Articles

fysica

by admin

we weten uit de kinematica dat versnelling een verandering in snelheid is, hetzij in zijn grootte, hetzij in zijn richting, of beide. Bij een gelijkmatige cirkelbeweging verandert de richting van de snelheid constant, dus is er altijd een bijbehorende versnelling, ook al is de grootte van de snelheid constant. Deze acceleratie ervaar je zelf wanneer je in je auto een bocht omslaat. (Als u het wiel tijdens een bocht stabiel houdt en met constante snelheid beweegt, bent u in uniforme cirkelvormige beweging.) Wat je opvalt is een zijwaartse acceleratie omdat jij en de auto van richting veranderen. Hoe scherper de curve en hoe hoger uw snelheid, hoe meer merkbaar deze versnelling zal worden. In deze sectie onderzoeken we de richting en de grootte van die versnelling.

figuur 1 toont een object dat beweegt in een cirkelvormig pad met constante snelheid. De richting van de momentane snelheid wordt getoond op twee punten langs het pad. Acceleratie is in de richting van de verandering in snelheid, die direct naar het centrum van de rotatie (het centrum van het cirkelvormige pad) wijst. Dit punt wordt weergegeven met het vectordiagram in de figuur. We noemen de versnelling van een object dat beweegt in uniforme cirkelvormige beweging (als gevolg van een netto externe kracht) de centripetale versnelling(ac); centripetaal betekent “naar het centrum” Of “centrum zoeken.”

de gegeven figuur toont een cirkel, met een driehoek met hoekpunten A B C Gemaakt van het centrum naar de boundry. A is in het Midden en B en c punten zijn op het cirkelpad. Lijnen A B en A C fungeren als radii en B C is een akkoord. Delta theta wordt getoond in de driehoek, en de booglengte delta s en de akkoordlengte delta r worden ook gegeven. Op punt B wordt de snelheid van het object weergegeven als v één en op punt C wordt de snelheid van het object weergegeven als V twee. Langs de cirkel wordt een vergelijking weergegeven als delta v gelijk is aan v sub 2 min V sub 1.

figuur 1. De richtingen van de snelheid van een object op twee verschillende punten worden getoond, en de verandering in snelheid Δv wordt gezien om direct naar het centrum van kromming te wijzen. (Zie kleine inzet. Omdat ac = Δv / Δt, is de acceleratie ook in de richting van het centrum; ac wordt centripetale acceleratie genoemd. (Omdat Δθ erg klein is, is de booglengte Δs gelijk aan de akkoordlengte Δr voor kleine tijdsverschillen.)

de richting van de centripetale versnelling is in de richting van het centrum van de kromming, maar wat is de grootte? Merk op dat de driehoek gevormd door de snelheidsvectoren en de driehoek gevormd door de radii r en Δs zijn vergelijkbaar. Beide driehoeken ABC en PQR zijn gelijkbenige driehoeken (twee gelijke zijden). De twee gelijke zijden van de snelheid Vector driehoek zijn de snelheden v1 = v2 = v. met behulp van de eigenschappen van twee soortgelijke driehoeken verkrijgen we \frac{\Delta{v}}{v}=\frac{\Delta{s}}{r}\\.

versnelling is \ frac {\Delta{v}} {\Delta{t}}\\, en dus lossen we eerst deze uitdrukking op voor Δv:

\displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{s}\\.

dan delen we dit door Δt, wat

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

ten slotte, opmerkend dat \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ en dat \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=v\\, de lineaire of tangentiële snelheid, zien we dat de magnitude van de centripetale versnelling

{a}_c=\frac{v^2}{r}\\,

die de versnelling is van een object in een cirkel met straal r bij een snelheid V. Dus, centripetale acceleratie is groter bij hoge snelheden en in scherpe bochten (kleinere radius), zoals je hebt gemerkt bij het besturen van een auto. Maar het is een beetje verrassend dat ac evenredig is met snelheid in het kwadraat, wat bijvoorbeeld impliceert dat het vier keer zo moeilijk is om een bocht te nemen bij 100 km/h dan bij 50 km/h. een scherpe hoek heeft een kleine straal, zodat ac groter is voor strakkere bochten, zoals je waarschijnlijk hebt gemerkt.

Het is ook nuttig om ac uit te drukken in termen van hoeksnelheid. Door v = rw te vervangen in de bovenstaande uitdrukking, vinden we a_c=\frac{\left(r\Omega\right)^2}{r}=r\omega^2\\. We kunnen de grootte van de centripetale versnelling uitdrukken met behulp van een van de twee vergelijkingen:

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\.

bedenk dat de richting van ac naar het midden is. U kunt gebruik maken van welke uitdrukking is handiger, zoals geïllustreerd in onderstaande voorbeelden.

een centrifuge (zie figuur 2b) is een roterende inrichting die wordt gebruikt om monsters van verschillende dichtheden te scheiden. De hoge centripetale versnelling vermindert beduidend de tijd die het voor scheiding vergt om te voorkomen, en maakt scheiding mogelijk met kleine steekproeven. Centrifuges worden gebruikt in een verscheidenheid van toepassingen in wetenschap en geneeskunde, met inbegrip van de scheiding van eencellige suspensies zoals bacteriën, virussen, en bloedcellen van een vloeibaar medium en de scheiding van macromoleculen, zoals DNA en proteã ne, van een oplossing. Centrifuges worden vaak beoordeeld in termen van hun centripetale versnelling ten opzichte van versnelling door zwaartekracht (g); maximale centripetale versnelling van enkele honderdduizenden g is mogelijk in een vacuüm. Menselijke centrifuges, extreem grote centrifuges, zijn gebruikt om de tolerantie van astronauten te testen voor de effecten van versnellingen groter dan die van de zwaartekracht van de aarde.

Voorbeeld 1. Hoe verhoudt de centripetale versnelling van een auto rond een Curve zich met die door zwaartekracht?

Wat is de magnitude van de acceleratie in het midden van een auto met een boogstraal van 500 m bij een snelheid van 25,0 m/s (ongeveer 90 km/h)? Vergelijk de acceleratie met die van de zwaartekracht voor deze vrij zachte bocht genomen op de snelweg snelheid. Zie figuur 2a.

strategie

omdat v en r zijn gegeven, is de eerste uitdrukking in \displaystyle{A}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ het handigst te gebruiken.

oplossing

het invoeren van de gegeven waarden van v = 25.0 m/s en r=500 m in de eerste uitdrukking voor ac geeft

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left(25.0\text{ m/s}\right)^2}{500\text{ m}}=1.25\text{ m/s}^2\\.

discussie

om dit te vergelijken met de versnelling door zwaartekracht (g = 9,80 m / s2), nemen we de verhouding van \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25 \ text{ m / s}^2 \ right)} {\left (9.80 \ text{ m / s}^2\right)}=0,128\\. Dus ac = 0,128 g en is vooral merkbaar als u geen veiligheidsgordel droeg.

in figuur a rijdt een auto van bovenaf op een cirkelvormige weg rond een cirkelvormig pad. Het centrum van het park wordt genoemd als het centrum van deze cirkel en de afstand vanaf dit punt tot de auto wordt genomen als straal r. De lineaire snelheid wordt weergegeven in loodrechte richting naar de voorkant van de auto, weergegeven als v de centripetale versnelling wordt weergegeven met een pijl naar het centrum van de rotatie. In figuur b wordt een centrifuge getoond waarin een voorwerp van massa m met een constante snelheid in het ronddraait. Het object bevindt zich op de afstand die gelijk is aan de straal, r, van de centrifuge. De centripetale versnelling wordt getoond in de richting van het centrum van de rotatie, en de snelheid, v wordt loodrecht op het object in de richting van de klok.

Figuur 2. (a) de auto die bij constante snelheid een cirkelvormig pad volgt, wordt loodrecht op zijn snelheid versneld, zoals aangegeven. De grootte van deze centripetale versnelling wordt gevonden in Voorbeeld 1. b) een massadeeltje in een centrifuge draait met een constante hoeksnelheid . Het moet loodrecht op zijn snelheid worden versneld, anders zou het in een rechte lijn blijven. De omvang van de noodzakelijke versnelling is te vinden in Voorbeeld 2.

Voorbeeld 2. Hoe groot Is de centripetale versnelling in een Ultracentrifuge?

Bereken de centripetale versnelling van een punt 7.50 cm van de as van een ultracentrifuge die draait bij 7,5 × 104 omw/min. Bepaal de verhouding tussen deze versnelling en de zwaartekracht. Zie figuur 2b.

strategie

De term omw/min staat voor omwentelingen per minuut. Door dit om te zetten in radialen per seconde, krijgen we de hoeksnelheid ω. Omdat r gegeven is, kunnen we de tweede uitdrukking gebruiken in de vergelijking a_c=\frac{v^2}{r};a_c=r\omega^2\\ om de centripetale versnelling te berekenen.

oplossing

om 7 om te zetten.50 × 104 omw / min tot radialen per seconde, gebruiken we de feiten dat één omwenteling 2π rad is en één minuut 60,0 s. dus,

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text{ rad}} {1 \ text{ rev}} \ times \ frac{1 \ text{ min}}{60.0\text{ s}} = 7854 \ text{ rad / s}\\ .

nu wordt de centripetale versnelling gegeven door de tweede expressie in

\displaystyle{a}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ as ac = rw2.

het omzetten van 7,50 cm in meters en het vervangen van bekende waarden geeft ac = (0,0750 m) (7854 rad/s) 2 = 4.63 × 106 m / s2.

merk op dat de unitless radialen worden weggegooid om de juiste eenheden voor centripetale versnelling te krijgen. Het nemen van de verhouding van ac tot g levert

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\times10^6}{9.80}=4.72\times10^5\\.

discussie

Dit laatste resultaat betekent dat de centripetale versnelling 472.000 keer zo sterk is als g. Het is geen wonder dat zulke hoge ω centrifuges ultracentrifuges worden genoemd. De extreem grote versnellingen die betrokken zijn sterk verminderen de tijd die nodig is om de sedimentatie van bloedcellen of andere materialen veroorzaken.

natuurlijk is een netto externe kracht nodig om een versnelling te veroorzaken, net zoals Newton voorstelde in zijn tweede bewegingswet. Dus een netto externe kracht is nodig om een centripetale versnelling te veroorzaken. In centripetale kracht, zullen we de krachten die betrokken zijn bij cirkelvormige beweging overwegen.

Phet exploraties: lieveheersbeestje beweging 2D

Leer Over positie, snelheid en versnelling vectoren. Beweeg het lieveheersbeestje door de positie, snelheid of versnelling in te stellen, en zie hoe de vectoren veranderen. Kies lineaire, cirkelvormige of elliptische beweging en neem de beweging op en speel deze af om het gedrag te analyseren.

Ladybug Motion 2D screenshot.

klik op de afbeelding om te downloaden. Gebruik Java om de simulatie uit te voeren.

Sectieoverzicht

  • centripetale acceleratie ac is de acceleratie die wordt ervaren in uniforme cirkelvormige beweging. Het wijst altijd naar het middelpunt van de rotatie. Het staat loodrecht op de lineaire snelheid v en heeft de magnitude {a}_{\text{c}}=\frac{{v}^{2}}{r}; {a}_{\text{c}}={\mathrm{r \ omega}} ^{2}\\.
  • de eenheid van centripetale versnelling is m / s2.

conceptuele vragen

  1. kan de versnelling van het centripetaal de snelheid van de cirkelbeweging veranderen? Leggen.

problemen & oefeningen

  1. een kermisrit draait de inzittenden in een container in de vorm van een vliegende schotel. Als het horizontale cirkelvormige pad dat de renners volgen een straal van 8.00 m heeft, hoeveel omwentelingen per minuut worden de renners dan blootgesteld aan een centripetale versnelling met een magnitude van 1,50 keer die vanwege de zwaartekracht?
  2. een loper die deelneemt aan het streepje over 200 m moet rond het einde van een circuit lopen met een cirkelvormige boog met een kromtestraal van 30 m. als hij het streepje over 200 m in 23,2 s voltooit en tijdens de hele race met constante snelheid rijdt, Wat is de omvang van zijn acceleratie in het midden van het circuit als hij het gebogen gedeelte van het circuit loopt?
  3. uitgaande van de leeftijd van de aarde tot ongeveer 4 × 109 jaar en uitgaande van zijn baanstraal van 1.5 × 1011 is niet veranderd en is cirkelvormig, bereken de geschatte totale afstand die de aarde heeft afgelegd sinds zijn geboorte (in een referentiekader stationaire ten opzichte van de zon).de propeller van een gevechtsvliegtuig uit de Tweede Wereldoorlog heeft een diameter van 2,30 m. (A) Wat is de hoeksnelheid in radialen per seconde als het draait bij 1200 omw/min? (B) Wat is de lineaire snelheid van de punt bij deze hoeksnelheid als het vlak stilstaat op het asfalt? (C) Wat is de centripetale versnelling van de propellertip onder deze omstandigheden? Bereken het in vierkante meters per seconde en converteer naar veelvouden van g.
  4. een gewone werkplaatslijpsteen heeft een straal van 7,50 cm en draait bij 6500 omw / min. (a) Bereken de grootte van de centripetale versnelling aan zijn Rand in meters per seconde kwadraat en zet deze om in veelvouden van g. (B) Wat is de lineaire snelheid van een punt op zijn Rand?
  5. Helicopterbladen zijn bestand tegen enorme spanningen. Naast het ondersteunen van het gewicht van een helikopter, worden ze gesponnen op snelle snelheid en ervaren grote centripetale versnellingen, vooral aan de punt. (a) Bereken de magnitude van de centripetale versnelling aan de punt van een 4.00 m lang helikopterblad dat bij 300 omw/min roteert. b) vergelijk de lineaire snelheid van de punt met de geluidssnelheid (gemeten op 340 m/s).
  6. Olympische schaatsers kunnen draaien met ongeveer 5 omw / s. (a) Wat is hun hoeksnelheid in radialen per seconde? (B) Wat is de centripetale versnelling van de neus van de schaatser als het 0,120 m van de rotatieas is? (c) een uitzonderlijke schaatser genaamd Dick Button was in staat om veel sneller te draaien in de jaren 1950 dan iedereen Sinds—op ongeveer 9 rev/s. Wat was de centripetale versnelling van het puntje van zijn neus, ervan uitgaande dat het een straal van 0,120 m heeft? (d) commentaar geven op de grootte van de gevonden versnellingen. Het is bekend dat knop scheurde kleine bloedvaten tijdens zijn spins.
  7. welk percentage van de versnelling aan het aardoppervlak is de versnelling als gevolg van de zwaartekracht op de positie van een satelliet die zich 300 km boven de aarde bevindt?
  8. Controleer of de lineaire snelheid van een ultracentrifuge ongeveer 0,50 km/s is, en de aarde in zijn baan ongeveer 30 km/s door te berekenen: (a) de lineaire snelheid van een punt op een ultracentrifuge 0.100 m van het centrum, draaiend bij 50.000 omw/min; (b) de lineaire snelheid van de aarde in zijn baan om de zon (gebruik gegevens uit de tekst over de straal van de baan van de aarde en benader deze als cirkelvormig).
  9. een roterend ruimtestation zou “kunstmatige zwaartekracht” creëren—een losjes gedefinieerde term die gebruikt wordt voor een versnelling die ruw lijkt op zwaartekracht. De buitenmuur van het roterende ruimtestation zou een vloer worden voor de astronauten, en de centripetale versnelling die door de vloer wordt geleverd, zou astronauten in staat stellen om spieren en botten natuurlijker te trainen en te behouden dan in niet-roterende ruimteomgevingen. Als het ruimtestation 200 m in diameter heeft, welke hoeksnelheid zou dan een “kunstmatige zwaartekracht” van 9,80 m/s2 aan de rand produceren?
  10. bij het opstijgen heeft een commerciële jet een snelheid van 60,0 m/s. De banden hebben een diameter van 0,850 m. (a)bij hoeveel omw/min draaien de banden? (B) Wat is de centripetale acceleratie aan de rand van de band? c) met welke kracht moet een bepaalde bacterie van 1,00 × 10-15 kg aan de rand blijven hangen? (d) neem de verhouding van deze kracht tot het gewicht van de bacterie.
  11. geïntegreerde Concepten. Ruiters in een pretpark rijden in de vorm van een Vikingschip opgehangen aan een grote pivot worden heen en weer gedraaid als een stijve slinger. Ergens in het midden van de rit is het schip tijdelijk bewegingloos aan de bovenkant van zijn cirkelboog. Het schip slingert dan onder invloed van de zwaartekracht naar beneden. (a) uitgaande van verwaarloosbare wrijving, vindt u de snelheid van de rijders aan de onderkant van de boog, gezien het middelpunt van de massa van het systeem reist in een boog met een straal van 14,0 m en de rijders zijn in de buurt van het middelpunt van de massa. (B) Wat is de centripetale versnelling aan de onderkant van de boog? (C) teken een vrij lichaam diagram van de krachten die op een ruiter aan de onderkant van de boog. (d) vind de kracht die de rit uitoefent op een rijder van 60,0 kg en vergelijk deze met haar gewicht. e) bespreken of het antwoord redelijk lijkt.
  12. onredelijke resultaten. Een moeder duwt haar kind op een schommel zodat zijn snelheid 9 is.00 m / s op het laagste punt van zijn pad. De schommel hangt 2,00 m boven het middelpunt van de massa van het kind. (A) Wat is de grootte van de centripetale versnelling van het kind op het dieptepunt? (b) Wat is de omvang van de kracht die het kind uitoefent op de stoel als zijn massa 18,0 kg is? (C) Wat is onredelijk aan deze resultaten? d) welke premissen zijn onredelijk of inconsistent?

verklarende woordenlijst

centripetale acceleratie: de acceleratie van een object dat beweegt in een cirkel, gericht op het centrum

ultracentrifuge: een centrifuge, geoptimaliseerd voor het draaien van een rotor bij zeer hoge snelheden

geselecteerde oplossingen voor problemen & oefeningen

1. 12,9 rev/min

3. 4 × 1021 m

5. a) 3,47 × 104 m/s2, 3,55 × 103 g; b) 51,1 m/s

7. (a) 3,14 rad/s; (b) 118 m/s; (c)384 m/s; (d) de centripetale acceleratie die Olympische skaters ervaren is 12 keer groter dan de acceleratie als gevolg van de zwaartekracht. Dat is nogal wat versnelling op zich. De centripetale acceleratie door Buttons neus was 39,2 keer groter dan de acceleratie door zwaartekracht. Het is geen wonder dat hij kleine bloedvaten scheurde in zijn Draaiingen.

9. (a) 0,524 km/s; (b) 29,7 km/s

11. a) 1,35 × 103 tpm; b) 8,47 × 103 m/s2; c) 8,47 × 10-12 N; d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19,6 m/s2;

(c)

een rechthoek met een basis langer dan de hoogte. Een verticale lijn met pijlpunten aan beide uiteinden loopt door de rechthoek en snijdt de horizontale zijden in tweeën. De bovenkant van de pijl is n, en de onderkant is W. ;

(d) 1,76 × 103 N of 3,00 w, dat wil zeggen, de normale kracht (naar boven) is drie keer haar gewicht; (e) Dit antwoord lijkt redelijk, omdat ze voelt alsof ze wordt gedwongen in de stoel veel sterker dan alleen door de zwaartekracht.

13. (a) 40,5 m/s2; (B) 905 N; (c) de kracht in Deel (b) is zeer groot. De acceleratie in deel (a) is te veel, ongeveer 4 g; (d) De snelheid van de swing is te groot. Bij de gegeven snelheid aan de onderkant van de schommel is er genoeg kinetische energie om het kind helemaal over de top te sturen, waarbij wrijving wordt genegeerd.