Articles

Fysikk

by admin

vi vet fra kinematikk at akselerasjon er en endring i hastighet, enten i sin størrelse eller i retning, eller begge deler. I jevn sirkelbevegelse endres hastighetsretningen konstant, så det er alltid en tilhørende akselerasjon, selv om størrelsen på hastigheten kan være konstant. Du opplever denne akselerasjonen selv når du slår et hjørne i bilen. (Hvis du holder hjulet stødig under en sving og beveger deg med konstant fart, er du i jevn sirkelbevegelse.) Det du legger merke til er en sidelengs akselerasjon fordi du og bilen endrer retning. Jo skarpere kurven og jo større hastigheten din er, desto mer merkbar blir denne akselerasjonen. I denne delen undersøker vi retningen og størrelsen på den akselerasjonen.Figur 1 viser et objekt som beveger seg i en sirkulær bane med konstant hastighet. Retningen av den øyeblikkelige hastigheten vises på to punkter langs banen. Accelerasjon er i retning av endringen i hastighet, som peker direkte mot rotasjonssenteret (midten av den sirkulære banen). Denne pekingen er vist med vektordiagrammet i figuren. Vi kaller akselerasjonen av et objekt som beveger seg i uniform sirkulær bevegelse (som følge av en netto ekstern kraft) centripetal akselerasjon(ac); centripetal betyr «mot sentrum» eller «senter søker.»

den oppgitte figuren viser en sirkel, med en trekant som har hjørner En B C laget fra midten til grensen. A er i sentrum og b og C poeng er på sirkelbanen. Linjer A B og A c fungerer som radier og B C er en akkord. Delta theta er vist inne i trekanten, og buelengden delta s og akkordlengden delta r er også gitt. Ved punkt B er objektets hastighet vist som v en og Ved Punkt C er objektets hastighet vist som v to. Langs sirkelen en ligning er vist som delta v er lik v sub 2 minus v sub 1.

Figur 1. Retningene for hastigheten til et objekt på to forskjellige punkter vises, og endringen i hastighet Δv ses å peke direkte mot krumningspunktet. (Se liten innsats.) Fordi Ac = Δ / Δ, er akselerasjonen også mot midten; ac kalles centripetal akselerasjon. (Fordi Δθ Er svært liten, er buelengden δ lik akkordlengden δ For små tidsforskjeller.)

retningen av sentripetal akselerasjon er mot sentrum av krumning, men hva er dens størrelse? Legg merke til at trekanten som dannes av hastighetsvektorene og den som dannes av radiene r og Δ, er lik. BEGGE trekantene ABC og PQR er likebente trekanter (to like sider). De to like sidene av hastighetsvektortrekanten er hastighetene v1 = v2 = v. Ved å Bruke egenskapene til to like trekanter får vi \frac {\Delta{v}}{v}=\frac {\Delta{S}}{r}\\.

Akselerasjon er \Frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, og så løser vi først dette uttrykket for Δ:

\ displaystyle \ Delta{v}=\frac{v}{R}\Delta{S}\\.

så deler vi dette med Δ, noe som gir

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

til slutt merker vi at \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ og at \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=v\\, den lineære eller tangentielle hastigheten, ser vi at størrelsen på centripetalakselerasjonen er

{a}_c=\frac{v^2}{r}\\,

som er akselerasjonen av et objekt i En sirkel Med Radius r ved en hastighet v. Så, centripetal akselerasjon er større ved høye hastigheter og i skarpe kurver (mindre radius), som du har lagt merke til når du kjører bil. Men det er litt overraskende at ac er proporsjonal med hastigheten kvadrert, noe som for eksempel betyr at det er fire ganger så vanskelig å ta en kurve ved 100 km / t enn ved 50 km / t. et skarpt hjørne har en liten radius, slik at ac er større for strammere svinger, som du sikkert har lagt merke til.

det er også nyttig å uttrykke ac når det gjelder vinkelhastighet. Ved å erstatte v = rw i uttrykket ovenfor finner vi a_c=\frac {\left (r\omega \ right)^2}{r}=r \ omega^2\\. Vi kan uttrykke størrelsen på centripetal akselerasjon ved hjelp av en av to ligninger:

\ displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r \ omega^2\\.

Husk at retningen av ac er mot midten. Du kan bruke hvilket uttrykk som er mer praktisk, som illustrert i eksemplene nedenfor.en sentrifuge (Se Figur 2b) er en roterende enhet som brukes til å skille prøver med forskjellige tettheter. Høy sentripetal akselerasjon reduserer signifikant tiden det tar for separasjon å skje, og gjør separasjon mulig med små prøver. Sentrifuger brukes i en rekke applikasjoner innen vitenskap og medisin, inkludert separasjon av enkeltcellesuspensjoner som bakterier, virus og blodceller fra et flytende medium og separasjon av makromolekyler, SOM DNA og protein, fra en løsning. Sentrifuger er ofte vurdert i forhold til deres sentripetal akselerasjon i forhold til akselerasjon på grunn av tyngdekraften (g); maksimal sentripetal akselerasjon på flere hundre tusen g er mulig i vakuum. Menneskelige sentrifuger, ekstremt store sentrifuger, har blitt brukt til å teste toleransen til astronauter til effekten av akselerasjoner større Enn Jordens tyngdekraft.

Eksempel 1. Hvordan Sammenligner Centripetal Akselerasjon Av En Bil Rundt En Kurve Med Det På Grunn av Tyngdekraften?

hva er størrelsen på centripetalakselerasjonen til en bil som følger en kurve med radius 500 m med en hastighet på 25,0 m / s (ca. 90 km/t)? Sammenlign akselerasjonen med det på grunn av tyngdekraften for denne ganske milde kurven tatt på motorveien. Se Figur 2a.

Strategi

fordi v og r er gitt, er det første uttrykket i \displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ det mest praktiske å bruke.

Løsning

Angi de gitte verdiene v = 25.0 m/s og r=500 m i det første uttrykket for ac gir

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left(25.0\text{ m/s}\right)^2}{500\text{ m}}=1,25\Tekst{ m/s}^2\\.

Diskusjon

for å sammenligne dette med akselerasjonen på grunn av tyngdekraften (g = 9,80 m / s2), tar vi forholdet \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25 \ tekst{ m / s}^2\høyre)} {\venstre (9.80 \ tekst{ m / s}^2 \ høyre)} = 0.128\\. Dermed ac=0,128 g og er merkbar spesielt hvis du ikke hadde på seg et sikkerhetsbelte.

i figur a kjører en bil vist fra toppen på en sirkulær vei rundt en sirkulær bane. Sentrum av parken er betegnet som sentrum av denne sirkelen og avstanden fra dette punktet til bilen er tatt som radius r. Den lineære hastigheten er vist i vinkelrett retning mot forsiden av bilen, vist som v sentripetalakselerasjonen er vist med en pil peket mot rotasjonssenteret. I figur b er en sentrifuge vist et objekt med masse m roterer i den med konstant hastighet. Objektet er i avstanden lik radiusen, r, av sentrifugen. Sentripetalakselerasjonen vises mot rotasjonssenteret, og hastigheten, v, vises vinkelrett på objektet i retning med urviseren.

Figur 2. (a) bilen som følger en sirkulær bane med konstant hastighet akselereres vinkelrett på hastigheten, som vist. Størrelsen på denne sentripetale akselerasjonen er funnet I Eksempel 1. (b) en partikkel av masse i en sentrifuge roterer ved konstant vinkelhastighet . Det må akselereres vinkelrett på hastigheten, eller det vil fortsette i en rett linje. Størrelsen på den nødvendige akselerasjonen er funnet i Eksempel 2.

Eksempel 2. Hvor Stor Er Centripetal Akselerasjonen i En Ultracentrifuge?

Beregn sentripetal akselerasjon av et punkt 7.50 cm fra aksen til en ultracentrifuge som spinner ved 7.5 × 104 omdr / min. Bestem forholdet mellom denne akselerasjonen og det på grunn av tyngdekraften. Se Figur 2b.

Strategi

begrepet rev/min står for omdreininger per minutt. Ved å konvertere dette til radianer per sekund, får vi vinkelhastighet ω. Fordi r er gitt, kan vi bruke det andre uttrykket i ligningen a_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r \ omega^2 \ \ for å beregne centripetal akselerasjonen.

Løsning

for å konvertere 7.50 × 104 omdr/min til radianer per sekund, bruker vi fakta at en revolusjon er 2π rad og ett minutt er 60.0 s. Dermed

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text{ rad}}{1 \ text{ rev}} \ times \ frac{1 \ text{ min}}{60.0 \ text{ s}} = 7854 \ text{ rad / s}\\ .

nå er centripetalakselerasjonen gitt av det andre uttrykket i

\ displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r \ omega^2 \ \ som ac = rw2.

Konvertering av 7,50 cm til meter og erstatning av kjente verdier gir ac = (0,0750 m) (7854 rad/s) 2 = 4.63 × 106 m / s2.

Merk at de unitless radianer kasseres for å få de riktige enhetene for sentripetal akselerasjon. Tar forholdet mellom ac til g gir

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63 \ times10^6}{9.80} = 4.72 \ times10^5\\.

Diskusjon

Dette siste resultatet betyr at sentripetalakselerasjonen er 472 000 ganger så sterk som g.Det er ikke rart at slike høye ω sentrifuger kalles ultracentrifuger. De ekstremt store akselerasjonene som er involvert, reduserer tiden som trengs for å forårsake sedimentering av blodceller eller andre materialer.selvfølgelig er det nødvendig med en netto ekstern kraft for å forårsake akselerasjon, akkurat Som Newton foreslo i sin andre lov om bevegelse. Så en netto ekstern kraft er nødvendig for å forårsake en sentripetal akselerasjon. I Sentripetalkraft vil vi vurdere kreftene som er involvert i sirkulær bevegelse.

Phet Utforskninger: Ladybug Motion 2D

Lær om posisjon, hastighet og akselerasjon vektorer. Flytt marihøne ved å sette posisjon, hastighet eller akselerasjon, og se hvordan vektorene endres. Velg lineær, sirkulær eller elliptisk bevegelse, og ta opp og spille av bevegelsen for å analysere atferden.

Ladybug Bevegelse 2d skjermbilde.

Klikk på bildet for å laste ned. Bruk Java til å kjøre simuleringen.

Seksjonssammendrag

  • Centripetal akselerasjon ac er akselerasjonen opplevd mens du er i jevn sirkelbevegelse. Den peker alltid mot rotasjonssenteret. Den er vinkelrett på den lineære hastigheten v og har størrelsen {a}_{\text{c}}=\frac{{v}^{2}}{r}; {a} _ {\text{c}}={\mathrm{r \ omega }} ^{2}\\.
  • enheten for sentripetal akselerasjon er m / s2.

Konseptuelle Spørsmål

  1. kan centripetal akselerasjon endre hastigheten på sirkelbevegelse? Forklare.

Problemer& Øvelser

  1. en tivoli tur spinner sine beboere inne i en flygende tallerken-formet beholder. Hvis den horisontale sirkulære banen rytterne følger har en radius på 8,00 m, hvor mange omdreininger per minutt vil rytterne bli utsatt for en sentripetal akselerasjon hvis størrelse er 1,50 ganger den på grunn av tyngdekraften?
  2. en løper som deltar i 200 m dash må løpe rundt enden av et spor som har en sirkelbue med en krumningsradius på 30 m. hvis han fullfører 200 m dash i 23,2 s og kjører med konstant fart gjennom hele løpet, hva er størrelsen på hans sentripetale akselerasjon når han kjører den buede delen av sporet?
  3. Tar en Alder Av Jorden til å være ca 4 × 109 år og antar sin orbitale radius på 1.5 × 1011 har ikke endret seg og er sirkulær, beregne omtrentlig total avstand Jorden har reist siden fødselen (i en referanseramme stasjonær med Hensyn Til Solen).propellen til et jagerfly fra Andre Verdenskrig er 2,30 m i diameter. (A) Hva er dens vinkelhastighet i radianer per sekund hvis den spinner ved 1200 o / min? (b) Hva er den lineære hastigheten til spissen ved denne vinkelhastigheten hvis flyet er stasjonært på asfalten? (c) Hva er sentripetal akselerasjon av propellspissen under disse forholdene? Beregn det i meter per sekund kvadrat og konvertere til multipler av g.
  4. en vanlig workshop grindstein har en radius på 7,50 cm og roterer ved 6500 o / min. (A) Beregn størrelsen på sentripetalakselerasjonen ved kanten i meter per sekund kvadrert og konverter den til multipler av g. (b) Hva er den lineære hastigheten til et punkt på kanten?
  5. Helikopterblader tåler enorme belastninger. I tillegg til å støtte vekten av et helikopter, blir de spunnet i raske hastigheter og opplever store sentripetale akselerasjoner, spesielt på spissen. (A) Beregn størrelsen på sentripetalakselerasjonen ved spissen av et 4,00 m langt helikopterblad som roterer ved 300 o / min. (B) Sammenlign den lineære hastigheten på spissen med lydens hastighet (tatt for å være 340 m / s).
  6. Olympiske skøytere kan spinne på ca 5 o / s. (a) hva er deres vinkelhastighet i radianer per sekund? (b) Hva er sentripetal akselerasjon av skaterens nese hvis den er 0,120 m fra rotasjonsaksen? (c) en eksepsjonell skater ved Navn Dick Button var i stand til å spinne mye raskere på 1950-tallet enn noen siden-på ca 9 rev / s. Hva var sentripetalakselerasjonen av nesespissen, forutsatt at den er på 0,120 m radius? (d) Kommentere størrelsene på akselerasjonene som er funnet. Det er kjent At Knappen brøt små blodkar under hans spinn.
  7. hvilken prosentandel av akselerasjonen På Jordens overflate er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften ved posisjonen til en satellitt som ligger 300 km over Jorden?Verifiser at den lineære hastigheten til en ultracentrifuge er omtrent 0,50 km / s, Og Jorden i sin bane er omtrent 30 km / s ved å beregne: (a) den lineære hastigheten til et punkt på en ultracentrifuge 0.100 m fra sentrum, roterer ved 50 000 o / min; (b) den lineære hastigheten Til Jorden i sin bane rundt Solen (bruk data fra teksten på radiusen Til Jordens bane og tilnærmet den som sirkulær).en roterende romstasjon sies å skape «kunstig tyngdekraft» -et løst definert begrep som brukes for en akselerasjon som ville være grovt lik tyngdekraften. Ytre veggen til den roterende romstasjonen ville bli et gulv for astronautene, og sentripetal akselerasjon levert av gulvet ville tillate astronauter å trene og opprettholde muskel-og beinstyrke mer naturlig enn i ikke-roterende rommiljøer. Hvis romstasjonen er 200 m i diameter, hvilken vinkelhastighet vil produsere en» kunstig tyngdekraft » på 9, 80 m/s2 ved felgen?
  8. ved start har et kommersielt jetfly en hastighet på 60,0 m/s. Dekkene har en diameter på 0,850 m. (a) ved hvor mange omdr / min roterer dekkene? (b) hva er sentripetal akselerasjon på kanten av dekket? (c) med hvilken kraft må en bestemt 1,00 × 10-15 kg bakterie klamre seg til felgen? (D) Ta forholdet mellom denne kraften og bakteriens vekt.
  9. Integrerte Konsepter. Ryttere i en fornøyelsespark tur formet som Et Vikingskip hang fra en stor sving er rotert frem og tilbake som en stiv pendel. En gang nær midten av turen er skipet øyeblikkelig ubevegelig på toppen av sin sirkelbue. Skipet svinger deretter ned under påvirkning av tyngdekraften. (A) Forutsatt ubetydelig friksjon, finn hastigheten til rytterne på bunnen av buen, gitt systemets massesenter i en bue med en radius på 14,0 m og rytterne er nær massesenteret. (b) Hva er sentripetal akselerasjon på bunnen av buen? (C) Tegn et fritt kroppsdiagram over kreftene som virker på en rytter på bunnen av buen. (D) Finn kraften som utøves av turen på en 60,0 kg rytter og sammenlign den med vekten hennes. (E) Diskutere om svaret virker rimelig.
  10. Urimelige Resultater. En mor skyver barnet sitt på en sving slik at hastigheten er 9.00 m / s på det laveste punktet av hans vei. Svingen er suspendert 2,00 m over barnets massesenter. (A) hva er størrelsen på barnets sentripetale akselerasjon ved lavpunktet? (b) hva er størrelsen på kraften barnet utøver på setet hvis massen er 18,0 kg? (c) hva er urimelig om disse resultatene? (D) hvilke premisser er urimelige eller inkonsekvente?

Ordliste

sentripetal akselerasjon: akselerasjonen av et objekt som beveger seg i en sirkel, rettet mot midten

ultracentrifuge: en sentrifuge optimalisert for å spinne en rotor ved svært høye hastigheter

Utvalgte Løsninger På Problemer & Øvelser

1. 12,9 omdr / min

3. 4 × 1021 m

5. (a) 3.47 × 104 m/s2, 3.55 × 103 g; (b) 51.1 m/s

7. (a) 3,14 rad / s; (b) 118 m / s; (c) 384 m / s; (d) den sentripetale akselerasjonen følt Av Olympiske skatere er 12 ganger større enn akselerasjonen på grunn av tyngdekraften. Det er ganske mye akselerasjon i seg selv. Den sentripetale akselerasjonen følte Av Button ‘ s nese var 39,2 ganger større enn akselerasjonen på grunn av tyngdekraften. Det er ikke rart at han brøt små blodkar i hans spinn.

9. (a) 0,524 km/ s; (b) 29,7 km/s

11. (a) 1.35 × 103 rpm; (b) 8.47 × 103 m / s2; (c) 8.47 × 10-12 N; (d) 865

12. (a) 16.6 m/s; (b) 19.6 m/s2;

(c)

et rektangel med en base lengre enn høyden. En vertikal linje med pilehoder i begge ender passerer gjennom rektangelet, halverer de horisontale sidene. Øverst på pilen er Merket N, og bunnen er merket w.;

(d) 1,76 × 103 N Eller 3,00 w, det vil si den normale kraften (oppover) er tre ganger vekten; (e) dette svaret virker rimelig, siden hun føler at hun blir tvunget INN i stolen mye sterkere enn bare av tyngdekraften.

13. (a) 40,5 m / s2; (b) 905 N; (c) kraften i del (b) er veldig stor. Accelerasjonen i del (a) er for mye, ca 4 g; (d) hastigheten på svingen er for stor. Ved den oppgitte hastigheten på bunnen av svingen er det nok kinetisk energi til å sende barnet helt over toppen, og ignorerer friksjon.