teorie

důležitou výměnu dopisů s Richard Dedekind, matematik v Brunswick Technického Ústavu, který byl jeho celoživotním přítelem a kolegou, ohlašoval začátek cantorovy myšlenky na teorii množin. Oba se shodli, že nastavit, zda je konečný nebo nekonečný, je kolekce objektů (např. celá čísla, {0, ±1, ±2,…}) které sdílejí určité vlastnosti, přičemž každý objekt si zachovává svou vlastní individualitu. Ale když Cantor použil zařízení korespondence one-to-one (např., {a, b, C} až {1, 2, 3}) aby studoval vlastnosti množin, rychle viděl, že se liší v rozsahu svého členství, a to i mezi nekonečnými množinami. (Množina je nekonečná, pokud má jedna z jejích částí nebo podmnožin tolik objektů jako sama.) Jeho metoda brzy přinesla překvapivé výsledky.

V roce 1873 Cantor předvedl, že racionální čísla, i když nekonečné, jsou počitatelné (nebo denumerable), protože mohou být umístěny v one-to-one korespondenci s přirozených čísel (tedy čísel jako 1, 2, 3,…). Ukázal, že množina (nebo agregát) reálných čísel (složená z iracionálních a racionálních čísel) byla nekonečná a nespočetná. Ještě více paradoxní je, dokázal, že množina všech algebraických čísel obsahuje tolik složek, jako množinu všech celých čísel a, že transcendentální čísla (ty, které nejsou algebraické, například π), které jsou podmnožinou irrationals, jsou nespočetné, a proto jsou početnější než celá čísla, která musí být chápána jako nekonečné.

Ale Cantor je papír, ve kterém on nejprve předložila tyto výsledky, byla zamítnuta pro zveřejnění v Crelle se Věstníku jeden z jejích rozhodčích, Kroneckerovo, kteří nadále vehementně proti jeho práce. Na Dedekind intervence, nicméně, to bylo vydáváno v roce 1874 jako „Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen“ („O Charakteristickou Vlastnost Všech Reálných Algebraických Čísel“).

Při líbánkách stejném roce se svou nevěstou, Vally Guttman, v Interlaken, Švýcarsko, Cantor se setkal Dedekind, který dal pochopení jeho nové teorie. Cantor plat byl nízký, ale v pozůstalosti svého otce, který zemřel v roce 1863, mu umožnil postavit dům pro svou ženu a pět dětí. Mnoho z jeho prací byly publikovány ve Švédsku v novém časopise Acta Mathematica, upravovat a založil Gösta Mittag-Leffler, jeden z prvních osob, se uznávají jeho schopnosti.

cantorovy teorie se stala zcela nový předmět výzkum týkající se matematiky nekonečné (např. nekonečné řady, jako 1, 2, 3,…, a dokonce i složitější sady), a jeho teorie byla silně závislé na zařízení one-to-one korespondence. Při vývoji nových způsobů kladení otázek týkajících se kontinuity a nekonečna se Cantor rychle stal kontroverzním. Když tvrdil, že nekonečná čísla měl skutečnou existenci, on kreslil na starověké a středověké filozofie o „skutečné“ a „potenciál“ nekonečné a také na počátku náboženskou výchovou, kterou mu dal jeho rodiče. Ve své knize o sadách, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre („Základy obecné teorie agregátů“), Cantor v roce 1883 spojil svou teorii s platonickou metafyzikou. Naopak, Kroneckerovo, který rozhodl, že pouze celá čísla „existovat“ („Bůh stvořil celá čísla, vše ostatní je dílem člověka“), na mnoho let prudce odmítl jeho uvažování a zablokoval jeho jmenování do fakulty na Univerzitě v Berlíně.