Articles

Fizyka

by admin

wiemy z kinematyki, że przyspieszenie jest zmianą prędkości, albo w jej wielkości, albo w jej kierunku, albo w obu tych kierunkach. W równomiernym ruchu kołowym kierunek prędkości zmienia się stale, więc zawsze występuje związane z tym przyspieszenie, nawet jeśli wielkość prędkości może być stała. Sam doświadczasz tego przyspieszenia, kiedy skręcasz w swoim samochodzie. (Jeśli trzymasz koło nieruchomo podczas skrętu i poruszasz się ze stałą prędkością, jesteś w jednolitym ruchu kołowym.) To, co zauważysz, to boczne przyspieszenie, ponieważ ty i samochód zmieniacie kierunek. Im ostrzejsza krzywa i większa prędkość, tym bardziej zauważalne będzie to przyspieszenie. W tej sekcji badamy kierunek i wielkość tego przyspieszenia.

Rysunek 1 przedstawia obiekt poruszający się po ścieżce kołowej ze stałą prędkością. Kierunek chwilowej prędkości jest pokazany w dwóch punktach wzdłuż ścieżki. Przyspieszenie jest w kierunku zmiany prędkości, która wskazuje bezpośrednio na środek obrotu (środek ścieżki kołowej). Wskazywanie to jest pokazane z diagramem wektorowym na rysunku. Przyspieszenie obiektu poruszającego się w równomiernym ruchu kołowym (wynikającym z siły zewnętrznej sieci) nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (ac); dośrodkowe oznacza „w kierunku środka” lub „szukanie środka.”

podany rysunek przedstawia okrąg, w którym trójkąt ma wierzchołki A B C wykonane od środka do granicy. A jest w środku, a punkty B I C są na ścieżce okręgu. Linie A B I C działają jak promienie, A B C jest akordem. Delta Teta jest pokazana wewnątrz trójkąta, a długość łuku delta s I Długość akordu delta r są również podane. W punkcie B prędkość obiektu jest pokazana jako v jeden, a w punkcie C Prędkość obiektu jest pokazana jako v dwa. Wzdłuż okręgu równanie jest pokazane jako delta v równa się v sub 2 minus V sub 1.

Rysunek 1. Pokazane są kierunki prędkości obiektu w dwóch różnych punktach, a zmiana prędkości Δv wskazuje bezpośrednio na środek krzywizny. (Patrz mała wstawka.) Ponieważ AC = Δv / Δt, przyspieszenie jest również w kierunku środka; ac nazywa się przyspieszeniem dośrodkowym. (Ponieważ Δθ jest bardzo mała, długość łuku Δs jest równa długości akordu Δr dla małych różnic czasowych.)

kierunek przyspieszenia dośrodkowego jest w kierunku środka krzywizny, ale jaka jest jego wielkość? Zauważ, że trójkąt utworzony przez wektory prędkości i trójkąt utworzony przez promienie R I Δs są podobne. Oba Trójkąty ABC i PQR są trójkątami równoramiennymi (dwa równe boki). Dwa równe boki trójkąta wektora prędkości są prędkościami v1 = v2 = v. używając właściwości dwóch podobnych trójkątów otrzymujemy \frac {\Delta{v}} {v}=\frac {\Delta{S}} {r}\\.

przyspieszenie wynosi \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\\, więc najpierw rozwiązujemy to wyrażenie dla Δv:

\displaystyle\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta{S}\\.

następnie dzielimy to przez Δt, dając

\displaystyle\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{v}{r}\times\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\\.

wreszcie, zauważając, że \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=a_c\\ i że \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=V\\, Prędkość liniowa lub styczna, widzimy, że wielkość przyspieszenia dośrodkowego wynosi

{a}_c=\frac{V^2}{r}\\,

czyli przyspieszenie obiektu w okręgu o promieniu r przy prędkości V. Tak więc, przyspieszenie dośrodkowe jest większe przy dużych prędkościach i na ostrych zakrętach(mniejszy promień), jak zauważyłeś podczas jazdy samochodem. Ale jest to nieco zaskakujące, że ac jest proporcjonalny do prędkości do kwadratu, co oznacza, na przykład, że jest cztery razy trudniej wykonać krzywą przy 100 km / h niż przy 50 km / h. ostry zakręt ma mały promień, więc ac jest większy dla ciaśniejszych zakrętów, jak prawdopodobnie zauważyłeś.

przydatne jest również wyrażenie ac w kategoriach prędkości kątowej. Podstawiając v = rw do powyższego wyrażenia, znajdujemy a_c = \frac {\left (r\omega\right)^2}{r} = r\omega^2\\. Możemy wyrazić wielkość przyspieszenia dośrodkowego za pomocą jednego z dwóch równań:

\displaystyle{A}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\.

przypomnij sobie, że kierunek ac jest w kierunku środka. Możesz użyć dowolnego wyrażenia, które jest wygodniejsze, jak pokazano w przykładach poniżej.

Wirówka (patrz rysunek 2b) jest urządzeniem obrotowym służącym do oddzielania próbek o różnych gęstościach. Wysokie przyspieszenie dośrodkowe znacznie skraca czas potrzebny na separację i umożliwia separację przy małych próbkach. Wirówki są stosowane w różnych zastosowaniach w nauce i medycynie, w tym do oddzielania zawiesin pojedynczych komórek, takich jak bakterie, wirusy i komórki krwi z ciekłego ośrodka i oddzielania makrocząsteczek, takich jak DNA i białko, z roztworu. Wirówki są często oceniane pod względem przyspieszenia dośrodkowego w stosunku do przyspieszenia grawitacyjnego (g); maksymalne przyspieszenie dośrodkowe rzędu kilkuset tysięcy g jest możliwe w próżni. Wirówki ludzkie, bardzo duże wirówki, były używane do testowania tolerancji astronautów na skutki przyspieszeń większych niż ziemska grawitacja.

przykład 1. W jaki sposób przyspieszenie dośrodkowe samochodu Wokół krzywej porównuje się z przyspieszeniem grawitacyjnym?

jaka jest wielkość przyspieszenia dośrodkowego samochodu po łuku o promieniu 500 m przy prędkości 25,0 m/s (około 90 km/h)? Porównaj przyspieszenie z przyspieszeniem grawitacyjnym dla tego dość łagodnego zakrętu przy prędkości na autostradzie. Patrz rysunek 2a.

Strategia

ponieważ podano v i r, pierwsze wyrażenie w \displaystyle{A}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ jest najwygodniejsze w użyciu.

rozwiązanie

wprowadzenie podanych wartości v = 25.0 m/s i r=500 m do pierwszego wyrażenia ac daje

\displaystyle{A}_c=\frac{V^2}{r}=\frac{\left(25.0\text{ m/s}\right)^2}{500\text{ m}}=1.25\text{ m/s}^2\\.

dyskusja

aby porównać to z przyspieszeniem grawitacyjnym (g = 9,80 m / s2), bierzemy stosunek \displaystyle\frac{a_c}{g}=\frac{\left(1.25 \ text{ m / s}^2 \ right)} {\left (9.80 \ text{ m / s}^2\right)}=0.128\\. Tak więc ac=0,128 g i jest zauważalny, zwłaszcza jeśli nie nosisz pasów bezpieczeństwa.

na rysunku a samochód pokazany od góry biegnie po okrągłej drodze wokół okrągłej ścieżki. Środek parku określa się jako środek tego okręgu, a odległość od tego punktu do samochodu przyjmuje się jako promień R. Prędkość liniowa jest pokazana w prostopadłym kierunku w kierunku przodu samochodu, pokazana jako v przyspieszenie dośrodkowe jest pokazane za pomocą strzałki skierowanej w kierunku środka obrotu. Na fig. b pokazano wirówkę obiekt o masie m obraca się w niej ze stałą prędkością. Obiekt znajduje się w odległości równej promieniu, r, wirówki. Przyspieszenie dośrodkowe jest pokazane w kierunku środka obrotu, a prędkość, v jest pokazana prostopadle do obiektu w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Rysunek 2. a) samochód poruszający się po torze kołowym ze stałą prędkością jest przyspieszany prostopadle do swojej prędkości, jak pokazano. Wielkość tego przyspieszenia dośrodkowego przedstawiono w przykładzie 1. B) cząstka masy w wirówce wiruje ze stałą prędkością kątową . Musi być przyspieszony prostopadle do swojej prędkości, w przeciwnym razie kontynuowałby w linii prostej. Wielkość niezbędnego przyspieszenia przedstawiono w przykładzie 2.

przykład 2. Jak duże jest przyspieszenie dośrodkowe w Ultracentrifuge?

Oblicz przyspieszenie dośrodkowe punktu 7.50 cm od osi ultracentryfugi wirującej z prędkością 7,5 × 104 obr/min. Określ stosunek tego przyspieszenia do tego spowodowanego grawitacją. Patrz rysunek 2b.

Strategia

termin obr/min oznacza obroty na minutę. Zamieniając to na radiany na sekundę, otrzymujemy prędkość kątową ω. Ponieważ r jest podane, możemy użyć drugiego wyrażenia w równaniu a_c = \frac{v^2}{r}; a_c = r\omega^2\\ do obliczenia przyspieszenia dośrodkowego.

rozwiązanie

do konwersji 7.50 × 104 obr / min do radianów na sekundę, używamy faktów, że jeden obrót to 20 rad, a jedna minuta to 60,0 s. Tak więc

\displaystyle\omega=7.50\times10^4\frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\text{ rad}}{1 \ text {rev}}\times\frac{1\text{ min}} {60.0 \ text{ s}}=7854 \ text {rad / s}\\ .

teraz przyspieszenie dośrodkowe jest podane przez drugie wyrażenie w

\displaystyle{A}_c=\frac{v^2}{r}; a_c=r\omega^2\\ as ac = rw2.

Konwersja 7,50 cm na metry i zastąpienie znanych wartości daje ac = (0,0750 m)(7854 rad/s)2 = 4.63 × 106 m/s2.

zwróć uwagę, że radiany bez jednostek są odrzucane w celu uzyskania odpowiednich jednostek dla przyspieszenia dośrodkowego. Biorąc stosunek ac do g daje

\frac{a_c}{g}=\frac{4.63\times10^6}{9.80}=4.72\times10^5\\.

dyskusja

ten ostatni wynik oznacza, że przyspieszenie dośrodkowe jest 472 000 razy większe niż g. nic dziwnego, że tak wysokie wirówki ω nazywane są ultracentryfugami. Niezwykle duże przyspieszenia związane znacznie skrócić czas potrzebny do spowodowania sedymentacji komórek krwi lub innych materiałów.

oczywiście, siła zewnętrzna netto jest potrzebna do wywołania dowolnego przyspieszenia, tak jak Newton zaproponował w swoim drugim prawie ruchu. Więc potrzebna jest siła zewnętrzna netto, aby spowodować przyspieszenie dośrodkowe. W sile dośrodkowej weźmiemy pod uwagę siły zaangażowane w ruch kołowy.

PhET: Biedronka Motion 2D

poznaj wektory położenia, prędkości i przyspieszenia. Przesuń biedronkę, ustawiając pozycję, prędkość lub przyspieszenie i zobacz, jak zmieniają się wektory. Wybierz ruch liniowy, kołowy lub eliptyczny, a następnie nagrywaj i odtwarzaj ruch w celu analizy zachowania.

zrzut ekranu Ladybug Motion 2D.

Kliknij obrazek, aby pobrać. Użyj Java do uruchomienia symulacji.

podsumowanie sekcji

  • przyspieszenie dośrodkowe ac to przyspieszenie doświadczane podczas jednolitego ruchu kołowego. Zawsze wskazuje na środek obrotu. Jest prostopadła do prędkości liniowej v i ma wielkość {a}_{\text {c}}= \ frac {{v}^{2}}{r};{a}_{\text {c}} = {\mathrm{r\omega }}^{2}\\.
  • jednostką przyspieszenia dośrodkowego jest m / s2.

pytania koncepcyjne

  1. czy przyspieszenie dośrodkowe może zmienić prędkość ruchu kołowego? Wyjaśnij.

problemy& ćwiczenia

  1. przejażdżka w wesołym miasteczku kręci się wewnątrz pojemnika w kształcie latającego spodka. Jeśli pozioma okrężna ścieżka, którą podążają zawodnicy, ma promień 8,00 m, przy ilu obrotach na minutę zawodnicy będą poddawani przyspieszeniu dośrodkowemu, którego wielkość jest 1,50 razy większa niż z powodu grawitacji?
  2. biegacz biorący udział w biegu na 200 m musi biec wokół końca toru, który ma okrągły łuk o promieniu krzywizny 30 m. jeśli ukończy bieg na 200 m w ciągu 23,2 s i biegnie ze stałą prędkością przez cały wyścig, jaka jest wielkość jego przyspieszenia dośrodkowego, gdy biegnie zakrzywioną częścią toru?
  3. biorąc wiek Ziemi na około 4 × 109 lat i zakładając jej promień orbitalny 1.5 × 1011 nie zmienił się i jest okrągły, obliczyć przybliżoną całkowitą odległość Ziemia przebyła od jego narodzin (w kadrze odniesienia stacjonarne w odniesieniu do Słońca).
  4. śmigło myśliwca z okresu II Wojny Światowej ma średnicę 2,30 m. a) jaka jest jego prędkość kątowa w radianach na sekundę, jeśli obraca się przy 1200 obr / min? b) jaka jest prędkość liniowa jego wierzchołka przy tej prędkości kątowej, jeśli płaszczyzna jest nieruchoma na asfalcie? c) jakie jest przyspieszenie dośrodkowe końcówki śruby napędowej w tych warunkach? Oblicz to w metrach na sekundę do kwadratu i Przelicz na wielokrotności g.
  5. zwykły szlifierka warsztatowa ma promień 7,50 cm i obraca się przy 6500 obr/min. (a) obliczyć wielkość przyspieszenia dośrodkowego na jego krawędzi w metrach na sekundę do kwadratu i przekształcić go w wielokrotności g. (B) jaka jest prędkość liniowa punktu na jego krawędzi?
  6. łopaty śmigłowców wytrzymują ogromne naprężenia. Oprócz podtrzymywania ciężaru śmigłowca, są one obracane z dużą szybkością i doświadczają dużych przyspieszeń dośrodkowych, szczególnie na czubku. (a) obliczyć wielkość przyspieszenia dośrodkowego na czubku łopaty śmigłowca o długości 4,00 m, która obraca się z prędkością 300 obr/min. B) porównać prędkość liniową końcówki z prędkością dźwięku (przyjmowaną jako 340 m / s).
  7. łyżwiarze olimpijscy są w stanie obracać się z prędkością około 5 obr / s. (a) jaka jest ich prędkość kątowa w radianach na sekundę? b) jakie jest przyspieszenie dośrodkowe nosa łyżwiarza, jeśli znajduje się 0,120 m od osi obrotu? (C) wyjątkowy łyżwiarz o imieniu Dick Button był w stanie kręcić się znacznie szybciej w 1950 roku niż ktokolwiek inny od tego czasu—przy około 9 obr/s. Jakie było przyspieszenie dośrodkowe czubka nosa, zakładając, że jest w promieniu 0,120 m? D) Skomentuj wielkości znalezionych przyspieszeń. Uważa się, że guzik pękł małe naczynia krwionośne podczas swoich obrotów.
  8. jaki procent przyspieszenia na powierzchni Ziemi jest przyspieszeniem grawitacyjnym w pozycji satelity znajdującego się 300 km nad ziemią?
  9. sprawdź, czy prędkość liniowa ultracentryfuge wynosi około 0,50 km/s, a ziemia na jej orbicie wynosi około 30 km / s, obliczając: (a) prędkość liniową punktu na ultracentryfuge 0.100 m od jej centrum, obracając się z prędkością 50 000 obr/ min; (b) prędkość liniową Ziemi na jej orbicie wokół Słońca (użyj danych z tekstu o promieniu orbity Ziemi i przybliżaj ją jako Okrężną).
  10. mówi się, że obrotowa Stacja Kosmiczna tworzy „sztuczną grawitację”—luźno zdefiniowany termin używany do przyspieszenia, które byłoby bardzo podobne do grawitacji. Zewnętrzna ściana obrotowej stacji kosmicznej stałaby się podłogą dla astronautów, a przyspieszenie dośrodkowe dostarczane przez podłogę pozwoliłoby astronautom ćwiczyć i utrzymywać siłę mięśni i kości bardziej naturalnie niż w nieobrotowych środowiskach kosmicznych. Jeśli stacja kosmiczna ma średnicę 200 m, jaka prędkość kątowa wytworzyłaby „Sztuczną grawitację” 9,80 m / s2 na krawędzi?
  11. przy starcie samolot komercyjny ma prędkość 60,0 m/s. Jego opony mają średnicę 0,850 m. (a) przy ilu obrotach/min obracają się opony? b) jakie jest przyspieszenie dośrodkowe na krawędzi opony? c) z jaką siłą określona bakteria 1,00 × 10-15 kg musi przylegać do obręczy? D) przyjąć stosunek tej siły do masy bakterii.
  12. koncepcje zintegrowane. Jeźdźcy w wesołym miasteczku w kształcie statku Wikingów zawieszonego na dużym pivocie obracają się tam iz powrotem jak sztywne wahadło. W połowie drogi statek jest chwilowo nieruchomy na szczycie okrągłego łuku. Statek następnie huśtał się pod wpływem grawitacji. (a) zakładając nieznaczne tarcie, znajdź prędkość jeźdźców na dnie łuku, biorąc pod uwagę, że środek masy układu przemieszcza się w łuku o promieniu 14,0 m, a jeźdźcy znajdują się w pobliżu środka masy. (b) jakie jest przyspieszenie dośrodkowe na dole łuku? c) narysuj diagram swobodnego ciała sił działających na jeźdźca na dole łuku. D) znaleźć siłę wywieraną przez jazdę na 60,0 kg jeźdźca i porównać ją z jego wagą. e) przedyskutować, czy odpowiedź wydaje się rozsądna.
  13. nierozsądne wyniki. Matka popycha dziecko na huśtawce, aby jego prędkość wynosiła 9.00 m / s w najniższym punkcie jego ścieżki. Huśtawka zawieszona jest 2,00 m nad środkiem masy dziecka. a) jaka jest wielkość przyspieszenia dośrodkowego dziecka w dolnym punkcie? b) jaka jest wielkość siły, jaką dziecko wywiera na siedzenie, jeśli jego masa wynosi 18,0 kg? (c) co jest nierozsądne w tych wynikach? d) które przesłanki są nierozsądne lub niespójne?

przyspieszenie dośrodkowe: przyspieszenie obiektu poruszającego się po okręgu, skierowane w kierunku środka

: Wirówka zoptymalizowana do wirowania wirnika przy bardzo dużych prędkościach

wybrane rozwiązania problemów & ćwiczenia

1. 12,9 obr / min

3. 4 × 1021 m

5. a) 3,47 × 104 m/s2, 3,55 × 103 g; b) 51,1 m/s

7. (a) 3.14 rad/s; (b) 118 m/s; (c)384 m/s; (d) przyspieszenie dośrodkowe odczuwane przez łyżwiarzy Olimpijskich jest 12 razy większe niż przyspieszenie spowodowane grawitacją. To spore przyspieszenie samo w sobie. Przyspieszenie dośrodkowe odczuwane przez nos Buttona było 39,2 razy większe niż przyspieszenie grawitacyjne. Nic dziwnego, że pękł małe naczynia krwionośne w swoich obrotach.

9. a) 0,524 km/S; b) 29,7 km/s

11. a) 1,35 × 103 obr / min; B) 8,47 × 103 m/s2; c) 8,47 × 10-12 N; d) 865

12. (a) 16,6 m/s; (b) 19,6 m/s2;

(c)

prostokąt o podstawie dłuższej niż wysokość. Pionowa linia z grotami na obu końcach przechodzi przez prostokąt, przecinając poziome boki. Góra strzałki jest oznaczona N, A dół jest oznaczony w.;

(d) 1,76 × 103 N lub 3,00 w, czyli normalna siła (w górę) jest trzykrotnie jej waga; (e) ta odpowiedź wydaje się rozsądna, ponieważ czuje, że jest zmuszana do krzesła znacznie silniejsza niż tylko grawitacja.

13. (a) 40,5 m/s2; (b) 905 N; (c) siła w części (b) jest bardzo duża. Przyspieszenie w części (a) jest zbyt duże, około 4 g; (d) prędkość huśtawki jest zbyt duża. Przy określonej prędkości na dole huśtawki, jest wystarczająco dużo energii kinetycznej, aby wysłać dziecko przez całą drogę na górę, ignorując tarcie.