrava non raggiungere le questioni centrali del problema.:259-260 In risposta, si avvicinò ai colleghi per cercare qualsiasi accenno di ricerca all’avanguardia e nuove tecniche, e scoprì un sistema di Eulero recentemente sviluppato da Victor Kolyvagin e Matthias Flach che sembrava “fatto su misura” per la parte induttiva della sua dimostrazione.: 260-261 Wiles ha studiato ed esteso questo approccio, che ha funzionato. Dal momento che il suo lavoro si basava ampiamente su questo approccio, che è stato nuovo per la matematica e per Wiles, nel gennaio 1993 ha chiesto al suo collega di Princeton, Nick Katz, per aiutarlo a controllare il suo ragionamento per sottili errori. La loro conclusione a quel tempo era che le tecniche utilizzate da Wiles sembravano funzionare correttamente.:261-265

Entro la metà di maggio 1993, Wiles sentiva in grado di dire a sua moglie che pensava di aver risolto la prova dell’ultimo Teorema di Fermat,: 265 ed entro giugno si sentiva sufficientemente sicuro di presentare i suoi risultati in tre conferenze tenute il 21-23 giugno 1993 presso l’Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. In particolare, Wiles presentò la sua dimostrazione della congettura di Taniyama–Shimura per le curve ellittiche semistabili; insieme alla dimostrazione di Ribet della congettura di epsilon, questo implicava l’ultimo Teorema di Fermat. Tuttavia, è emerso durante la revisione tra pari che un punto critico nella prova non era corretto. Conteneva un errore in un limite sull’ordine di un particolare gruppo. L’errore è stato catturato da diversi matematici arbitraggio Wiles manoscritto tra cui Katz (nel suo ruolo di revisore), che ha avvisato Wiles il 23 agosto 1993.

L’errore non avrebbe reso il suo lavoro inutile – ogni parte del lavoro di Wiles era altamente significativo e innovativo di per sé, come lo erano i molti sviluppi e le tecniche che aveva creato nel corso del suo lavoro, e solo una parte è stata influenzata.:289, 296-297 Tuttavia senza questa parte dimostrata, non vi era alcuna prova effettiva dell’ultimo Teorema di Fermat. Wiles ha trascorso quasi un anno cercando di riparare la sua prova, inizialmente da solo e poi in collaborazione con il suo ex studente Richard Taylor, senza successo. Alla fine del 1993, si era diffusa la voce che sotto esame, la prova di Wiles aveva fallito, ma quanto seriamente non era noto. Matematici sono stati cominciando a pressione Wiles di rivelare il suo lavoro se è stato completo o no, in modo che la comunità più ampia potrebbe esplorare e utilizzare tutto ciò che era riuscito a realizzare. Ma invece di essere risolto, il problema, che in origine sembrava minore, ora sembrava molto significativo, molto più serio e meno facile da risolvere.

Wiles afferma che la mattina del 19 settembre 1994, era sul punto di rinunciare ed era quasi rassegnato ad accettare che aveva fallito, e di pubblicare il suo lavoro in modo che altri potessero costruire su di esso e correggere l’errore. Egli aggiunge che stava avendo uno sguardo finale per cercare di capire le ragioni fondamentali per cui il suo approccio non poteva essere fatto funzionare, quando ha avuto una visione improvvisa – che la ragione specifica per cui l’approccio Kolyvagin–Flach non avrebbe funzionato direttamente significava anche che i suoi tentativi originali utilizzando la teoria di Iwasawa potevano essere fatti funzionare, se lo rafforzava usando la sua esperienza acquisita dall’approccio Kolyvagin–Flach. Fissare un approccio con gli strumenti dell’altro approccio risolverebbe il problema per tutti i casi che non erano già stati dimostrati dal suo documento refereed. Egli ha descritto più tardi che la teoria Iwasawa e l’approccio Kolyvagin–Flach erano ciascuno inadeguata per conto proprio, ma insieme potrebbero essere resi abbastanza potente per superare questo ostacolo finale.

“Ero seduto alla mia scrivania esaminando il metodo Kolyvagin–Flach. Non era che credevo di poterlo fare funzionare, ma pensavo che almeno avrei potuto spiegare perché non ha funzionato. Improvvisamente ho avuto questa incredibile rivelazione. Mi sono reso conto che il metodo Kolyvagin–Flach non funzionava, ma era tutto ciò di cui avevo bisogno per far funzionare la mia teoria originale di Iwasawa di tre anni prima. Così dalle ceneri di Kolyvagin–Flach sembrava sorgere la vera risposta al problema. Era così indescrivibilmente bello; era così semplice ed elegante. Non riuscivo a capire come avevo perso e ho appena guardato incredulo per venti minuti. Poi durante il giorno ho camminato intorno al dipartimento, e continuavo a tornare alla mia scrivania cercando di vedere se era ancora lì. Era ancora lì. Non riuscivo a contenermi, ero così eccitato. È stato il momento più importante della mia vita lavorativa. Niente di cio ‘che faro’ mai piu ‘significhera’ tanto.”- Andrew Wiles, come citato da Simon Singh

Il 24 ottobre 1994, Wiles ha presentato due manoscritti, “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem” e “Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”, il secondo dei quali è stato co-autore con Taylor e ha dimostrato che sono state soddisfatte alcune condizioni necessarie per giustificare il passo corretto nel documento principale. I due documenti sono stati controllati e pubblicati come la totalità del maggio 1995 numero degli Annali di matematica. Questi documenti hanno stabilito il teorema di modularità per le curve ellittiche semistabili, l’ultimo passo nella dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, 358 anni dopo che è stato congetturato.

Successivi developmentsEdit

completo di Taniyama–Shimura–Weil congettura è stato infine dimostrato da Diamond (1996) harvtxt errore: bersagli multipli (2×): CITEREFDiamond1996 (aiuto), Conrad, Diamante & Taylor (1999) harvtxt errore: bersagli multipli (2×): CITEREFConradDiamondTaylor1999 (aiuto), e Breuil et al. (2001) errore harvtxt: obiettivi multipli (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (help) che, basandosi sul lavoro di Wiles, ha scheggiato in modo incrementale i casi rimanenti fino a quando non è stato dimostrato il risultato completo. La congettura ora pienamente dimostrata divenne nota come teorema di modularità.

Molti altri teoremi della teoria dei numeri simili all’ultimo Teorema di Fermat derivano dallo stesso ragionamento, usando il teorema di modularità. Ad esempio: nessun cubo può essere scritto come somma di due potenze coprime n-esime, n ≥ 3. (Il caso n = 3 era già noto da Eulero.)