Pythagoras and DiophantusEdit

Pythagoras triplesEdit

In de oudheid was bekend dat een driehoek waarvan de zijden in de verhouding 3:4:5 lagen een rechte hoek zou hebben als een van zijn hoeken. Dit werd gebruikt in de bouw en later in de vroege meetkunde. Het was ook bekend als een voorbeeld van een algemene regel dat elke driehoek waar de lengte van twee zijden, elk kwadraat en vervolgens samen opgeteld (32 + 42 = 9 + 16 = 25), is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de derde zijde (52 = 25), zou ook een rechte hoek driehoek zijn.Dit is nu bekend als de stelling van Pythagoras, en een triple van getallen die aan deze voorwaarde voldoet wordt een Pythagoras triple genoemd – beide zijn vernoemd naar de oude Griekse Pythagoras. Voorbeelden zijn (3, 4, 5) en (5, 12, 13). Er zijn oneindig veel van dergelijke triples, en methoden voor het genereren van dergelijke triples zijn bestudeerd in vele culturen, te beginnen met de Babyloniërs en later oud-Griekse, Chinese en Indiase wiskundigen. Wiskundig gezien is de definitie van een Pythagorees Tripel een verzameling van drie gehele getallen (a, b, c) die voldoen aan de vergelijking a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle A^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Diophantine equationsEdit

Fermat ‘ s vergelijking, xn + yn = zn met positieve gehele getallen, is een voorbeeld van een diofantische vergelijking, genoemd naar de 3e-eeuwse Alexandrijnse wiskundige Diophantus, die ze bestudeerde en methoden ontwikkelde voor de oplossing van sommige soorten diofantische vergelijkingen. Een typisch Diofantisch probleem is om twee gehele getallen x en y zodanig te vinden dat hun som en de som van hun kwadraten gelijk zijn aan twee gegeven getallen A en B, respectievelijk:

a = X + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.}

Diophantus ‘ belangrijkste werk is de Arithmetica, waarvan slechts een deel bewaard is gebleven. Fermats vermoeden van zijn laatste stelling werd geïnspireerd door het lezen van een nieuwe editie van de Arithmetica, die in het Latijn werd vertaald en in 1621 werd gepubliceerd door Claude Bachet.

diofantische vergelijkingen worden al duizenden jaren bestudeerd. Bijvoorbeeld, de oplossingen voor de kwadratische diofantische vergelijking x2 + y2 = z2 worden gegeven door de Pythagorese triples, oorspronkelijk opgelost door de Babyloniërs (CA. 1800 v.Chr.). Oplossingen voor lineaire diofantische vergelijkingen, zoals 26x + 65y = 13, kunnen worden gevonden met behulp van het Euclidische algoritme (C. 5de eeuw v.Chr.).Veel diofantische vergelijkingen hebben een vorm die vergelijkbaar is met de vergelijking van de laatste stelling van Fermat vanuit het oogpunt van de algebra, in die zin dat ze geen kruisvorm hebben die twee letters vermengt, zonder de specifieke eigenschappen ervan te delen. Het is bijvoorbeeld bekend dat er oneindig veel positieve gehele getallen x, y, en z zodanig zijn dat xn + yn = zm waarbij n en m relatief priemgetallen zijn.

Fermat ‘ s vermoeden

probleem II.8 in de editie 1621 van de rekenkunde van Diophantus. Aan de rechterkant is de marge die te klein was om Fermat ‘ s vermeende bewijs van zijn “laatste stelling”te bevatten.

probleem II. 8 van de Arithmetica vraagt hoe een gegeven kwadraatgetal in twee andere kwadraten wordt gesplitst; met andere woorden, voor een gegeven rationaal getal k, vinden rationale getallen u en v zodanig dat k2 = u2 + v2. Diophantus laat zien hoe je dit I ‘ m-of-squares probleem kunt oplossen voor k = 4 (de oplossingen zijn u = 16/5 en v = 12/5).

Rond 1637, ontworpen om schreef zijn Laatste Stelling in de kantlijn van zijn kopie van de Rekenkundige naast Diophantus ‘ s die ik ben-van-kwadraten probleem:

na Fermat ‘ s dood in 1665 produceerde zijn zoon Clément-Samuel Fermat een nieuwe editie van het boek (1670), aangevuld met commentaar van zijn vader. Hoewel het in die tijd niet echt een stelling was (wat een wiskundige stelling betekent waarvoor bewijs bestaat), werd de kantinnoot in de loop van de tijd bekend als Fermat ’s laatste stelling, omdat het de laatste van Fermat’ s beweerde stellingen was die onbewezen bleven.

Het is niet bekend of Fermat daadwerkelijk een geldig bewijs heeft gevonden voor alle exponenten n, maar het lijkt onwaarschijnlijk. Slechts één verwant bewijs door hem is bewaard gebleven, namelijk voor het geval n = 4, zoals beschreven in de sectie bewijzen voor specifieke exponenten.Terwijl Fermat de gevallen van n = 4 en van n = 3 stelde als uitdagingen voor zijn wiskundige correspondenten, zoals Marin Mersenne, Blaise Pascal en John Wallis, stelde hij nooit het algemene geval. Bovendien schreef Fermat in de laatste dertig jaar van zijn leven nooit meer over zijn “werkelijk wonderbare bewijs” van de algemene zaak, en publiceerde het nooit. Van der Poorten suggereert dat, hoewel het ontbreken van een bewijs onbeduidend is, het gebrek aan uitdagingen betekent dat Fermat besefte dat hij geen bewijs had; hij citeert Weil als te zeggen dat Fermat zichzelf kortgeleden misleid moet hebben met een onherstelbaar idee.

De technieken die Fermat zou hebben gebruikt in zo ‘n” wonderbaar bewijs ” zijn onbekend.het bewijs van Taylor en Wiles is gebaseerd op 20ste-eeuwse technieken. Fermat ‘ s bewijs zou in vergelijking elementair moeten zijn, gezien de wiskundige kennis van zijn tijd.hoewel het grote vermoeden van Harvey Friedman impliceert dat elke bewijsbare stelling (inclusief de laatste stelling van Fermat) alleen met behulp van ‘elementaire functie-rekenkunde’ kan worden bewezen, hoeft een dergelijk bewijs alleen in technische zin ‘elementair’ te zijn en kan het miljoenen stappen omvatten, en dus veel te lang zijn om Fermat ‘ s bewijs te zijn.

bewijzen voor specifieke exponentsEdit

Fermat ’s infinite descent for Fermat’ s Last Theorem case n=4 in de 1670 editie van de Arithmetica of Diophantus (PP.338-339).

Exponent = 4Edit

slechts één relevant bewijs door Fermat is bewaard gebleven, waarin hij de techniek van oneindige afdaling gebruikt om aan te tonen dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met gehele zijden nooit gelijk kan zijn aan het kwadraat van een geheel getal. Zijn bewijs is gelijk aan het aantonen dat de vergelijking

x 4-y 4 = z 2 {\displaystyle X^{4}-y^{4}=z^{2}}

geen primitieve oplossingen heeft in gehele getallen (geen paarsgewijze coprimeoplossingen). Dit bewijst op zijn beurt de laatste stelling van Fermat voor het geval n = 4, omdat de vergelijking a4 + b4 = c4 kan worden geschreven als c4-b4 = (a2) 2.

Alternatief bewijs van het geval n = 4 worden verder ontwikkeld door Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant en Perella (1999), Barbara (2007), en Dolan (2011).

andere exponentsEdit

nadat Fermat het speciale geval n = 4 bewees, vereiste het algemene bewijs voor alle n alleen dat de stelling werd vastgesteld voor alle oneven priemexonenten. Met andere woorden, het was alleen nodig om te bewijzen dat de vergelijking an + bn = cn geen positieve integer oplossingen heeft (a, b, c) wanneer n een oneven priemgetal is. Dit volgt omdat een oplossing (a, b, c) voor een gegeven n gelijk is aan een oplossing voor alle factoren van n. ter illustratie, laat n In D en e worden meegeteld, n = de. De algemene vergelijking

an + bn = cn

impliceert dat (ad, BD, cd) een oplossing is voor de exponent e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

om te bewijzen dat Fermat ‘ s vergelijking geen oplossingen heeft voor n > 2, zou het volstaan om te bewijzen dat het geen oplossingen heeft voor ten minste één priemfactor van elke n. elk geheel getal n > 2 is deelbaar door 4 of door een oneven priemgetal (of beide). Daarom kon Fermat ‘ s laatste stelling voor alle n worden bewezen als het voor n = 4 en voor alle oneven priemgetallen p kon worden bewezen.in de twee Centuriën na het vermoeden (1637-1839) werd Fermat ‘ s laatste stelling bewezen voor drie oneven priemexonenten p = 3, 5 en 7. De zaak p = 3 werd voor het eerst gesteld door Abu-Mahmud Khojandi (10e eeuw), maar zijn poging tot bewijs van de stelling was onjuist. In 1770 gaf Leonhard Euler een bewijs van p = 3, maar zijn bewijs door oneindige afdaling bevatte een grote kloof. Omdat Euler echter zelf het lemma had bewezen dat nodig was om het bewijs in andere werken te voltooien, wordt hij over het algemeen gecrediteerd met het eerste bewijs. Onafhankelijke bewijzen werden gepubliceerd door Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) en Duarte (1944).

De zaak p = 5 werd onafhankelijk bewezen door Legendre en Peter Gustav Lejeune Dirichlet rond 1825. Alternatieve bewijzen werden ontwikkeld door Carl Friedrich Gauss (1875, postuum), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), Van der Corput (1915) en Guy Terjanian (1987).de zaak p = 7 werd in 1839 door Lamé bewezen. Zijn vrij ingewikkelde bewijs werd vereenvoudigd in 1840 door Lebesgue, en nog eenvoudiger bewijzen werden gepubliceerd door Angelo Genocchi in 1864, 1874 en 1876. Alternatieve bewijzen werden ontwikkeld door Théophile Pépin (1876) en Edmond Maillet (1897).de laatste stelling van Fermat werd ook bewezen voor de exponenten n = 6, 10 en 14. Proefdrukken voor n = 6 werden gepubliceerd door Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift en Breusch. Op dezelfde manier beweerden Dirichlet en Terjanian elk het geval n = 14, terwijl Kapferer en Breusch elk het geval n = 10 beweerden. Strikt genomen zijn deze bewijzen overbodig, omdat deze gevallen voortvloeien uit de bewijzen voor respectievelijk n = 3, 5 en 7. Niettemin verschilt de redenering van deze even-exponente bewijzen van hun oneven-exponente tegenhangers. Dirichlet ’s bewijs voor n = 14 werd gepubliceerd in 1832, voordat Lamé’ s bewijs voor n = 7 in 1839 verscheen.

alle bewijzen voor specifieke exponenten gebruikten Fermat ‘ s techniek van oneindige afdaling, hetzij in zijn oorspronkelijke vorm, hetzij in de vorm van afdaling op elliptische krommen of abelse variëteiten. De details en ondersteunende argumenten waren echter vaak ad hoc en gebonden aan de individuele exponent in kwestie. Aangezien ze steeds ingewikkelder werden naarmate p groter werd, leek het onwaarschijnlijk dat het algemene geval van de laatste stelling van Fermat kon worden bewezen door voort te bouwen op de bewijzen voor individuele exponenten. Hoewel enkele algemene resultaten over de laatste stelling van Fermat in het begin van de 19e eeuw werden gepubliceerd door Niels Henrik Abel en Peter Barlow, werd het eerste belangrijke werk over de algemene stelling gedaan door Sophie Germain.Vroegmoderne doorbraaksedit

Sophie GermainEdit

in het begin van de 19e eeuw ontwikkelde Sophie Germain verschillende nieuwe benaderingen om Fermat ‘ s laatste stelling voor alle exponenten te bewijzen. Ten eerste, ze gedefinieerde een set van extra priemgetallen θ {\displaystyle \theta }

gemaakt van de voornaamste exponent p {\displaystyle p}

door de vergelijking θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, waar h {\displaystyle i}

een geheel getal is niet deelbaar door drie. Zij liet zien dat, als er geen gehele getallen verhoogd om de p t h {\displaystyle p^{\mathrm {ste} }}

macht waren aangrenzende modulo θ {\displaystyle \theta }

(de niet-consecutivity voorwaarde), dan θ {\displaystyle \theta }

moet verdeel het product x y z {\displaystyle xyz}

. Haar doel was om gebruik te maken van wiskundige inductie om te bewijzen dat, voor een gegeven p {\displaystyle p}

oneindig vele kleinere priemgetallen θ {\displaystyle \theta }

tevreden de niet-consecutivity aandoening en is daarom verdeeld x y z {\displaystyle xyz}

; aangezien het product x y z {\displaystyle xyz}

kan hooguit een eindig aantal van de belangrijkste factoren, zoals een bewijs zou hebben vastgesteld Stelling van Fermat. Hoewel ze veel technieken ontwikkelde om de niet-consecutiviteitsconditie vast te stellen, slaagde ze er niet in haar strategische doel te bereiken. Ze werkte ook aan het instellen van lagere limieten voor de grootte van oplossingen voor Fermat ‘ s vergelijking voor een gegeven exponent p {\displaystyle p}

, waarvan een aangepaste versie werd gepubliceerd door Adrien-Marie Legendre. Als bijproduct van dit laatste werk, ze bleek Sophie Germain stelling, die gecontroleerd het eerste geval van de Stelling van Fermat (namelijk in het geval dat p {\displaystyle p}

niet verdelen x y z {\displaystyle xyz}

) voor elke oneven priemgetal exponent minder dan 270 {\displaystyle 270}

, en voor alle priemgetallen p {\displaystyle p}

zodanig dat ten minste één van de 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

en 16 p + 1 {\displaystyle 16p+1}

prime (speciaal de priemgetallen p {\displaystyle p}

zodanig dat 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

is priemgetal worden Sophie Germain-priemgetallen genoemd). Germain probeerde tevergeefs het eerste geval van Fermat ‘ s laatste stelling voor alle even exponenten te bewijzen, specifiek voor n = 2 p {\displaystyle N=2p}

, wat werd bewezen door Guy Terjanian in 1977. In 1985 beweerden Leonard Adleman, Roger Heath-Brown en Étienne Fouvry dat het eerste geval van Fermat ‘ s laatste stelling geldt voor oneindig veel oneven priemgetallen p {\displaystyle p}

. Ernst Kummer and the theory of idealsEdit

in 1847 schetste Gabriel Lamé een bewijs van Fermat ‘ s laatste stelling gebaseerd op het factoring van de vergelijking xp + yp = zp in complexe getallen, in het bijzonder het cyclotoomveld gebaseerd op de wortels van het getal 1. Zijn bewijs faalde echter, omdat het ten onrechte aannam dat dergelijke complexe getallen uniek kunnen worden gefactoreerd in priemgetallen, vergelijkbaar met gehele getallen. Deze leemte werd onmiddellijk opgemerkt door Joseph Liouville, die later een artikel las dat dit falen van unieke factorisatie aantoonde, geschreven door Ernst Kummer.

Kummer stelde zich tot taak om te bepalen of het cyclotomisch veld kon worden gegeneraliseerd om nieuwe priemgetallen op te nemen, zodat de unieke factorisatie werd hersteld. Hij slaagde daarin door de ideale aantallen te ontwikkelen.

(Opmerking: Er wordt vaak gesteld dat Kummer werd geleid tot zijn” ideale complexe getallen “door zijn interesse in Fermat’ s laatste stelling; er is zelfs een verhaal vaak verteld dat Kummer, net als Lamé, geloofde dat hij Fermat ‘ s laatste stelling had bewezen totdat Lejeune Dirichlet hem vertelde dat zijn argument gebaseerd was op unieke factorisatie; maar het verhaal werd voor het eerst verteld door Kurt Hensel in 1910 en het bewijs geeft aan dat het waarschijnlijk voortkomt uit een verwarring door een van Hensels bronnen. Harold Edwards zegt dat het geloof dat Kummer vooral geïnteresseerd was in Fermat ‘ s laatste stelling “zeker verkeerd is”. Zie de geschiedenis van ideale getallen.)

Kummer bewees beide gevallen van Fermat ‘ s laatste stelling voor alle reguliere priemgetallen. Hij kon echter de stelling voor de uitzonderlijke priemgetallen (onregelmatige priemgetallen) niet bewijzen die ongeveer 39% van de tijd; de enige onregelmatige priemgetallen onder 270 zijn 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 en 263.

het vermoeden van Mordelldit

in de jaren 1920 stelde Louis Mordell een vermoeden dat impliceerde dat Fermat ‘ s vergelijking hoogstens een eindig aantal niet-triviale primitieve integer oplossingen heeft, als de exponent n groter is dan twee. Dit vermoeden werd in 1983 bewezen door Gerd Faltings en staat nu bekend als de stelling van Faltings.

computationele studiesEdit

in de tweede helft van de 20e eeuw werden computationele methoden gebruikt om Kummer ‘ s benadering uit te breiden tot de onregelmatige priemgetallen. In 1954 gebruikte Harry Vandiver een SWAC-computer om Fermat ‘ s laatste stelling voor alle priemgetallen tot 2521 te bewijzen. In 1978 had Samuel Wagstaff dit uitgebreid tot alle priemgetallen van minder dan 125.000. In 1993 was de laatste stelling van Fermat bewezen voor alle priemgetallen van minder dan vier miljoen.

ondanks deze inspanningen en hun resultaten bestond er echter geen bewijs van de laatste stelling van Fermat. Bewijzen van individuele exponenten door hun aard zouden nooit het algemene geval kunnen bewijzen: zelfs als alle exponenten tot een extreem groot getal X werden geverifieerd, zou er nog steeds een hogere exponent voorbij X kunnen bestaan waarvoor de claim niet waar was. (Dit was het geval met een aantal andere eerdere vermoedens, en het kon niet worden uitgesloten in dit vermoeden.)

verband met elliptische curvesEdit

De strategie die uiteindelijk leidde tot een succesvol bewijs van Fermat ‘ s laatste stelling kwam voort uit het “verbazingwekkende”:211 het vermoeden van Taniyama–Shimura–Weil, dat rond 1955 werd voorgesteld—waarvan veel wiskundigen geloofden dat het bijna onmogelijk zou zijn om te bewijzen, 223 en werd in de jaren tachtig door Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre en Ken Ribet gekoppeld aan de vergelijking van Fermat. Door in 1994 een gedeeltelijk bewijs van dit vermoeden te verkrijgen, slaagde Andrew Wiles er uiteindelijk in de laatste stelling van Fermat te bewijzen, en leidde hij de weg naar een volledig bewijs door anderen van wat nu bekend staat als de modulariteitsstelling.Main article: Modulariteitsstelling

rond 1955 merkten de Japanse wiskundigen Goro Shimura en Yutaka Taniyama een mogelijk verband op tussen twee schijnbaar volledig verschillende takken van de wiskunde, elliptische krommen en modulaire vormen. De resulterende modulariteitsstelling (destijds bekend als het vermoeden van Taniyama–Shimura) stelt dat elke elliptische kromme modulair is, wat betekent dat het geassocieerd kan worden met een unieke modulaire vorm.

de link werd aanvankelijk afgedaan als onwaarschijnlijk of zeer speculatief, maar werd serieuzer genomen toen getaltheoreticus André Weil bewijs vond om het te ondersteunen, maar het niet bewees; als gevolg hiervan werd het vermoeden vaak bekend als het vermoeden van Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

zelfs na het verkrijgen van serieuze aandacht, werd het vermoeden door hedendaagse wiskundigen gezien als buitengewoon moeilijk of misschien ontoegankelijk voor bewijs.: 203-205, 223, 226 bijvoorbeeld, Wiles ‘promotor John Coates stelt dat het leek “onmogelijk om daadwerkelijk te bewijzen”,: 226 en Ken Ribet beschouwde zichzelf” een van de overgrote meerderheid van de mensen die geloofde was volledig ontoegankelijk”, toe te voegen dat ” Andrew Wiles was waarschijnlijk een van de weinige mensen op aarde die de durf om te dromen dat je daadwerkelijk kan gaan en te bewijzen .”:223

Stelling van Ribet voor Frey curvesEdit

in 1984 merkte Gerhard Frey een verband op tussen Fermat’ s vergelijking en de modulariteitsstelling, toen nog steeds een vermoeden. Als de vergelijking van Fermat een oplossing had (a, b, c) voor exponent p > 2, dan zou kunnen worden aangetoond dat de semi-stabiele elliptische kromme (nu bekend als een Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x − ap) (x + bp)

zulke ongewone eigenschappen zou hebben dat het onwaarschijnlijk was modulair te zijn. Dit zou in strijd zijn met de modulariteitsstelling, die beweerde dat alle elliptische krommen modulair zijn. Als zodanig merkte Frey op dat een bewijs van het vermoeden van Taniyama–Shimura–Weil ook tegelijkertijd Fermat ‘ s laatste stelling zou kunnen bewijzen. Door contrapositie zou een weerlegging of weerlegging van Fermat ‘ s laatste stelling het vermoeden van Taniyama–Shimura–Weil weerleggen.

in het Engels had Frey aangetoond dat, als deze intuïtie over zijn vergelijking correct was, elke verzameling van 4 getallen (a, b, c, n) die Fermat ‘ s laatste stelling kon weerleggen, ook kon worden gebruikt om het vermoeden van Taniyama–Shimura–Weil te weerleggen. Daarom, als het laatste waar was, kon het eerste niet worden weerlegd, en zou het ook waar moeten zijn.

Na deze strategie vereiste een bewijs van de laatste stelling van Fermat twee stappen. Ten eerste was het noodzakelijk om de modulariteitsstelling te bewijzen – of op zijn minst om het te bewijzen voor de soorten elliptische krommen die Frey ‘ s vergelijking bevatten (bekend als semi-elliptische krommen). Dit werd algemeen beschouwd als ontoegankelijk voor bewijs door hedendaagse wiskundigen.: 203-205, 223, 226 ten tweede was het nodig om aan te tonen dat Frey ’s intuïtie correct was: dat als een elliptische kromme op deze manier werd geconstrueerd, met behulp van een verzameling getallen die een oplossing waren van Fermat’ s vergelijking, de resulterende elliptische kromme niet modulair kon zijn. Frey toonde aan dat dit aannemelijk was, maar ging niet zo ver als het geven van een volledig bewijs. Het ontbrekende stuk (het zogenaamde “vermoeden van Epsilon”, nu bekend als de stelling van Ribet) werd geïdentificeerd door Jean-Pierre Serre die ook een bijna volledig bewijs gaf en de door Frey voorgestelde link werd uiteindelijk in 1986 bewezen door Ken Ribet.

na het werk van Frey, Serre en Ribet was dit waar de zaken stonden:

• Fermat ‘ s laatste stelling moest worden bewezen voor alle exponenten n die priemgetallen waren.
• de modulariteitsstelling – indien bewezen voor halfstabiele elliptische krommen-zou betekenen dat alle halfstabiele elliptische krommen modulair moeten zijn.de stelling van Ribet toonde aan dat elke oplossing voor de vergelijking van Fermat voor een priemgetal gebruikt kon worden om een half-elliptische kromme te maken die niet modulair kon zijn;
• de enige manier waarop beide stellingen waar konden zijn, was als er geen oplossingen bestonden voor de vergelijking van Fermat (omdat dan geen dergelijke kromme gecreëerd kon worden), wat de laatste stelling van Fermat zei. Omdat de Stelling van Ribet al bewezen was, betekende dit dat een bewijs van de Modulariteitsstelling automatisch zou bewijzen dat de laatste stelling van Fermat ook Waar was.

Wiles ‘ general proofEdit

De Britse wiskundige Andrew Wiles.

Ribet ‘ s proof of the Epsilon conjecture in 1986 volbracht de eerste van de twee doelen voorgesteld door Frey. Toen hij van Ribet ‘ s succes hoorde, besloot Andrew Wiles, een Engelse wiskundige die gefascineerd was door de laatste stelling van Fermat en die had gewerkt aan elliptische krommen, zich in te zetten voor het volbrengen van de tweede helft: het bewijzen van een speciaal geval van de modulariteitsstelling (toen bekend als het vermoeden van Taniyama–Shimura) voor semi-elliptische krommen.Wiles werkte zes jaar lang aan die taak in bijna totale geheimhouding, waarbij hij zijn inspanningen verdoezelde door eerder werk in kleine segmenten als afzonderlijke documenten vrij te geven en alleen zijn vrouw in vertrouwen te nemen.:229-230 zijn eerste studie suggereerde bewijs door inductie,: 230-232, 249-252 en hij baseerde zijn eerste werk en eerste significante doorbraak op de Galoistheorie:251-253, 259 voordat hij overstapte naar een poging om de horizontale Iwasawa-theorie uit te breiden voor het inductieve argument rond 1990-91 toen het leek dat er geen bestaande benadering adequaat was voor het probleem.: 258-259 echter, medio 1991, Iwasawa theorie leek ook niet het bereiken van de centrale kwesties in het probleem.:259-260 in antwoord daarop benaderde hij collega ‘ s om aanwijzingen te vinden voor baanbrekend onderzoek en nieuwe technieken, en ontdekte een Euler-systeem dat onlangs werd ontwikkeld door Victor Kolyvagin en Matthias Flach en dat “op maat” leek voor het inductieve deel van zijn bewijs.: 260-261 Wiles bestudeerde en breidde deze aanpak uit, die werkte. Omdat zijn werk sterk op deze benadering was gebaseerd, die nieuw was voor de wiskunde en Wiles, vroeg hij in januari 1993 aan zijn collega op Princeton, Nick Katz, om hem te helpen zijn redenering te controleren op subtiele fouten. Hun conclusie op het moment was dat de gebruikte technieken Liles leek correct te werken.Medio mei 1993 voelde Wiles zich in staat om zijn vrouw te vertellen dat hij dacht dat hij het bewijs van Fermat ‘ s laatste stelling had opgelost:265 en tegen juni voelde hij zich voldoende overtuigd om zijn resultaten te presenteren in drie lezingen die op 21-23 juni 1993 werden gegeven aan het Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. In het bijzonder presenteerde Wiles zijn bewijs van het vermoeden van Taniyama–Shimura voor semisteerbare elliptische krommen; samen met Ribet ’s bewijs van het vermoeden van epsilon impliceerde dit Fermat’ s laatste stelling. Tijdens de collegiale toetsing werd echter duidelijk dat een kritiek punt in het bewijs onjuist was. Het bevatte een fout in een binding op de volgorde van een bepaalde groep. De fout werd ontdekt door verschillende wiskundigen die Wiles ‘ manuscript bespraken, waaronder Katz (in zijn rol als recensent), die Wiles op 23 augustus 1993 waarschuwde.de fout zou zijn werk niet waardeloos hebben gemaakt – elk deel van Wiles ‘ werk was op zichzelf zeer belangrijk en innovatief, net als de vele ontwikkelingen en technieken die hij in de loop van zijn werk had gecreëerd, en slechts één deel werd beïnvloed.:289, 296-297 echter zonder dit deel bewezen, was er geen feitelijk bewijs van Fermat ‘ s laatste stelling. Wiles spendeerde bijna een jaar om zijn bewijs te repareren, aanvankelijk alleen en vervolgens in samenwerking met zijn oud-student Richard Taylor, zonder succes. Tegen het einde van 1993 hadden geruchten zich verspreid dat Wiles ‘ bewijs onder de loep was genomen, maar hoe ernstig was niet bekend. Wiskundigen begonnen Wiles onder druk te zetten om zijn werk te onthullen of het al dan niet compleet was, zodat de bredere gemeenschap alles kon verkennen en gebruiken wat hij had kunnen bereiken. Maar in plaats van vast te stellen, het probleem, dat oorspronkelijk leek klein, Nu leek zeer belangrijk, veel ernstiger, en minder gemakkelijk op te lossen.Wiles verklaart dat hij op de ochtend van 19 September 1994 op het punt stond op te geven en bijna ontslag nam om te accepteren dat hij gefaald had, en om zijn werk te publiceren zodat anderen erop konden voortbouwen en de fout konden herstellen. Hij voegt eraan toe dat hij een laatste blik had om te proberen de fundamentele redenen te begrijpen waarom zijn benadering niet kon worden gemaakt om te werken, toen hij plotseling inzicht had – dat de specifieke reden waarom de Kolyvagin–Flach benadering niet direct zou werken ook betekende dat zijn oorspronkelijke pogingen met behulp van de Iwasawa theorie konden worden gemaakt om te werken, als hij deze versterkte met behulp van zijn ervaring opgedaan met de Kolyvagin–Flach benadering. De vaststelling van de ene aanpak met instrumenten uit de andere aanpak zou het probleem oplossen voor alle gevallen die nog niet bewezen waren door zijn refereed paper. Hij beschreef later dat de Iwasawa–theorie en de Kolyvagin-Flach-benadering elk op zichzelf ontoereikend waren, maar samen konden ze krachtig genoeg worden gemaakt om deze laatste hindernis te overwinnen.”ik zat aan mijn bureau de Kolyvagin–Flach methode te onderzoeken. Het was niet dat ik geloofde dat ik het kon laten werken, maar ik dacht dat ik op zijn minst kon uitleggen waarom het niet werkte. Plotseling kreeg ik een ongelooflijke openbaring. Ik realiseerde me dat de Kolyvagin-Flach methode niet werkte, maar het was alles wat ik nodig had om mijn originele Iwasawa theorie te laten werken van drie jaar eerder. Dus uit de as van Kolyvagin–Flach leek het ware antwoord op het probleem te rijzen. Het was zo onbeschrijflijk mooi; het was zo eenvoudig en zo elegant. Ik kon niet begrijpen hoe ik het gemist had en ik staarde er in ongeloof 20 minuten lang naar. Gedurende de dag liep ik rond op de afdeling, en ik bleef terugkomen naar mijn bureau om te kijken of het er nog was. Het was er nog steeds. Ik kon me niet inhouden, ik was zo opgewonden. Het was het belangrijkste moment van mijn beroepsleven. Niets wat ik ooit nog Doe zal zoveel betekenen.”- Andrew Wiles, zoals Geciteerd door Simon Singh

op 24 oktober 1994, Wiles diende twee manuscripten, “Modular elliptic curves and Fermat ’s Last Theorem” en “Ring theoretic properties of certain Hecke algebra ‘s”, waarvan de tweede was coauteur met Taylor en bewees dat aan bepaalde voorwaarden was voldaan die nodig waren om de gecorrigeerde stap in het hoofdartikel te rechtvaardigen. De twee papers werden doorgelicht en gepubliceerd als het geheel van het mei 1995 nummer van de annalen van de wiskunde. Deze papers stelden de modulariteitsstelling voor semisteerbare elliptische krommen vast, de laatste stap in het bewijzen van Fermat ‘ s laatste stelling, 358 jaar nadat deze werd vermoed.het volledige vermoeden van Taniyama-Shimura-Weil werd uiteindelijk bewezen door Diamond (1996) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFDiamond1996 (help), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFConradDiamondTaylor1999 (help), and Breuil et al. (2001) harvtxt-fout: meerdere doelen (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (help) die, voortbouwend op het werk van Wiles, stapsgewijs de resterende zaken afsneed totdat het volledige resultaat was bewezen. Het nu volledig bewezen vermoeden werd bekend als de modulariteitsstelling.

verschillende andere stellingen in de getaltheorie, vergelijkbaar met de laatste stelling van Fermat, volgen ook uit dezelfde redenering, waarbij gebruik wordt gemaakt van de modulariteitsstelling. Bijvoorbeeld: geen kubus kan worden geschreven als een som van twee coprime n-de machten, n ≥ 3. (Het geval n = 3 was al bekend bij Euler.)