Pythagoras og DiophantusEdit

Pythagoras triplesEdit

i antikken var det kjent at en trekant hvis sider var i forholdet 3:4: 5 ville ha en rett vinkel som en av sine vinkler. Dette ble brukt i konstruksjon og senere i tidlig geometri. Det var også kjent for å være et eksempel på en generell regel at enhver trekant hvor lengden av to sider, hver kvadrert og deretter lagt sammen (32 + 42 = 9 + 16 = 25), lik kvadratet av lengden på den tredje siden (52 = 25), vil også være en rettvinklet trekant.Dette er nå kjent Som Pythagoras ‘ læresetning, og en trippel av tall som oppfyller denne tilstanden kalles En Pythagoras trippel-begge er oppkalt etter de gamle greske Pythagoras. Eksempler er (3, 4, 5) og (5, 12, 13). Det er uendelig mange slike trippler, og metoder for å generere slike trippler har blitt studert i mange kulturer, som begynner Med Babylonerne og senere gamle greske, Kinesiske og Indiske matematikere. Matematisk er definisjonen Av En Pythagoransk trippel et sett med tre heltall (a, b, c) som tilfredsstiller ligningen a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2} = c^{2}.}

Diofantinligningerrediger

Hovedartikkel: Fermats ligning, xn + yn = zn med positive heltallsløsninger, er et eksempel På En diofantisk ligning, oppkalt etter den Alexandriske matematikeren Diophantus Fra Det 3. århundre, som studerte dem og utviklet metoder for løsning av noen typer Diofantiske ligninger. Et typisk diofantinproblem er å finne to heltall x og y slik at deres sum, og summen av deres kvadrater, er lik to gitte tall a og b, henholdsvis: A = x + y {\displaystyle a=x + y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B = x^{2} + y^{2}.}

Diophantus viktigste arbeid Er Arithmetica, hvorav bare en del har overlevd. Fermats formodning om Hans Siste Teorem ble inspirert mens han leste En ny utgave Av Arithmetica, som ble oversatt til Latin og publisert I 1621 av Claude Bachet.

Diophantine ligninger har blitt studert i tusenvis av år. For eksempel er løsningene til den kvadratiske Diofantinske ligningen x2 + y2 = z2 gitt av De Pythagoranske triplene, opprinnelig løst Av Babylonerne (c. 1800 F. KR.). Løsninger på lineære Diofantinske ligninger, som 26x + 65y = 13, kan bli funnet ved Hjelp Av Euklidsk algoritme (c. 5th århundre F. KR.).Mange Diofantinske ligninger har en form som ligner på Fermats siste Teorem fra algebraens synspunkt, fordi de ikke har kryssbetingelser som blander to bokstaver uten å dele sine spesielle egenskaper. For eksempel er det kjent at det er uendelig mange positive heltall x, y og z slik at xn + yn = zm hvor n og m er relativt primære naturlige tall.

Fermats formodningrediger

Problem II.8 i 1621-utgaven Av Arithmetica av Diophantus. Til høyre er marginen som var for liten til å inneholde Fermats påståtte bevis på hans «siste teorem».Problem II. 8 Av Arithmetica spør hvordan et gitt kvadrattall er delt inn i to andre firkanter; med andre ord, for et gitt rasjonelt tall k, finn rasjonale tall u og v slik at k2 = u2 + v2. Diophantus viser hvordan man løser dette I ‘ m-of-squares-problemet for k = 4(løsningene er u = 16/5 og v = 12/5).

Rundt 1637, designet for å tillate skrev hans Siste Teorem i margen av hans kopi Av Aritmetikken ved Siden Av Diophantus ‘ jeg er-av-firkanter problem:

Cube i to cubos, eller quadratoquadratum i To quadratoquadratos&Generelt Bærekraftig i uendelig utover kvadratisk kraft av to med samme navn høyre er å dele problemet demonstrasjon fantastisk detexi. Hanc marginis exiguitas ikke caperet.

det er umulig å skille en kube i to terninger, eller en fjerde kraft i to fjerde krefter, eller generelt, noen kraft høyere enn den andre, i to like krefter. Jeg har oppdaget et virkelig fantastisk bevis på dette, som denne marginen er for smal til å inneholde.

etter Fermats død i 1665 produserte hans sønn Clé-Samuel Fermat en ny utgave av boken (1670) forsterket med farens kommentarer. Selv om det ikke egentlig var et teorem på den tiden (som betyr en matematisk setning for hvilken bevis eksisterer), ble marginnotatet kjent over tid som Fermats Siste Teorem, da Det var den siste Av Fermats påståtte teoremer som forblir ubevist.Det er ikke kjent om Fermat faktisk hadde funnet et gyldig bevis for alle eksponenter n, men det virker usannsynlig. Bare ett relatert bevis av ham har overlevd, nemlig for saken n = 4, som beskrevet i avsnittet Bevis for bestemte eksponenter.Mens Fermat stilte kasusene n = 4 og n = 3 som utfordringer for sine matematiske korrespondenter, Som Marin Mersenne, Blaise Pascal og John Wallis, stilte Han aldri den generelle kasus. Videre skrev Fermat i de siste tretti årene av sitt liv aldri igjen om sitt «virkelig fantastiske bevis» av den generelle saken, og publiserte den aldri. Van Der Poorten antyder at mens fraværet av et bevis er ubetydelig, mangel på utfordringer betyr Fermat innså at Han ikke har et bevis; han siterer Weil som sier Fermat må ha kort villedet seg med en ugjenkallelig ide.

teknikkene Fermat kan ha brukt i et slikt «fantastisk bevis» er ukjente.Taylor Og Wiles bevis er avhengig av teknikker fra det 20. århundre. Fermats bevis måtte ha vært elementært ved sammenligning, gitt den matematiske kunnskapen om sin tid.Mens Harvey Friedmans store formodning antyder at ethvert bevisbart teorem (inkludert Fermats siste teorem) kan bevises ved hjelp av bare elementær funksjon aritmetikk, trenger et slikt bevis bare å være elementært bare i teknisk forstand og kan involvere millioner av trinn, og dermed være altfor lenge til Å ha Vært Fermats bevis.

Bevis for spesifikke eksponenterrediger

Hovedartikkel: Bevis For Fermats Siste Teorem for spesifikke eksponenter

Fermats uendelige nedstigning for Fermats Siste Teorem sak n=4 i 1670-utgaven av arithmetica of diophantus (s.338-339).

Exponent = 4Edit

Bare ett relevant bevis Ved Fermat har overlevd, hvor Han bruker teknikken med uendelig nedstigning for å vise at området av en rettvinklet trekant med heltallssider aldri kan være lik kvadratet av et heltall. Hans bevis er ekvivalent med å demonstrere at ligningen

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4} – y^{4} = z^{2}}

har ingen primitive løsninger i heltall (ingen parvise koprime løsninger). I sin tur viser Dette Fermats Siste Teorem for saken n = 4, siden ligningen a4 + b4 = c4 kan skrives som c4-b4 = (a2) 2.

Alternative bevis på saken n = 4 ble utviklet senere Av Fré de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), dené pé (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlí (1910), Nutzhorn (1912), robert Carmichael (1913), hancock (1931), Gheorghe Vră (1966), Grant Og Perella (1999), Barbara (2007) Og Dolan (2011).

Andre eksponenterrediger

Etter At Fermat beviste det spesielle tilfellet n = 4, krevde det generelle beviset for alle n bare at teoremet ble etablert for alle odde primeksponenter. Med andre ord var det nødvendig å bevise at ligningen an + bn = cn ikke har noen positive heltallsløsninger (a, b, c) når n er et merkelig primtall. Dette følger fordi en løsning (a, b, c) for en gitt n er ekvivalent med en løsning for alle faktorene til n. for illustrasjon, la n bli fakturert i d og e, n = de. Den generelle ligningen

an + bn = cn

innebærer at (ad, bd, cd) er en løsning for eksponenten e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

for å bevise At Fermats ligning ikke har noen løsninger for n > 2, ville det være nok å bevise at Det ikke har noen løsninger for minst en primærfaktor av hvert n. Hvert heltall n > 2 er delelig med 4 eller med et oddetall (eller begge). Derfor Kan Fermats Siste Teorem bevises for alle n hvis det kan bevises for n = 4 og for alle odde primtall p.I de to århundrene etter sin formodning (1637-1839) ble Fermats Siste Teorem bevist for tre odde primeksponenter p = 3, 5 og 7. Saken p = 3 ble først oppgitt Av Abu-Mahmud Khojandi (10. århundre), men hans forsøk på bevis på teoremet var feil. I 1770 ga Leonhard Euler et bevis på p = 3, men hans bevis ved uendelig nedstigning inneholdt et stort gap. Men Siden Euler selv hadde bevist at lemma var nødvendig for å fullføre beviset i annet arbeid, er Han generelt kreditert med det første beviset. Uavhengige bevis ble publisert Av Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Gü (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlí (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), johannes van der corput (1915), Axel Thue (1917) Og Duarte (1944).

saken p = 5 ble bevist uavhengig av Legendre og Peter Gustav Lejeune Dirichlet rundt 1825. Alternative bevis ble utviklet Av Carl Friedrich Gauss (1875, posthum), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlí (1910), van Der Corput (1915) og Guy Terjanian (1987).

saken p = 7 ble bevist Av Lamé i 1839. Hans ganske kompliserte bevis ble forenklet i 1840 Av Tsjebysjov, og enda enklere bevis ble utgitt Av Angelo Genocchi i 1864, 1874 og 1876. Alternative bevis ble utviklet Avé Pé (1876) Og Edmond Maillet (1897).Fermats Siste Teorem ble også bevist for eksponentene n = 6, 10 og 14. Bevis for n = 6 ble utgitt Av Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift og Breusch. Tilsvarende Viste Dirichlet og Terjanian hvert tilfelle n = 14, Mens Kapferer og Breusch hver viste tilfellet n = 10. Strengt tatt er disse bevisene unødvendige, siden disse tilfellene følger av bevisene for henholdsvis n = 3, 5 og 7. Likevel, begrunnelsen for disse even-eksponent bevis skiller seg fra sine odd-eksponent kolleger. Dirichlets bevis for n = 14 ble publisert i 1832, før Lamé 1839 bevis for n = 7.Alle bevis for spesifikke eksponenter brukte Fermats teknikk for uendelig nedstigning, enten i sin opprinnelige form, eller i form av nedstigning på elliptiske kurver eller abelske varianter. Detaljene og hjelpeargumentene var imidlertid ofte ad hoc og knyttet til den enkelte eksponent som ble vurdert. Siden De ble stadig mer kompliserte etter hvert som p økte, virket det usannsynlig at Det generelle tilfellet Av Fermats Siste Teorem kunne bevises ved å bygge på bevisene for individuelle eksponenter. Selv om noen generelle resultater På Fermats Siste Teorem ble publisert tidlig i det 19. århundre Av Niels Henrik Abel Og Peter Barlow, Ble Det første betydelige arbeidet Med den generelle teoremet gjort Av Sophie Germain.

tidlig moderne gjennombrudd

Sophie GermainEdit

I begynnelsen av det 19.århundre utviklet Sophie Germain flere nye tilnærminger for å bevise Fermats Siste Teorem for alle eksponenter. Først definerte hun et sett med hjelpeprimmer θ {\displaystyle \theta }

konstruert fra primeksponenten p {\displaystyle p}

ved ligningen θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, hvor h {\displaystyle h}

er et heltall som ikke er delbart med tre. Hun viste at hvis ingen heltall hevet til p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

kraft var tilstøtende modulo θ {\displaystyle \theta }

(ikke-konsekutivitetsbetingelsen), må da θ {\displaystyle \theta }

dele produktet x y z {\displaystyle xyz}

. Hennes mål var å bruke matematisk induksjon for å bevise at, for enhver gitt p {\displaystyle p}

uendelig mange hjelpeprimmer θ {\displaystyle \theta}

tilfredsstilte ikke-konsekutivitetstilstanden og dermed delt x y z {\displaystyle xyz}

; siden produktet x y z {\displaystyle xyz}

et slikt bevis ville ha etablert fermats siste teorem. Selv om hun utviklet mange teknikker for å etablere non-consecutivity tilstanden, lyktes hun ikke i sitt strategiske mål. Hun jobbet også med å sette lavere grenser for størrelsen på løsninger På Fermats ligning for en gitt eksponent p {\displaystyle p}

, en modifisert versjon som ble utgitt Av Adrien-Marie Legendre. Som et biprodukt av Dette siste arbeidet beviste Hun Sophie Germains teorem, som bekreftet Det første tilfellet Av Fermats Siste Teorem (nemlig tilfellet der p {\displaystyle p}

ikke deler x y z {\displaystyle xyz}

) for hver oddetall eksponent mindre enn 270 {\displaystyle 270}

, og for alle primtall p {\displaystyle p}

slik at minst en av 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

og 16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

er primtall (spesielt primtallene p {\displaystyle p}

slik at 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

Er primtall kalles Sophie Germain primtall). Germain forsøkte uten hell å bevise Det første tilfellet Av Fermats Siste Teorem for alle like eksponenter , spesielt for n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, som Ble bevist Av Guy Terjanian i 1977. I 1985 beviste Leonard Adleman, Roger Heath-Brown og É Fouvry at Det første tilfellet av Fermats Siste Teorem holder for uendelig mange ulike primtall p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer and the theory of idealsEdit

I 1847 skisserte Gabriel Lamé Et bevis på Fermats Siste Teorem basert på faktorisering av ligningen xp + yp = zp i komplekse tall, spesielt det syklotomiske feltet basert på røttene til tallet 1. Hans bevis mislyktes imidlertid fordi det antok feil at slike komplekse tall kan faktureres unikt i primtall, lik heltall. Dette gapet ble påpekt umiddelbart Av Joseph Liouville, som senere leste et papir som viste denne feilen i unik faktorisering, skrevet av Ernst Kummer.Kummer satte seg selv i oppgave å avgjøre om det syklotomiske feltet kunne generaliseres for å inkludere nye primtall slik at unik faktorisering ble gjenopprettet. Han lyktes i den oppgaven ved å utvikle de ideelle tallene.Det er ofte sagt At Kummer ble ledet til Hans» ideelle komplekse tall » av hans interesse For Fermats Siste Teorem; det er til og Med en historie ofte fortalt at Kummer, som Lamé, trodde han hadde bevist Fermats Siste Teorem til Lejeune Dirichlet fortalte ham at hans argument stod på unik faktorisering; Men historien ble først fortalt Av Kurt Hensel i 1910, og bevisene indikerer at det sannsynligvis kommer fra en forvirring av En Av Hensels kilder. Harold Edwards sier at troen på At Kummer hovedsakelig var interessert I Fermats Siste Teorem «er sikkert feil». Se historien om ideelle tall.)

Ved Å bruke Den generelle tilnærmingen som Er skissert Av Lamé, viste Kummer begge tilfeller Av Fermats Siste Teorem for alle vanlige primtall. Imidlertid kunne han ikke bevise teoremet for de eksepsjonelle primene (uregelmessige primene) som formodentlig forekommer omtrent 39% av tiden; de eneste uregelmessige primtallene under 270 er 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 og 263.

Mordell formodningrediger

På 1920-tallet fremsatte Louis Mordell en formodning som antydet At Fermats ligning høyst har et begrenset antall primitive heltallsløsninger, hvis eksponenten n er større enn to. Denne formodningen ble bevist I 1983 Av Gerd Faltings, og er nå kjent Som Faltings teorem.

Beregningsstudier [Rediger / rediger kilde] i siste halvdel av det 20.århundre ble beregningsmetoder brukt for å utvide kummers tilnærming til de irregulære primtallene. I 1954 brukte Harry Vandiver EN SWAC-datamaskin for å bevise Fermats Siste Teorem for alle primtall opp til 2521. I 1978 hadde Samuel Wagstaff utvidet dette til alle primtall mindre enn 125 000. I 1993 hadde Fermats Siste Teorem blitt bevist for alle primtall mindre enn fire millioner.til tross for disse anstrengelsene og deres resultater eksisterte det imidlertid ingen bevis for Fermats Siste Teorem. Bevis på individuelle eksponenter av deres natur kunne aldri bevise det generelle tilfellet: selv om alle eksponenter ble verifisert opp til et ekstremt stort tall X, kan en høyere eksponent utover X fortsatt eksistere som kravet ikke var sant. (Dette hadde vært tilfelle med noen andre tidligere formodninger, og det kunne ikke utelukkes i denne formodningen.)

Forbindelse med elliptiske kurveredit

strategien som til slutt førte til et vellykket bevis På Fermats Siste Teorem, oppsto fra den «forbløffende»:211 Taniyama–Shimura–Weil-formodningen, foreslått rundt 1955-som mange matematikere trodde ville være nær umulig å bevise:223 og ble koblet på 1980-tallet Av Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre og Ken Ribet Til Fermats ligning. Ved å oppnå et delvis bevis på denne formodningen i 1994 lyktes Andrew Wiles til slutt å bevise Fermats Siste Teorem, samt lede veien til et fullt bevis av andre av det som nå er kjent som modularitetsteoremet.

Taniyama–Shimura–Weil conjectureEdit

Rundt 1955 observerte Japanske matematikere Goro Shimura og Yutaka Taniyama en mulig sammenheng mellom to tilsynelatende helt forskjellige grener av matematikk, elliptiske kurver og modulære former. Den resulterende modularitetsteoremet (På den tiden Kjent Som Taniyama–Shimura-formodningen) sier at hver elliptisk kurve er modulær, noe som betyr at den kan knyttes til en unik modulær form.koblingen ble i utgangspunktet avvist som usannsynlig eller svært spekulativ, men ble tatt mer alvorlig da tallteoretiker André Weil fant bevis som støtter Det, men ikke beviser Det; som et resultat ble formodningen ofte kjent som Taniyama–Shimura–Weil formodning.:211-215

selv etter å ha fått seriøs oppmerksomhet, ble formodningen sett av moderne matematikere som ekstraordinært vanskelig eller kanskje utilgjengelig for bevis.:203-205, 223, 226 For Eksempel Sier Wiles doktorgradsveileder John Coates at Det virket «umulig å faktisk bevise»,: 226 Og Ken Ribet betraktet seg som «en av de aller fleste mennesker som trodde var helt utilgjengelige», og la til at » Andrew Wiles var sannsynligvis en av de få menneskene på jorden som hadde dristighet til å drømme at du faktisk kan gå og bevise .»:223

Ribets teorem For Frey curvesEdit

I 1984 noterte Gerhard Frey en kobling mellom Fermats ligning og modularitetsteoremet, da fortsatt en formodning. Hvis Fermats ligning hadde noen løsning (a, b, c) for eksponent p > 2, så kan det bli vist at den halvstabile elliptiske kurven (nå kjent Som En Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x-ap)(x + bp)

ville ha slike uvanlige egenskaper at det ikke var sannsynlig å være modulær. Dette ville være i konflikt med modularitetsteoremet, som hevdet at alle elliptiske kurver er modulære. Som sådan observerte Frey at et bevis På Taniyama-Shimura-Weil-formodningen også samtidig kunne bevise Fermats Siste Teorem. Ved kontraposisjon ville en motbevise Eller motbevise Fermats Siste Teorem motbevise Taniyama-Shimura-Weil-formodningen.På vanlig engelsk hadde Frey vist At hvis denne intuisjonen om hans ligning var riktig, så kunne et sett med 4 tall (a, b, c, n) som var i stand til å motbevise Fermats Siste Teorem, også brukes til Å motbevise Taniyama–Shimura–Weil-formodningen. Derfor, hvis sistnevnte var sant, kunne den førstnevnte ikke bli motbevist, og måtte også være sant.

Etter denne strategien krevde Et bevis på Fermats Siste Teorem to trinn. Først var det nødvendig å bevise modularitetsteoremet-eller i det minste å bevise det for de typer elliptiske kurver Som inkluderte Freys ligning (kjent som semistable elliptiske kurver). Dette var allment antatt utilgjengelig for bevis av moderne matematikere.:203-205, 223, 226 For Det Andre var Det nødvendig å vise At Freys intuisjon var riktig: at hvis en elliptisk kurve ble konstruert på denne måten, ved hjelp av et sett med tall som var en løsning av Fermats ligning, kunne den resulterende elliptiske kurven ikke være modulær. Frey viste at dette var plausibelt, men gikk ikke så langt som å gi et fullt bevis. Det manglende stykket (den såkalte «epsilon-formodningen», nå Kjent som Ribets teorem) ble identifisert Av Jean-Pierre Serre som også ga et nesten fullstendig bevis, Og lenken foreslått Av Frey ble endelig bevist I 1986 av Ken Ribet.

Etter Frey, Serre og Ribets arbeid var dette hvor saker stod:

• Fermats Siste Teorem måtte bevises for alle eksponenter n som var primtall.
• modularitetsteoremet – hvis det er bevist for halvstabile elliptiske kurver – ville bety at alle semistable elliptiske kurver må være modulære.Ribets teorem viste at enhver løsning på Fermats ligning for et primtall kunne brukes til å lage en semistabil elliptisk kurve som ikke kunne være modulær; Den eneste måten at begge disse setningene kunne være sanne, var hvis Ingen løsninger eksisterte Til Fermats ligning (fordi da kunne ingen slik kurve opprettes), som Var Hva Fermats Siste Teorem sa. Som Ribets Teorem allerede var bevist, betydde dette at et bevis på Modularitetsteoremet automatisk ville bevise At Fermats Siste teorem også var sant.

Wiles ‘ s general proofEdit

Britisk matematiker Andrew Wiles.Andrew Wiles Og Wiles ‘ bevis på Fermats Siste Teorem

Ribets bevis på epsilon-formodningen i 1986 oppnådde Det første av De to målene frey foreslo. Etter Å ha hørt Om Ribets suksess, Andrew Wiles, en engelsk matematiker med en barndoms fascinasjon med Fermats Siste Teorem, og som hadde jobbet med elliptiske kurver, bestemte seg for å forplikte seg til å oppnå andre halvdel: bevise et spesielt tilfelle av modularity theorem (da kjent Som Taniyama-Shimura formodning) for semistable elliptiske kurver.Wiles jobbet med denne oppgaven i seks år i nesten total hemmelighet, og dekket opp sin innsats ved å frigjøre tidligere arbeid i små segmenter som separate papirer og bare betro seg til sin kone.:229-230 hans første studie foreslo bevis ved induksjon: 230-232, 249-252 og han baserte sitt første arbeid og første betydelige gjennombrudd På Galois-teorien:251-253, 259 før han byttet til et forsøk på å utvide horisontal Iwasawa-teori for det induktive argumentet rundt 1990-91 da det syntes at det ikke var noen eksisterende tilnærming tilstrekkelig til problemet.:258-259 Men i midten av 1991 syntes Iwasawa-teorien ikke å nå de sentrale problemene i problemet.:259-260 som svar nærmet han kolleger for å oppsøke noen hint av banebrytende forskning og nye teknikker, og oppdaget Et Euler-system som Nylig ble utviklet av Victor Kolyvagin og Matthias Flach som virket «skreddersydd» for den induktive delen av hans bevis.: 260-261 Wiles studerte og utvidet denne tilnærmingen, som fungerte. Siden hans arbeid støttet seg mye på denne tilnærmingen, som var nytt for matematikk og Til Wiles, i januar 1993 spurte Han Sin Princeton kollega, Nick Katz, for å hjelpe ham med å sjekke hans resonnement for subtile feil. Deres konklusjon på den tiden var at teknikkene Wiles brukt syntes å fungere riktig.:261-265

Ved midten Av Mai 1993 Følte Wiles seg i stand til å fortelle sin kone at Han trodde han hadde løst beviset På Fermats Siste Teorem:265 og i juni følte Han seg tilstrekkelig trygg til å presentere sine resultater i tre forelesninger levert 21. -23. juni 1993 Ved Isaac Newton Institute For Mathematical Sciences. Spesielt Presenterte Wiles sitt bevis På Taniyama-Shimura-formodningen for semistable elliptiske kurver; sammen Med Ribets bevis på epsilon-formodningen, antydet Dette Fermats Siste Teorem. Det ble imidlertid klart under peer review at et kritisk punkt i beviset var feil. Den inneholdt en feil i en bundet pa rekkefolgen til en bestemt gruppe. Feilen ble fanget av Flere matematikere dommer Wiles manuskript inkludert Katz (i sin rolle som anmelder), som varslet Wiles 23. August 1993.feilen ville ikke ha gjort hans arbeid verdiløs – Hver del Av Wiles arbeid var svært betydelig og nyskapende i seg selv, som var de mange utviklingene og teknikkene han hadde skapt i løpet av sitt arbeid, og bare en del ble påvirket.:289, 296-297 men uten denne delen viste seg, var Det ikke noe bevis på Fermats Siste Teorem. Wiles brukte nesten et år på å prøve å reparere sitt bevis, først av seg selv og deretter i samarbeid med Sin tidligere student Richard Taylor, uten å lykkes. Ved utgangen av 1993 hadde rykter spredt seg om At Wiles ‘ bevis hadde mislyktes, men hvor alvorlig var ikke kjent. Matematikere begynte å presse Wiles å avsløre sitt arbeid om det var komplett eller ikke, slik at samfunnet kunne utforske og bruke hva han hadde klart å oppnå. Men i stedet for å bli løst, virket problemet, som opprinnelig virket mindre, nå veldig betydelig, langt mer alvorlig og mindre lett å løse.Wiles hevder at om morgenen den 19.September 1994 var Han i ferd med å gi opp, og var nesten resignert til å akseptere at han hadde mislyktes, og til å publisere sitt arbeid slik at andre kunne bygge videre på det og fikse feilen. Han legger til at Han hadde et siste blikk for å prøve å forstå de grunnleggende årsakene til at hans tilnærming ikke kunne gjøres til arbeid, da han hadde en plutselig innsikt – at den spesifikke grunnen Til At Kolyvagin-Flach-tilnærmingen ikke ville fungere direkte, betydde også at hans opprinnelige forsøk på Å bruke Iwasawa-teorien kunne gjøres til arbeid, hvis han styrket den ved hjelp av sin erfaring fra Kolyvagin-Flach-tilnærmingen. Å fikse en tilnærming med verktøy fra den andre tilnærmingen ville løse problemet for alle sakene som ikke allerede var bevist av hans refereed paper. Han beskrev Senere At Iwasawa-teorien og Kolyvagin–Flach-tilnærmingen var hver utilstrekkelig alene, men sammen kunne de gjøres kraftige nok til å overvinne denne siste hindringen.

» jeg satt ved pulten min og undersøkte Kolyvagin-Flach-metoden. Det var ikke det at jeg trodde jeg kunne få det til å fungere, men jeg trodde i det minste at jeg kunne forklare hvorfor det ikke fungerte. Plutselig fikk jeg denne utrolige avsløringen. Jeg innså At Kolyvagin-Flach-metoden ikke virket, men det var alt jeg trengte for å lage min opprinnelige Iwasawa-teori fra tre år tidligere. Så Ut Av asken Av Kolyvagin-Flach syntes å stige det sanne svaret på problemet. Det var så ubeskrivelig vakkert; det var så enkelt og så elegant. Jeg kunne ikke forstå hvordan jeg hadde savnet det, og jeg bare stirret på det i vantro i tjue minutter. Så i løpet av dagen gikk jeg rundt avdelingen, og jeg ville fortsette å komme tilbake til skrivebordet mitt for å se om det fortsatt var der. Det var fortsatt der. Jeg kunne ikke holde meg selv, jeg var så spent. Det var det viktigste øyeblikket i mitt arbeidsliv. Ingenting jeg noen gang gjør igjen vil bety så mye.Andrew Wiles, som Sitert Av Simon Singh Den 24. oktober 1994, sendte Wiles inn to manuskripter, «Modular elliptic curves and Fermat’ S Last Theorem » og «Ring theoretic properties of certain hecke algebraer», hvorav den andre var medforfatter Med Taylor og beviste at visse betingelser var oppfylt som var nødvendige for å rettferdiggjøre det korrigerte trinnet i hovedpapiret. De to papirene ble vetted og publisert som helheten Av mai 1995 utgaven Av Annals Of Mathematics. Disse papirene etablerte modularitetsteoremet for semistable elliptiske kurver, det siste trinnet i å bevise Fermats Siste Teorem, 358 år etter at Det ble antatt.

Påfølgende utviklingrediger

Den fulle Taniyama–Shimura–Weil-formodningen ble endelig bevist Av Diamond (1996) harvtxt-feil: flere mål (2×): CITEREFDiamond1996 (hjelp), Conrad, Diamond& Taylor (1999) harvtxt-feil: flere mål (2×): citerefconraddiamondtaylor1999 (hjelp), og breuil Et Al. (2001) harvtxt feil: flere mål (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (help) som bygger På Wiles arbeid, gradvis chipped bort på de resterende sakene til hele resultatet ble bevist. Den nå fullt beviste formodningen ble kjent som modularitetsteoremet.Flere andre teoremer i tallteori som Ligner På Fermats Siste Teorem følger også fra samme resonnement, ved hjelp av modularitetsteoremet. For eksempel: ingen kube kan skrives som en sum av to coprime n-th krefter, n ≥ 3. (Saken n = 3 var allerede kjent Av Euler.)