Pythagoras och DiophantusEdit

Pythagorean triplesEdit

i antiken var det känt att en triangel vars sidor var i förhållandet 3:4:5 skulle ha en rät vinkel som en av dess vinklar. Detta användes i konstruktion och senare i tidig geometri. Det var också känt för att vara ett exempel på en allmän regel att varje triangel där längden på två sidor, varje kvadrat och sedan läggas samman (32 + 42 = 9 + 16 = 25), lika kvadraten av längden på den tredje sidan (52 = 25), skulle också vara en rät vinkel triangel.Detta är nu känt som Pythagoras sats, och en trippel av siffror som uppfyller detta tillstånd kallas en Pythagoras trippel – båda är uppkallade efter de antika grekiska Pythagoras. Exempel inkluderar (3, 4, 5) och (5, 12, 13). Det finns oändligt många sådana tripplar, och metoder för att generera sådana tripplar har studerats i många kulturer, som börjar med babylonierna och senare antika grekiska, kinesiska och indiska matematiker. Matematiskt är definitionen av en Pythagoras trippel en uppsättning av tre heltal (a, b, c) som uppfyller ekvationen a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2} + b^{2}=c^{2}.}

diofantine equationsEdit

Fermats ekvation, xn + yn = zn med positiva heltal lösningar, är ett exempel på en Diophantine ekvation, uppkallad efter den 3: e århundradet alexandrinska matematiker, Diophantus, som studerade dem och utvecklade metoder för lösning av vissa typer av Diophantine ekvationer. Ett typiskt Diofantinproblem är att hitta två heltal x och y så att deras summa och summan av deras kvadrater är lika med två givna tal a respektive B:

A = x + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B=x^{2} + y^{2}.}

Diophantus stora verk är Arithmetica, av vilka endast en del har överlevt. Fermats gissning av hans sista sats inspirerades när han läste en ny utgåva av Arithmetica, som översattes till Latin och publicerades 1621 av Claude Bachet.

Diofantine ekvationer har studerats i tusentals år. Till exempel ges lösningarna på den kvadratiska Diofantine ekvationen x2 + y2 = z2 av Pythagoras tripplar, som ursprungligen löstes av babylonierna (c. 1800 f.Kr.). Lösningar på linjära Diofantinekvationer, såsom 26x + 65y = 13, kan hittas med hjälp av den euklidiska algoritmen (ca 5: e århundradet f. Kr.).Många Diofantine ekvationer har en form som liknar ekvationen för Fermats sista sats ur algebraens synvinkel, genom att de inte har några korsvillkor som blandar två bokstäver utan att dela dess speciella egenskaper. Det är till exempel känt att det finns oändligt många positiva heltal x, y och z så att xn + yn = zm där n och m är relativt primära naturliga tal.

Fermats conjectureEdit

Problem II.8 i Arithmetica frågar hur ett givet kvadratnummer delas upp i två andra rutor; med andra ord, för ett givet rationellt tal k, hitta rationella tal u och v så att k2 = u2 + v2. Diophantus visar hur man löser detta i ’ m-of-squares problem för k = 4 (lösningarna är u = 16/5 och v = 12/5).

runt 1637, utformad för att tillåta skrev sin sista sats i marginalen på hans kopia av aritmetiken bredvid Diophantus ’s I’ m-of-squares problem:

kub i två kubor, eller quadratoquadratum i två quadratoquadratos & generellt hållbart i oändligheten bortom kvadraten kraften i två med samma namn rätt är att dela upp problemet demonstration underbar detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

det är omöjligt att separera en kub i två kuber, eller en fjärde kraft i två fjärde krafter, eller i allmänhet någon kraft högre än den andra, i två liknande krafter. Jag har upptäckt ett verkligt fantastiskt bevis på detta, som denna marginal är för smal för att innehålla.

Efter Fermats död i 1665 producerade hans son Cl Cigarment-Samuel Fermat en ny upplaga av boken (1670) förstärkt med sin fars kommentarer. Även om det inte faktiskt var en sats vid den tiden (vilket betyder ett matematiskt uttalande för vilket bevis finns), blev marginalnoten känd över tiden som Fermats sista sats, eftersom det var den sista av Fermats hävdade satser att förbli obevisade.

det är inte känt om Fermat faktiskt hade hittat ett giltigt bevis för alla exponenter n, men det verkar osannolikt. Endast ett relaterat bevis av honom har överlevt, nämligen för fallet n = 4, som beskrivs i avsnittet bevis för specifika exponenter.Medan Fermat ställde Fallen n = 4 och n = 3 som utmaningar för sina matematiska korrespondenter, såsom Marin Mersenne, Blaise Pascal och John Wallis, ställde han aldrig det allmänna fallet. Dessutom skrev Fermat under de senaste trettio åren av sitt liv aldrig mer om sitt ”verkligt underbara bevis” på det allmänna fallet och publicerade aldrig det. Van der Poorten föreslår att även om frånvaron av ett bevis är obetydligt, innebär bristen på utmaningar att Fermat insåg att han inte hade ett bevis; han citerar Weil som säger att Fermat måste ha kort vilselett sig med en oåterkallelig ide.

teknikerna Fermat kan ha använt i ett sådant ”underbart bevis” är okända.

Taylor och Wiles bevis bygger på 20-talets tekniker. Fermats bevis skulle ha varit elementärt i jämförelse, med tanke på den matematiska kunskapen om hans tid.

medan Harvey Friedmans stora gissning innebär att någon bevisbar sats (inklusive Fermats sista sats) kan bevisas med endast ’elementär funktion aritmetik’, behöver ett sådant bevis vara ’elementärt’ endast i teknisk mening och kan involvera miljontals steg och därmed vara alldeles för lång för att ha varit Fermats bevis.

Proofs for specific exponentsEdit

Exponent = 4edit

endast ett relevant bevis av Fermat har överlevt, där han använder tekniken med oändlig nedstigning för att visa att området för en rätt triangel med heltalssidor aldrig kan motsvara kvadraten på ett heltal. Hans bevis motsvarar att visa att ekvationen

x 4-y 4 = z 2 {\displaystyle X^{4} – y^{4} = z^{2}}

har inga primitiva lösningar i heltal (inga parvisa coprime-lösningar). I sin tur bevisar detta Fermats sista sats för fallet n = 4, eftersom ekvationen A4 + b4 = c4 kan skrivas som c4 − b4 = (A2)2.

alternativa bevis på fallet n = 4 utvecklades senare av fr Jacobnicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), TH ubiofil p ubipin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel rychl Ubik (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe VR Ubignceanu (1966), Grant och Perella (1999), Barbara (2007) och Dolan (2011).

andra exponenterredigera

Efter Fermat bevisade specialfallet n = 4, det allmänna beviset för alla n krävde endast att satsen fastställdes för alla udda primära exponenter. Med andra ord var det bara nödvändigt att bevisa att ekvationen an + bn = cn inte har några positiva heltalslösningar (a, b, c) när n är ett udda primtal. Detta följer eftersom en lösning (a, b, c) för en given n motsvarar en lösning för alla faktorer av n. för illustration, låt n vägas in i d och e, n = de. Den allmänna ekvationen

an + bn = cn

innebär att (ad, bd, cd) är en lösning för exponenten e

(ad)e + (BD)E = (cd)e.

för att bevisa att Fermats ekvation inte har några lösningar för n > 2, räcker det med att bevisa att den inte har några lösningar för minst en primärfaktor för varje n. varje heltal n > 2 är delbart med 4 eller med ett udda primtal (eller båda). Därför kunde Fermats sista sats bevisas för alla n om det kunde bevisas för n = 4 och för alla udda primtal p.

under de två århundradena efter dess gissning (1637-1839) bevisades Fermats sista sats för tre udda primära exponenter p = 3, 5 och 7. Fallet p = 3 först anges av Abu-Mahmud Khojandi (10th century), men hans försök bevis på teorem var felaktig. År 1770 gav Leonhard Euler ett bevis på p = 3, men hans bevis genom oändlig härkomst innehöll ett stort gap. Men eftersom Euler själv hade visat att lemma var nödvändigt för att slutföra beviset i annat arbete, krediteras han i allmänhet med det första beviset. Oberoende bevis publicerades av Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lammichiri (1865), Peter Guthrie Tait (1872), g-Baignther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), rychl-baik (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), axel Thue (1917) och Duarte (1944).fallet p = 5 bevisades oberoende av Legendre och Peter Gustav Lejeune Dirichlet omkring 1825. Alternativa bevis utvecklades av Carl Friedrich Gauss (1875, posthumous), Lebesgue (1843), Lambioli (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), rychl Augk (1910), van der Corput (1915) och Guy Terjanian (1987).

fallet p = 7 bevisades av Lammic i 1839. Hans ganska komplicerade bevis förenklades 1840 av Lebesgue, och ännu enklare bevis publicerades av Angelo Genocchi 1864, 1874 och 1876. Alternativa bevis har utvecklats av th Ubisofil p Ubispin (1876) och Edmond Maillet (1897).

Fermats sista sats bevisades också för exponenterna n = 6, 10 och 14. Bevis för n = 6 publicerades av Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift och Breusch. På samma sätt bevisade Dirichlet och Terjanian var och en fallet n = 14, medan Kapferer och Breusch vardera bevisade fallet n = 10. Strängt taget är dessa bevis onödiga, eftersom dessa fall följer av bevisen för n = 3, 5 respektive 7. Ändå skiljer sig resonemanget för dessa jämn exponent bevis från deras udda exponent motsvarigheter. Dirichlets bevis för n = 14 publicerades 1832, före Lam Ubics 1839-bevis för n = 7.

alla bevis för specifika exponenter använde Fermats teknik för oändlig härkomst, antingen i sin ursprungliga form eller i form av nedstigning på elliptiska kurvor eller abeliska sorter. Detaljerna och hjälpargumenten var emellertid ofta ad hoc och knutna till den enskilda exponenten som övervägs. Eftersom de blev allt mer komplicerade när p ökade verkade det osannolikt att det allmänna fallet med Fermats sista sats kunde bevisas genom att bygga på bevisen för enskilda exponenter. Även om vissa allmänna resultat på Fermat sista sats publicerades i början av 19-talet av Niels Henrik Abel och Peter Barlow, den första betydande arbete på den allmänna sats gjordes av Sophie Germain.

tidig modern genombrottRedigera

Sophie GermainEdit

i början av 19-talet utvecklade Sophie Germain flera nya metoder för att bevisa Fermats sista sats för alla exponenter. Först definierade hon en uppsättning extra primtal ig {\displaystyle \theta }

konstruerat från den primära exponenten p {\displaystyle p}

med ekvationen ig = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2HP+1}

, där H {\displaystyle H}

är ett heltal som inte kan delas med tre. Hon visade att om inga heltal höjdes till p TH H {\displaystyle P^{\mathrm {TH} }}

effekt var intilliggande modulo {\displaystyle \theta }

(non-consecutivity condition), sedan måste den {\displaystyle \Theta }

dela upp produkten x y z {\displaystyle XYZ}

. Hennes mål var att använda matematisk induktion för att bevisa att, för varje given p {\displaystyle p}

, oändligt många extra primtal {\displaystyle \theta }

uppfyllde icke-följsamhet villkoret och därmed delas X y z {\displaystyle XYZ}

; eftersom produkten x y z {\displaystyle XYZ}

kan ha högst ett begränsat antal primära faktorer, skulle ett sådant bevis ha etablerat Fermats sista sats. Även om hon utvecklade många tekniker för att fastställa icke-följsamhet, lyckades hon inte med sitt strategiska mål. Hon arbetade också för att sätta lägre gränser för storleken på lösningar till Fermats ekvation för en given exponent p {\displaystyle p}

, en modifierad version av vilken publicerades av Adrien-Marie Legendre. Som en biprodukt av detta senare arbete bevisade hon Sophie Germains sats, som verifierade det första fallet av Fermats sista sats (nämligen det fall där p {\displaystyle p}

delar inte x Y z {\displaystyle xyz}

) för varje udda Prime exponent mindre än 270 {\displaystyle 270}

och för alla primtal p {\displaystyle p}

så att minst en av 2 p + 1 {\displaystyle 2P+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 P + 1 {\displaystyle 14P+1}

och 16 P + 1 {\displaystyle 16P+1}

är prime (speciellt primtal p {\displaystyle p}

så att 2 P + 1 {\displaystyle 2p+1}

är prime kallas Sophie Germain primtal). Germain försökte utan framgång bevisa det första fallet av Fermats sista sats för alla jämn exponenter, speciellt för N=2 p {\displaystyle n=2p}

, vilket bevisades av Guy Terjanian 1977. År 1985 bevisade Leonard Adleman, Roger Heath-Brown och Audtienne Fouvry att det första fallet av Fermats sista sats gäller för oändligt många udda primtal p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer och teorin om idealsEdit

år 1847 skisserade Gabriel Lammic ett bevis på Fermats sista sats baserat på factoring ekvationen xp + yp = zp i komplexa tal, specifikt det cyklotomiska fältet baserat på rötterna till nummer 1. Hans bevis misslyckades, dock, eftersom det antas felaktigt att sådana komplexa tal kan vägas unikt i primtal, liknande heltal. Detta gap påpekades omedelbart av Joseph Liouville, som senare läste ett papper som visade detta misslyckande med unik faktorisering, skriven av Ernst Kummer.

Kummer satte sig uppgiften att bestämma om det cyklotomiska fältet kunde generaliseras för att inkludera nya primtal så att Unik faktorisering återställdes. Han lyckades med den uppgiften genom att utveckla de ideala siffrorna.

(Obs: Det sägs ofta att Kummer leddes till hans ”ideala komplexa tal” av hans intresse för Fermats sista sats; det finns till och med en historia som ofta berättas att Kummer, som Lam Jacobi, trodde att han hade bevisat Fermats sista sats tills Lejeune Dirichlet berättade för honom att hans argument förlitade sig på unik faktorisering; men historien berättades först av Kurt Hensel 1910 och bevisen tyder på att den troligen härrör från en förvirring av en av Hensels källor. Harold Edwards säger att tron att Kummer huvudsakligen var intresserad av Fermats sista sats ”är säkert felaktig”. Se historien om ideala siffror.)

med hjälp av den allmänna metoden som beskrivs av Lamubbi, bevisade Kummer båda fallen av Fermats sista sats för alla vanliga primtal. Han kunde emellertid inte bevisa satsen för de exceptionella primerna (oregelbundna primtal) som gissat förekommer ungefär 39% av tiden; de enda oregelbundna primerna under 270 är 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 och 263.

Mordell conjectureEdit

på 1920-talet ställde Louis Mordell en gissning som antydde att Fermats ekvation högst har ett begränsat antal icke-triviala primitiva heltalslösningar, om exponenten n är större än två. Denna gissning bevisades 1983 av Gerd Faltings, och är nu känd som Faltings sats.

Computational studieredit

under senare hälften av 20-talet användes beräkningsmetoder för att utvidga Kumers inställning till oregelbundna primtal. 1954 använde Harry Vandiver en swac-dator för att bevisa Fermats sista sats för alla primtal fram till 2521. År 1978 hade Samuel Wagstaff utvidgat detta till alla primtal mindre än 125 000. År 1993 hade Fermats sista sats bevisats för alla primtal mindre än fyra miljoner.

trots dessa ansträngningar och deras resultat fanns dock inget bevis på Fermats sista sats. Bevis på enskilda exponenter till sin natur kunde aldrig bevisa det allmänna fallet: även om alla exponenter verifierades upp till ett extremt stort antal X, kan en högre exponent bortom X fortfarande existera för vilken påståendet inte var sant. (Detta hade varit fallet med några andra tidigare gissningar, och det kunde inte uteslutas i denna gissning.)

samband med elliptisk kurvredigera

strategin som i slutändan ledde till ett framgångsrikt bevis på Fermats sista sats uppstod från ”häpnadsväckande”:211 Taniyama–Shimura–Weil—gissningar, föreslagna omkring 1955-vilket många matematiker trodde skulle vara nära omöjligt att bevisa,:223 och kopplades på 1980-talet av Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre och Ken Ribet till Fermats ekvation. Genom att åstadkomma ett partiellt bevis på denna gissning 1994 lyckades Andrew Wiles slutligen bevisa Fermats sista sats, samt leda vägen till ett fullständigt bevis av andra om det som nu kallas modularitetssatsen.

Taniyama–Shimura–Weil conjectureEdit

omkring 1955 observerade japanska matematiker Goro Shimura och Yutaka Taniyama en möjlig koppling mellan två uppenbarligen helt distinkta grenar av matematik, elliptiska kurvor och modulära former. Den resulterande modularitetssatsen (vid den tiden känd som Taniyama–Shimura-antagandet) säger att varje elliptisk kurva är modulär, vilket innebär att den kan associeras med en unik modulär form.

länken avvisades ursprungligen som osannolik eller mycket spekulativ, men togs mer allvarligt när talteoretikern Andr Bisexuell Weil hittade bevis som stödde det, men inte bevisade det; som ett resultat var gissningen ofta känd som Taniyama–Shimura–Weil-gissningen.:211-215

även efter att ha fått allvarlig uppmärksamhet sågs gissningen av samtida matematiker som utomordentligt svår eller kanske otillgänglig för bevis.:203-205, 223, 226 Wiles doktorandhandledare John Coates säger till exempel att det verkade ”omöjligt att faktiskt bevisa”,: 226 och Ken Ribet ansåg sig vara ”en av de allra flesta människor som trodde var helt otillgängliga” och tillade att ”Andrew Wiles var förmodligen en av få människor på jorden som hade fräckheten att drömma att du faktiskt kan gå och bevisa .”:223

Ribets sats för Frey curvesEdit

1984 noterade Gerhard Frey en koppling mellan Fermats ekvation och modularitetssatsen, då fortfarande en gissning. Om Fermats ekvation hade någon lösning (a, b, c) för exponent p > 2, kunde det visas att den halvstabila elliptiska kurvan (nu känd som en Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x-ap) (x + bp)

skulle ha sådana ovanliga egenskaper att det osannolikt skulle vara modulärt. Detta skulle strida mot modularitetssatsen, som hävdade att alla elliptiska kurvor är modulära. Som sådan observerade Frey att ett bevis på Taniyama–Shimura–Weil-gissningen också samtidigt kan bevisa Fermats sista sats. Genom motsats skulle en motbevisning eller motbevisning av Fermats sista sats motbevisa Taniyama–Shimura–Weil-gissningen.

på vanlig engelska hade Frey visat att om denna intuition om hans ekvation var korrekt, skulle någon uppsättning 4 siffror (a, b, c, n) som kunde motbevisa Fermats sista sats också kunna användas för att motbevisa Taniyama–Shimura–Weil-gissningen. Därför, om den senare var sant, kunde den förra inte motbevisas, och skulle också behöva vara sant.

Efter denna strategi krävde ett bevis på Fermats sista sats två steg. Först var det nödvändigt att bevisa modularitetssatsen – eller åtminstone att bevisa det för de typer av elliptiska kurvor som inkluderade Freys ekvation (känd som semistable elliptiska kurvor). Detta ansågs allmänt otillgängligt för bevis av samtida matematiker.: 203-205, 223, 226 andra var det nödvändigt att visa att Freys intuition var korrekt: att om en elliptisk kurva konstruerades på detta sätt, med hjälp av en uppsättning siffror som var en lösning av Fermats ekvation, kunde den resulterande elliptiska kurvan inte vara modulär. Frey visade att detta var troligt men gick inte så långt som att ge ett fullständigt bevis. Det saknade stycket (den så kallade ”epsilon-gissningen”, nu känd som Ribets sats) identifierades av Jean-Pierre Serre som också gav ett nästan fullständigt bevis och länken som Frey föreslog bevisades slutligen 1986 av Ken Ribet.

Efter Frey, Serre och Ribets arbete var det här saker stod:

• Fermats sista sats behövde bevisas för alla exponenter n som var primtal.
• modularitetssatsen-om den bevisas för halvstabila elliptiska kurvor – skulle innebära att alla semistabila elliptiska kurvor måste vara modulära.
• Ribets sats visade att någon lösning på Fermats ekvation för ett primtal kunde användas för att skapa en semistabil elliptisk kurva som inte kunde vara modulär;
• Det enda sättet att båda dessa uttalanden kunde vara sanna var om inga lösningar fanns till Fermats ekvation (för då kunde ingen sådan kurva skapas), vilket var vad Fermats sista sats sa. Som Ribets Sats redan bevisades innebar detta att ett bevis på Modularitetssatsen automatiskt skulle bevisa att Fermats sista sats också var sant.

Wiles allmänna proofEdit

Ribets bevis på Epsilons gissning 1986 uppnådde det första av de två mål som Frey föreslog. Efter att ha hört om Ribets framgång, Andrew Wiles, en engelsk matematiker med en barndom fascination med Fermats sista sats, och som hade arbetat med elliptiska kurvor, bestämde sig för att åta sig att utföra andra halvåret: bevisa ett speciellt fall av modularitetssatsen (då känd som Taniyama–Shimura-gissningen) för semistable elliptiska kurvor.

Wiles arbetade med den uppgiften i sex år i nästan total hemlighet och täckte upp sina ansträngningar genom att släppa tidigare arbete i små segment som separata papper och bara anförtro sig åt sin fru.:229-230 hans första studie föreslog bevis genom induktion,: 230-232,249-252 och han baserade sitt första arbete och första betydande genombrott på Galois-teorin:251-253, 259 innan han bytte till ett försök att utvidga horisontell Iwasawa-teori för det induktiva argumentet runt 1990-91 när det verkade som om det inte fanns någon befintlig strategi som var tillräcklig för problemet.: 258-259 men i mitten av 1991 tycktes Iwasawa-teorin inte nå de centrala frågorna i problemet.:259-260 som svar kontaktade han kollegor för att söka några tips om avancerad forskning och nya tekniker och upptäckte ett Euler-system som nyligen utvecklats av Victor Kolyvagin och Matthias Flach som verkade ”skräddarsydda” för den induktiva delen av hans bevis.: 260-261 Wiles studerade och utvidgade detta tillvägagångssätt, vilket fungerade. Eftersom hans arbete förlitade sig mycket på detta tillvägagångssätt, som var nytt för matematik och Wiles, bad han i januari 1993 sin Princeton-kollega, Nick Katz, att hjälpa honom att kontrollera hans resonemang för subtila fel. Deras slutsats vid den tiden var att de tekniker som Wiles använde verkade fungera korrekt.: 261-265

i mitten av maj 1993 kände Wiles sig kunna berätta för sin fru att han trodde att han hade löst beviset på Fermats sista sats:265 och i juni kände han sig tillräckligt säker på att presentera sina resultat i tre föreläsningar som hölls den 21-23 juni 1993 vid Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Specifikt presenterade Wiles sitt bevis på Taniyama-Shimura-gissningen för semistabila elliptiska kurvor; tillsammans med Ribets bevis på epsilon-gissningen innebar detta Fermats sista sats. Det blev emellertid uppenbart under peer review att en kritisk punkt i beviset var felaktig. Det innehöll ett fel i en bunden i en viss grupps ordning. Felet fångades av flera matematiker som dömde Wiles manuskript inklusive Katz (i sin roll som granskare), som varnade Wiles den 23 augusti 1993.felet skulle inte ha gjort hans arbete värdelöst – varje del av Wiles arbete var mycket betydelsefullt och innovativt av sig själv, liksom de många utvecklingar och tekniker som han hade skapat under sitt arbete, och endast en del påverkades.:289, 296-297 men utan denna del bevisad fanns det inget faktiskt bevis på Fermats sista sats. Wiles tillbringade nästan ett år på att försöka reparera sitt bevis, ursprungligen av sig själv och sedan i samarbete med sin tidigare student Richard Taylor, utan framgång. I slutet av 1993 hade rykten spridit att Wiles bevis under granskning hade misslyckats, men hur allvarligt var det inte känt. Matematiker började pressa Wiles att avslöja sitt arbete om det var komplett eller inte, så att det bredare samhället kunde utforska och använda vad han hade lyckats åstadkomma. Men istället för att åtgärdas verkade problemet, som ursprungligen verkade mindre, nu mycket betydande, mycket allvarligare och mindre lätt att lösa.

Wiles säger att på morgonen den 19 September 1994 var han på väg att ge upp och nästan avgick för att acceptera att han hade misslyckats och att publicera sitt arbete så att andra kunde bygga vidare på det och åtgärda felet. Han tillägger att han hade en sista titt för att försöka förstå de grundläggande orsakerna till varför hans tillvägagångssätt inte kunde göras för att fungera, när han hade en plötslig insikt – att den specifika anledningen till att kolyvagin–Flach–metoden inte skulle fungera direkt också innebar att hans ursprungliga försök att använda Iwasawa-teorin kunde göras för att fungera, om han förstärkte den med hjälp av sin erfarenhet från kolyvagin-Flach-metoden. Att fastställa ett tillvägagångssätt med verktyg från det andra tillvägagångssättet skulle lösa problemet för alla fall som inte redan bevisades av hans refererade papper. Han beskrev senare att Iwasawa–teorin och kolyvagin-Flach-metoden var otillräckliga på egen hand, men tillsammans kunde de göras tillräckligt kraftfulla för att övervinna denna sista hinder.

” jag satt vid mitt skrivbord och undersökte kolyvagin-Flach-metoden. Det var inte så att jag trodde att jag kunde få det att fungera, men jag trodde att jag åtminstone kunde förklara varför det inte fungerade. Plötsligt fick jag denna otroliga uppenbarelse. Jag insåg att kolyvagin-Flach-metoden inte fungerade, men det var allt jag behövde för att göra mitt ursprungliga Iwasawa-teoriarbete från tre år tidigare. Så ur askan av Kolyvagin–Flach tycktes stiga det sanna svaret på problemet. Det var så obeskrivligt vackert; det var så enkelt och så elegant. Jag kunde inte förstå hur jag hade missat det och jag stirrade bara på det i misstro i tjugo minuter. Sedan under dagen gick jag runt avdelningen, och jag skulle fortsätta att komma tillbaka till mitt skrivbord för att se om det fortfarande var där. Det var fortfarande där. Jag kunde inte hålla mig själv, jag var så upphetsad. Det var det viktigaste ögonblicket i mitt arbetsliv. Inget jag någonsin gör igen kommer att betyda lika mycket.”- Andrew Wiles, som citerats av Simon Singh den 24 oktober 1994, lämnade Wiles in två manuskript, ”modulära elliptiska kurvor och Fermats sista sats” och ”ringteoretiska egenskaper hos vissa Hecke-algebror”, varav den andra var medförfattare med Taylor och bevisade att vissa villkor var uppfyllda som behövdes för att motivera det korrigerade steget i huvuddokumentet. De två tidningarna granskades och publicerades som hela maj 1995-numret av Annals of Mathematics. Dessa papper etablerade modularitetssatsen för semistabila elliptiska kurvor, det sista steget för att bevisa Fermats sista sats, 358 år efter det att den antogs.

efterföljande utvecklingedit

den fullständiga Taniyama–Shimura–Weil-gissningen bevisades äntligen av Diamond (1996) harvtxt-fel: flera mål (2 kg): CITEREFDiamond1996 (hjälp), Conrad, Diamond & Taylor (1999) Harvtxt-fel: flera mål (2 kg): citerefconraddiamondtaylor1999 (hjälp), och Breuil et al. (2001) harvtxt-fel: flera mål (2 aug): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (hjälp) som, baserat på Wiles arbete, stegvis flisas bort i de återstående fallen tills hela resultatet bevisades. Den nu fullt bevisade gissningen blev känd som modularitetssatsen.

flera andra satser i talteori som liknar Fermats sista sats följer också från samma resonemang, med hjälp av modularitetssatsen. Till exempel: ingen kub kan skrivas som en summa av två coprime n-th-krafter, n kub 3. (Fallet n = 3 var redan känt av Euler.)