Pitagoras i Diofantusedit

tryples pitagorejskiedit

w starożytności wiadomo było, że trójkąt, którego boki były w stosunku 3:4:5, miał kąt prosty jako jeden ze swoich kątów. Zostało to wykorzystane w budownictwie, a później we wczesnej geometrii. Był również znany jako przykład ogólnej zasady, że każdy trójkąt, w którym długość dwóch boków, każdy do kwadratu, a następnie sumowane razem (32 + 42 = 9 + 16 = 25), równa się Kwadratowi długości trzeciego boku (52 = 25), byłby również trójkątem pod kątem prostym.Jest to obecnie znane jako twierdzenie Pitagorasa, a potrójna liczba, która spełnia ten warunek, nazywa się potrójną Pitagorasa-obie nazwy pochodzą od starożytnego greckiego Pitagorasa. Przykłady obejmują (3, 4, 5) i (5, 12, 13). Istnieje nieskończenie wiele takich trójek, a metody ich generowania zostały zbadane w wielu kulturach, począwszy od Babilończyków, a później starożytnych greckich, chińskich i indyjskich matematyków. Matematycznie, definicja trójki pitagorejskiej jest zbiorem trzech liczb całkowitych (A, b, c), które spełniają równanie a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

równania Diofantynoweedit

równanie Fermata, xn + yn = zn z dodatnimi rozwiązaniami całkowitymi, jest przykładem równania Diofantyny, nazwanego na cześć Aleksandryjskiego matematyka Diofantus, który badał je i opracował metody rozwiązywania niektórych rodzajów równań Diofantycznych. Typowym problemem Diofantyny jest znalezienie dwóch liczb całkowitych x i y takich, że ich suma i suma ich kwadratów są równe odpowiednio dwóm liczbom a i B:

A = x + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B = x^{2}+y^{2}.}

głównym dziełem Diophantus jest arytmetyka, z której zachowała się tylko część. Przypuszczenie Fermata dotyczące jego ostatniego twierdzenia zostało zainspirowane czytaniem nowego wydania arytmetyki, które zostało przetłumaczone na łacinę i opublikowane w 1621 roku przez Claude ’ a Bacheta.

równania Diofantynowe badane są od tysięcy lat. Na przykład rozwiązania kwadratowego równania Diofantyny x2 + y2 = Z2 są podane przez trójki pitagorejskie, pierwotnie rozwiązane przez Babilończyków (ok. 1800 p. n. e.). Rozwiązania liniowych równań Diofantynowych, takie jak 26x + 65y = 13, można znaleźć za pomocą algorytmu Euklidesa (ok. V w.p. n. e.).Wiele równań Diofantynowych ma postać zbliżoną do równania ostatniego twierdzenia Fermata z punktu widzenia algebry, ponieważ nie mają wyrazów krzyżowych mieszających dwie litery, bez dzielenia ich szczególnych właściwości. Na przykład wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych x, y i z takich, że xn + yn = zm, gdzie n I m są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi.

przypuszczenie Fermata

Problem II.8 w wydaniu arytmetyki Diofantus z 1621 roku. Po prawej stronie znajduje się margines, który był zbyt mały, aby zawierał domniemany dowód fermata na jego „ostatnie twierdzenie”.

Problem II.8 arytmetyki pyta, jak dana liczba kwadratowa jest podzielona na dwa inne kwadraty; innymi słowy, dla danej liczby wymiernej K, znajdź Liczby wymierne u i v takie, że k2 = u2 + v2. Diofant pokazuje, jak rozwiązać ten problem z kwadratami dla k = 4 (rozwiązania u = 16/5 i v = 12/5).

Około 1637 roku, zaprojektowany, aby umożliwić napisanie swojego ostatniego twierdzenia na marginesie swojej kopii „arytmetyki” obok problemu Diofanta „jestem z kwadratów”:

Po śmierci Fermata w 1665 roku, jego syn Clément-Samuel Fermat wydał nowe wydanie książki (1670) wzbogacone o komentarze ojca. Chociaż nie było to twierdzenie w tym czasie (czyli twierdzenie matematyczne, dla którego istnieje dowód), notatka marginesu stała się znana z czasem jako ostatnie twierdzenie Fermata, ponieważ było to ostatnie twierdzenie fermata, które nie zostało udowodnione.

nie wiadomo, czy Fermat rzeczywiście znalazł poprawny dowód dla wszystkich wykładników n, ale wydaje się to mało prawdopodobne. Przetrwał tylko jeden powiązany z nim dowód, mianowicie dla przypadku n = 4, jak opisano w sekcji dowody dla konkretnych wykładników.Podczas gdy FERMAT stawiał przypadki n = 4 i N = 3 jako wyzwania dla swoich matematycznych korespondentów, takich jak Marin Mersenne, Blaise Pascal i John Wallis, nigdy nie przedstawił ogólnego przypadku. Co więcej, w ciągu ostatnich trzydziestu lat swojego życia Fermat nigdy więcej nie napisał o swoim „prawdziwie cudownym dowodzie” ogólnej sprawy i nigdy go nie opublikował. Van der poorten sugeruje, że chociaż brak dowodu jest nieistotny, brak wyzwań oznacza, że FERMAT zdał sobie sprawę, że nie ma dowodu; cytuje Weila, mówiąc, że FERMAT musiał na krótko oszukać się nieodwracalną ideą.

techniki, które Fermat mógł zastosować w takim „cudownym dowodzie”, nie są znane.

dowód Taylora i Wilesa opiera się na technikach XX-wiecznych. Dowód fermata musiałby być elementarny przez porównanie, biorąc pod uwagę matematyczną wiedzę jego czasów.

podczas gdy wielkie przypuszczenie Harveya Friedmana sugeruje, że każde udowodnione twierdzenie (w tym ostatnie twierdzenie Fermata) może być udowodnione tylko za pomocą 'elementarnej arytmetyki funkcji’, taki dowód musi być 'elementarny’ tylko w sensie technicznym i może obejmować miliony kroków, a zatem być zbyt długi, aby mógł być dowodem Fermata.

dowody dla konkretnych wykładnikówedytuj

nieskończone zejście Fermata dla ostatniego twierdzenia fermata N=4 1670 wydanie Arithmetica diophantus (S. 338-339).

Exponent = 4Edit

przetrwał tylko jeden istotny dowód fermata, w którym używa techniki nieskończonego opadania, aby pokazać, że pole trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych nigdy nie może być równe Kwadratowi liczby całkowitej. Jego dowód jest równoważny wykazaniu, że równanie

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4} – y^{4} = z^{2}}

nie ma prymitywnych rozwiązań w liczbach całkowitych (nie ma parowych rozwiązań koprime). Z kolei dowodzi to ostatniego twierdzenia Fermata dla przypadku n = 4, ponieważ równanie A4 + b4 = c4 można zapisać jako C4 − b4 = (A2)2.

alternatywne dowody sprawy n = 4 opracowali później Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe vrănceanu (1966), Grant i Perella (1999), Barbara (2007) i Dolan (2011).

Inne wykładniki

po udowodnieniu przez Fermata szczególnego przypadku N = 4, ogólny dowód dla wszystkich N wymagał jedynie ustalenia twierdzenia dla wszystkich nieparzystych wykładników pierwszych. Innymi słowy, konieczne było udowodnienie tylko tego, że równanie a + bn = cn nie ma dodatnich rozwiązań całkowitych (a, b, c), gdy n jest nieparzystą liczbą pierwszą. Wynika to z faktu, że rozwiązanie (a, b, c)dla danego n jest równoważne rozwiązaniu dla wszystkich czynników N. dla ilustracji, niech N będzie podzielone na d i e, n = de. Ogólne równanie

an + BN = cn

zakłada, że (ad, bd, cd) jest rozwiązaniem dla wykładnika E

(ad)e + (bd)e = (cd)E.

zatem, aby udowodnić, że równanie Fermata nie ma rozwiązań dla n > 2, wystarczy udowodnić, że nie ma rozwiązań dla co najmniej jednego czynnika pierwszego z każdego N. każda liczba całkowita n > 2 jest podzielne przez 4 lub przez nieparzystą liczbę pierwszą (lub obie). Dlatego też ostatnie twierdzenie Fermata może być udowodnione dla wszystkich n, jeśli może być udowodnione dla N = 4 i dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych P.

w dwóch wiekach po jego domysłach (1637-1839), Ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione dla trzech nieparzystych wykładników pierwszych p = 3, 5 i 7. Przypadek p = 3 został po raz pierwszy stwierdzony przez Abu-Mahmuda Khojandiego (X wiek), ale jego próba udowodnienia twierdzenia była błędna. W 1770 roku Leonhard Euler podał dowód p = 3, ale jego dowód przez nieskończone zejście zawierał dużą lukę. Ponieważ jednak sam Euler udowodnił lemat niezbędny do uzupełnienia dowodu w innych pracach, przypisuje mu się zwykle pierwszy dowód. Niezależne dowody opublikowali Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) i Duarte (1944).

przypadek p = 5 udowodnili niezależnie Legendre i Peter Gustav Lejeune Dirichlet około 1825 roku. Alternatywne dowody opracowali Carl Friedrich Gauss (1875, pośmiertnie), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915) i Guy Terjanian (1987).

przypadek p = 7 został udowodniony przez Lamé w 1839 roku. Jego dość skomplikowany dowód został uproszczony w 1840 przez Lebesgue ’ a, a jeszcze prostsze dowody opublikował Angelo Genocchi w 1864, 1874 i 1876. Alternatywne dowody opracowali Théophile Pépin (1876) i Edmond Maillet (1897).

Ostatnie twierdzenie Fermata zostało również udowodnione dla wykładników n = 6, 10 i 14. Dowody dla n = 6 opublikowali Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift i Breusch. Podobnie Dirichlet i Terjanian udowodnili przypadek n = 14, podczas gdy Kapferer i Breusch udowodnili przypadek N = 10. Ĺ ” ciĹ ” le mĂłwiÄ … c, dowody te sÄ … niepotrzebne, poniewaĺľ przypadki te wynikajÄ … z dowodăłw odpowiednio dla N = 3, 5 i 7. Niemniej jednak rozumowanie tych dowodów parzystych różni się od ich nieparzystych odpowiedników. Dowód Dirichleta dla n = 14 został opublikowany w 1832, przed dowodem Lamé ’ a z 1839 dla N = 7.

wszystkie dowody dla konkretnych wykładników wykorzystywały technikę nieskończonego opadania Fermata, zarówno w jego pierwotnej postaci, jak i w postaci opadania na krzywych eliptycznych lub odmianach Abelowych. Szczegóły i argumenty pomocnicze były jednak często doraźne i związane z rozpatrywanym wykładnikiem. Ponieważ stały się one coraz bardziej skomplikowane wraz ze wzrostem p, wydawało się mało prawdopodobne, aby ogólny przypadek ostatniego twierdzenia Fermata mógł zostać udowodniony poprzez zbudowanie dowodów na poszczególne wykładniki. Chociaż niektóre ogólne wyniki ostatniego twierdzenia Fermata zostały opublikowane na początku XIX wieku przez Nielsa Henrika Abla i Petera Barlowa, pierwszą znaczącą pracę nad ogólnym twierdzeniem wykonała Sophie Germain.

wczesne współczesne przełomyedit

Sophie GermainEdit

na początku XIX wieku Sophie Germain opracowała kilka nowatorskich podejść, aby udowodnić Ostatnie twierdzenie Fermata dla wszystkich wykładników. Najpierw zdefiniowała zbiór pomocniczych liczb pierwszych θ {\displaystyle \theta }

zbudowany z wykładnika pierwszego p {\displaystyle p}

równaniem θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2HP+1}

, gdzie h {\displaystyle H}

jest dowolną liczbą całkowitą niepodzielną przez trzy. Pokazała, że jeśli żadna liczba całkowita Nie podniesiona do p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

potęga sąsiaduje z modulo θ {\displaystyle \theta }

ępnie θ {\displaystyle \Theta}

musi podzielić iloczyn x y z {\displaystyle xyz}

. Jej celem było wykorzystanie indukcji matematycznej do udowodnienia, że dla dowolnego P {\displaystyle p}

, nieskończenie wiele pomocniczych liczb pierwszych θ {\displaystyle \theta }

spełniło warunek nieukładania się i w ten sposób podzieliło X y z {\displaystyle xyz}

; ponieważ iloczyn x y z {\displaystyle xyz}

może mieć co najwyżej skończoną liczbę czynników pierwszych, taki dowód mógłby ustalić Ostatnie twierdzenie fermata. Mimo że opracowała wiele technik ustalania stanu braku konsekutywności, nie udało jej się osiągnąć swojego strategicznego celu. Pracowała również nad ustaleniem niższych granic wielkości rozwiązań równania Fermata dla danego wykładnika p {\displaystyle p}

, którego zmodyfikowaną wersję opublikował Adrien-Marie Legendre. Jako produkt uboczny tej ostatniej pracy udowodniła twierdzenie Sophie Germain, które zweryfikowało pierwszy przypadek ostatniego twierdzenia Fermata (mianowicie przypadek, w którym p {\displaystyle p}

nie dzieli x y Z {\displaystyle xyz}

) dla każdego nieparzystego wykładnika PRIM mniejszego niż 270 {\displaystyle 270}

I dla wszystkich liczb pierwszych P {\displaystyle p}

takie, że co najmniej jeden z 2 p + 1 {\displaystyle 2P+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\styl wyświetlania 8p+1}

10 p + 1 {\styl wyświetlania 10p+ 1}

14 p + 1 {\styl wyświetlania 14p+1}

i 16 p + 1 {\styl wyświetlania 16p+1}

jest prosty (w szczególności liczby pierwsze p {\displaystyle p}

takie, że 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

jest liczbą pierwszą nazywa się liczbą pierwszą). Germain próbował bezskutecznie udowodnić pierwszy przypadek ostatniego twierdzenia Fermata dla wszystkich parzystych wykładników, w szczególności dla n=2 p {\displaystyle n=2P}

, co zostało udowodnione przez Guya Terjaniana w 1977 roku. W 1985 roku Leonard Adleman, Roger Heath-Brown i Étienne Fouvry udowodnili, że pierwszy przypadek ostatniego twierdzenia Fermata zawiera nieskończenie wiele nieparzystych liczb pierwszych p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer i teoria ideałówedit

w 1847 roku Gabriel Lamé przedstawił dowód ostatniego twierdzenia Fermata opartego na faktoringu równania xp + yp = zp w liczbach zespolonych, w szczególności pola cyklotomicznego opartego na korzeniach liczby 1. Jego dowód nie powiódł się jednak, ponieważ błędnie zakładał, że takie liczby zespolone można jednoznacznie podzielić na liczby pierwsze, podobne do liczb całkowitych. Tę lukę od razu wskazał Joseph Liouville, który później przeczytał pracę, która wykazała tę porażkę unikalnej faktoryzacji, napisaną przez Ernsta Kummera.

Kummer postawił sobie za zadanie ustalenie, czy pole cyklotomiczne można uogólnić na nowe liczby pierwsze, tak aby przywrócono unikalną faktoryzację. Udało mu się to zadanie, rozwijając liczby idealne.

(Uwaga: często mówi się, że Kummer został doprowadzony do jego „idealnych liczb zespolonych” przez jego zainteresowanie ostatnim twierdzeniem Fermata; jest nawet historia często opowiadana, że Kummer, podobnie jak Lamé, wierzył, że udowodnił Ostatnie twierdzenie fermata, dopóki Lejeune Dirichlet nie powiedział mu, że jego argument opierał się na unikalnej faktoryzacji; ale historia została po raz pierwszy opowiedziana przez Kurta Hensela w 1910 roku, a dowody wskazują, że prawdopodobnie pochodzi z zamieszania przez jedno ze źródeł Hensela. Harold Edwards twierdzi, że przekonanie, że Kummer był głównie zainteresowany ostatnim twierdzeniem Fermata „jest z pewnością błędne”. Zobacz historię liczb idealnych.)

wykorzystując ogólne podejście przedstawione przez Lamé ’ a, Kummer udowodnił oba przypadki ostatniego twierdzenia Fermata dla wszystkich regularnych liczb pierwszych. Nie był jednak w stanie udowodnić twierdzenia dla liczb wyjątkowych (liczb nieregularnych), które teoretycznie występują w około 39% przypadków; jedynymi nieregularnymi liczbami pierwotnymi poniżej 270 są 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 i 263.

hipoteza Mordellaedytuj

w latach 20.Louis Mordell wysunął przypuszczenie, że równanie Fermata ma co najwyżej skończoną liczbę nietrywialnych prymitywnych rozwiązań całkowitych, jeśli wykładnik N jest większy od dwóch. Przypuszczenie to zostało udowodnione w 1983 roku przez Gerda Faltinga i jest obecnie znane jako twierdzenie Faltinga.

studia Obliczenioweedytuj

w drugiej połowie XX wieku metody obliczeniowe zostały wykorzystane do rozszerzenia podejścia Kummera do nieregularnych liczb pierwszych. W 1954 Harry Vandiver użył komputera SWAC do udowodnienia ostatniego twierdzenia Fermata dla wszystkich liczb pierwszych do 2521. Do 1978 roku Samuel Wagstaff rozszerzył tę liczbę na wszystkie liczby mniejsze niż 125 tys. Do 1993 roku ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione dla wszystkich liczb pierwszych poniżej czterech milionów.

jednak pomimo tych wysiłków i ich wyników nie istniał żaden dowód ostatniego twierdzenia Fermata. Dowody poszczególnych wykładników z natury nigdy nie mogłyby udowodnić ogólnego przypadku: nawet jeśli wszystkie wykładniki zostały zweryfikowane do bardzo dużej liczby X, wyższy wykładnik poza X może nadal istnieć, dla którego twierdzenie nie było prawdziwe. (Tak było w przypadku innych przypuszczeń z przeszłości i nie można tego wykluczyć w tym przypuszczeniu.)

związek z krzywymi eliptycznymiedit

strategia, która ostatecznie doprowadziła do udanego dowodu ostatniego twierdzenia Fermata, powstała z „zdumiewającego”:211 hipotezy Taniyama–Shimura–Weila, zaproponowanej około 1955 roku—co wielu matematyków uważało za niemożliwe do udowodnienia,: 223 i została połączona w latach 80.przez Gerharda Freya, Jeana-Pierre 'a Serre’ a i Kena Ribeta z równaniem Fermata. Dzięki częściowemu udowodnieniu tej hipotezy w 1994 roku, Andrew Wilesowi udało się ostatecznie udowodnić Ostatnie twierdzenie fermata, a także doprowadzić do pełnego dowodu przez innych na to, co jest obecnie znane jako twierdzenie o modułowości.

Taniyama–shimura–weil conjectureEdit

Główny artykuł: twierdzenie o modułowości

około 1955 roku japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama zaobserwowali możliwy związek między dwoma pozornie zupełnie odrębnymi gałęziami matematyki, krzywymi eliptycznymi i formami modułowymi. Wynikająca z tego hipoteza modularności (znana wówczas jako przypuszczenie Taniyamy–Shimury) stwierdza, że każda krzywa eliptyczna jest modularna, co oznacza, że może być powiązana z unikalną formą modularną.

związek został początkowo odrzucony jako mało prawdopodobny lub wysoce spekulatywny, ale został potraktowany poważniej, gdy teoretyk liczb André Weil znalazł dowody na jego poparcie, choć nie udowodnił tego; w rezultacie przypuszczenie było często znane jako przypuszczenie Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

nawet po uzyskaniu poważnej uwagi, przypuszczenie było postrzegane przez współczesnych matematyków jako niezwykle trudne lub być może niedostępne do udowodnienia.:203-205, 223, 226 na przykład, doktorant Wilesa John Coates stwierdza, że wydawało się to „niemożliwe do udowodnienia”,: 226 A Ken Ribet uważał się za „jednego z ogromnej większości ludzi, którzy wierzyli, że jest całkowicie niedostępny”, dodając, że „Andrew Wiles był prawdopodobnie jednym z niewielu ludzi na ziemi, którzy mieli czelność marzyć, że można rzeczywiście iść i udowodnić .”:223

twierdzenie Ribeta dla krzywych Freyaedytuj

główne artykuły: krzywa Freya i twierdzenie Ribeta

w 1984 roku Gerhard Frey zauważył związek między równaniem fermata a twierdzeniem modularności, które nadal było domysłem. Gdyby równanie Fermata miało jakieś rozwiązanie (a, b, c) Dla wykładnika p > 2, to można by wykazać, że półstabilna krzywa eliptyczna (obecnie znana jako Frey-Hellegouarch)

y2 = x(X-ap) (x + bp)

miałaby tak niezwykłe właściwości, że raczej nie byłaby modularna. Byłoby to sprzeczne z twierdzeniem modularności, które twierdziło, że wszystkie krzywe eliptyczne są modularne. Jako taki, Frey zauważył, że dowód hipotezy Taniyama–Shimura–Weil może jednocześnie udowodnić Ostatnie twierdzenie Fermata. Przez kontrapozycję, obalenie lub obalenie ostatniego twierdzenia Fermata obaliłoby hipotezę Taniyama-Shimura-Weila.

w prostym angielskim Frey wykazał, że jeśli intuicja na temat jego równania jest poprawna, to dowolny zbiór 4 liczb (a, b, c, n) zdolny do obalenia ostatniego twierdzenia Fermata może być również użyty do obalenia hipotezy Taniyama–Shimura–Weil. Dlatego, gdyby te ostatnie były prawdziwe, te pierwsze nie mogłyby zostać obalone, a także musiałyby być prawdziwe.

zgodnie z tą strategią, dowód ostatniego twierdzenia Fermata wymagał dwóch kroków. Po pierwsze, konieczne było udowodnienie twierdzenia modularności-lub przynajmniej udowodnienie tego dla typów krzywych eliptycznych, które zawierały równanie Freya (znane jako półstabilne krzywe eliptyczne). Powszechnie uważano, że jest to niemożliwe do udowodnienia przez współczesnych matematyków.: 203-205, 223, 226 po drugie, konieczne było wykazanie, że intuicja Freya jest poprawna: jeśli krzywa eliptyczna byłaby skonstruowana w ten sposób, używając zbioru liczb, które były rozwiązaniem równania Fermata, otrzymana krzywa eliptyczna nie mogłaby być modularna. Frey pokazał, że jest to wiarygodne, ale nie posunął się nawet do przedstawienia pełnego dowodu. Brakujący fragment (tzw. „hipoteza epsilona”, znana obecnie jako twierdzenie Ribeta) został zidentyfikowany przez Jean-Pierre 'a Serre’ a, który również dał prawie kompletny dowód, a Związek zaproponowany przez Freya został ostatecznie udowodniony w 1986 roku przez Kena Ribeta.

Po pracy Freya, Serre ’ a i Ribeta, to właśnie tutaj stały się sprawy:

• Ostatnie twierdzenie Fermata musiało zostać udowodnione dla wszystkich wykładników n, które były liczbami pierwszymi.
• twierdzenie o modułowości – jeśli udowodnione dla półstabilnych krzywych eliptycznych-oznaczałoby, że wszystkie półstabilne krzywe eliptyczne muszą być modułowe.
• twierdzenie Ribeta pokazało, że każde rozwiązanie równania Fermata dla liczby pierwszej może być użyte do utworzenia półprzezroczystej krzywej eliptycznej, która nie może być modularna;
• jedynym sposobem, w jaki oba te stwierdzenia mogą być prawdziwe, było to, że nie istniały żadne rozwiązania równania Fermata (ponieważ wtedy nie można było utworzyć takiej krzywej), co było tym, co powiedział ostatni twierdzenie Fermata. Ponieważ twierdzenie Ribeta zostało już udowodnione, oznaczało to, że dowód twierdzenia o modułowości automatycznie udowodniłby, że ostatnie twierdzenie Fermata również było prawdziwe.

ogólne proofEdit Wilesa

brytyjski matematyk Andrew Wiles.

główne artykuły: Andrew Wiles i Wiles 's proof of Fermat’ S Last Theorem

Ribet ’ s proof of the epsilon conjections1986 zrealizował pierwszy z dwóch celów zaproponowanych przez Freya. Po usłyszeniu o sukcesie Ribeta, Andrew Wiles, angielski matematyk z dziecięcą fascynacją ostatnim twierdzeniem Fermata, który pracował nad krzywymi eliptycznymi, postanowił zaangażować się w osiągnięcie drugiej połowy: udowodnienie szczególnego przypadku twierdzenia modularności (znanego wówczas jako przypuszczenie Taniyama–Shimura) dla półstabilnych krzywych eliptycznych.

Wiles pracował nad tym zadaniem przez sześć lat w prawie całkowitej tajemnicy, ukrywając swoje wysiłki, publikując wcześniejsze prace w małych segmentach jako oddzielne dokumenty i powierzając tylko żonie.:229-230 jego wstępne badania sugerowały dowód przez indukcję,: 230-232, 249-252 i oparł swoją wstępną pracę i pierwszy znaczący przełom na teorii Galois: 251-253, 259 przed przejściem do próby rozszerzenia horyzontalnej teorii Iwasawy dla argumentu indukcyjnego około 1990-91, kiedy wydawało się, że nie ma istniejącego podejścia adekwatnego do problemu.: 258-259 jednak w połowie 1991 roku teoria Iwasawy również wydawała się nie docierać do głównych zagadnień w tym problemie.:259-260 w odpowiedzi zwrócił się do kolegów, aby poszukali wskazówek dotyczących najnowszych badań i nowych technik, i odkrył system Eulera niedawno opracowany przez Victora Kolyvagina i Matthiasa Flacha, który wydawał się „szyty na miarę” dla części indukcyjnej jego dowodu.: 260-261 Wiles studiował i rozszerzył to podejście, które działało. Ponieważ jego prace opierały się w dużej mierze na tym podejściu, które było nowe w matematyce i Wiles, w styczniu 1993 poprosił swojego kolegę z Princeton, Nicka Katza, o pomoc w sprawdzeniu jego rozumowania pod kątem subtelnych błędów. Ich wniosek w tym czasie było to, że techniki Wiles stosowane wydawało się działać poprawnie.:261-265

W połowie maja 1993 Wiles poczuł się w stanie powiedzieć żonie, że myślał, że rozwiązał dowód ostatniego twierdzenia Fermata,: 265, a w czerwcu czuł się wystarczająco pewnie, aby przedstawić swoje wyniki w trzech wykładach wygłoszonych w dniach 21-23 czerwca 1993 w Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. W szczególności Wiles przedstawił swój dowód na hipotezę Taniyamy-Shimury dla półprzezroczystych krzywych eliptycznych; wraz z dowodem Ribeta na hipotezę epsilona, implikowało to ostatnie twierdzenie Fermata. W trakcie wzajemnej oceny okazało się jednak, że krytyczny punkt dowodu jest nieprawidłowy. Zawierała błąd w wiązaniu na zlecenie określonej grupy. Błąd został złapany przez kilku matematyków recenzujących manuskrypt Wilesa, w tym Katza (w roli recenzenta), który zaalarmował Wilesa 23 sierpnia 1993 roku.

błąd nie uczyniłby jego pracy bezwartościową – każda część pracy Wilesa była bardzo znacząca i innowacyjna sama w sobie, podobnie jak wiele rozwiązań i technik, które stworzył w trakcie swojej pracy, i tylko jedna część została naruszona.:289, 296-297 jednak bez tej części udowodniono, nie było rzeczywistego dowodu ostatniego twierdzenia Fermata. Wiles spędził prawie rok próbując naprawić swój dowód, początkowo samodzielnie, a następnie we współpracy ze swoim byłym uczniem Richardem Taylorem, bez powodzenia. Pod koniec 1993 roku rozeszły się plotki, że pod kontrolą, dowód Wilesa nie powiódł się, ale jak poważnie nie było znane. Matematycy zaczęli naciskać na Wilesa, aby ujawnił jego pracę, czy była kompletna, czy nie, aby szersza społeczność mogła zbadać i wykorzystać to, co udało mu się osiągnąć. Ale zamiast być naprawionym, problem, który początkowo wydawał się niewielki, teraz wydawał się bardzo znaczący, znacznie poważniejszy i mniej łatwy do rozwiązania.

Wiles twierdzi, że rankiem 19 września 1994 roku był o krok od poddania się i prawie zrezygnował z zaakceptowania porażki i opublikowania swojej pracy, aby inni mogli ją wykorzystać i naprawić błąd. Dodaje, że miał ostateczne spojrzenie, aby spróbować zrozumieć podstawowe powody, dla których jego podejście nie może być wykonane do pracy, kiedy miał nagły wgląd-że konkretny powód, dla którego podejście Kolyvagin–Flach nie działa bezpośrednio, oznaczał również, że jego oryginalne próby z wykorzystaniem teorii Iwasawy mogą być wykonane do pracy, jeśli wzmocni ją za pomocą swojego doświadczenia zdobytego w podejściu Kolyvagin-Flach. Ustalenie jednego podejścia za pomocą narzędzi z drugiego podejścia rozwiązałoby problem dla wszystkich przypadków, które nie zostały jeszcze udowodnione przez jego referat. Opisał później, że teoria Iwasawy i podejście Kolyvagina–Flacha były niewystarczające same w sobie, ale razem mogły być wystarczająco potężne, aby pokonać tę ostatnią przeszkodę.

„siedziałem przy biurku badając metodę Kolyvagina–Flacha. To nie było tak, że wierzyłem, że mogę to zrobić, ale myślałem, że przynajmniej mogę wyjaśnić, dlaczego to nie działa. Nagle doznałem niesamowitego objawienia. Zdałem sobie sprawę, że metoda Kolyvagina–Flacha nie działa, ale to było wszystko, czego potrzebowałem, aby moja oryginalna teoria Iwasawy działała trzy lata wcześniej. Tak więc z popiołów Kolyvagin–Flach wydawało się podnieść prawdziwą odpowiedź na problem. To było tak nieopisanie piękne; to było tak proste i tak eleganckie. Nie mogłem zrozumieć, jak to przegapiłem i patrzyłem na to z niedowierzaniem przez dwadzieścia minut. Potem w ciągu dnia chodziłem po Wydziale i wracałem do mojego biurka, szukając, czy nadal tam jest. Wciąż tam był. Nie mogłam się powstrzymać, byłam taka podekscytowana. To był najważniejszy moment w moim życiu zawodowym. Nic, co zrobię, nie będzie tak wiele znaczyło.”- Andrew Wiles, cytowany przez Simona Singha

w dniu 24 października 1994, Wiles przesłał dwa rękopisy: „Modular elliptic curves and Fermat 'S Last Theorem” i „Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”, z których drugi był współautorem z Taylorem i udowodnił, że spełnione zostały pewne warunki, które były potrzebne do uzasadnienia skorygowanego kroku w głównym artykule. Obie prace zostały zweryfikowane i opublikowane jako całość w maju 1995 roku w wydaniu Annals of Mathematics. Prace te ustanowiły twierdzenie modularności dla półprzezroczystych krzywych eliptycznych, ostatni krok w udowodnieniu ostatniego twierdzenia Fermata, 358 lat po jego domysłach.

kolejne rozwojeedytuj

pełne przypuszczenie Taniyama–Shimura–Weil zostało ostatecznie udowodnione przez Diamond (1996) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFDiamond1996 (help), Conrad, Diamond & Taylor (1999) harvtxt error: multiple targets (2×): citerefconraddiamondtaylor1999 (pomoc) oraz Breuil et al. (2001)harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (Pomoc), który opierając się na pracy Wilesa, stopniowo rozdrabniał pozostałe przypadki, dopóki nie udowodniono pełnego wyniku. W pełni udowodnione przypuszczenie stało się znane jako twierdzenie o modułowości.

kilka innych twierdzeń w teorii liczb podobnych do ostatniego twierdzenia Fermata również wynika z tego samego rozumowania, używając twierdzenia modularności. Na przykład: żaden sześcian nie może być zapisany jako suma dwóch N-tych potęg, N ≥ 3. (Przypadek n = 3 był już znany przez Eulera.)