Set theory

ブランズウィック工科大学の数学者Richard Dedekindとの重要な手紙の交換は、彼の生涯の友人で同僚であったが、Cantorの集合の理論に関するアイデアの始まりを示した。 両方とも、有限であろうと無限であろうと、集合はオブジェクトの集合であることに同意しました（例えば、整数, {0, ±1, ±2,…}) 各オブジェクトは独自の個性を保持しながら、特定のプロパティを共有します。 しかし、Cantorが一対一対応のデバイスを適用したとき（例えば,{a,b,c}to{1,2,3})集合の特性を研究するために、彼はすぐにそれらが無限集合の間でさえ、それらのメンバーシップの程度が異なることを見た。 （集合は、その部分または部分集合の1つがそれ自身と同じくらい多くの対象を持つ場合、無限大です。）彼の方法はすぐに驚くべき結果を生み出した。1873年、カントールは有理数は無限であるが、自然数（すなわち整数は1,2,3,…）と一対一の対応に置かれる可能性があるため、可算（または可算）であることを示した。 彼は、（不合理な数と有理数で構成される）実数の集合（または集合）が無限で無計画であることを示しました。 さらに逆説的に、彼はすべての代数的数の集合はすべての整数の集合と同じくらい多くの成分を含み、非合理的な部分集合である超越数（代数的ではないもの、σのようなもの）は無計画であり、したがって無限と考えなければならない整数よりも多くなることを証明した。

しかし、彼が最初にこれらの結果を提出したCantorの論文は、その審判の一人であるKroneckerによってCrelleのジャーナルに掲載されることを拒否されました。 しかし、デデキントの介入により、1874年に”Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”（”すべての実数代数的数の特徴的性質について”）として出版された。

同じ年にスイスのインターラーケンで花嫁のヴァリー-グットマンと新婚旅行をしている間、カントールはデデキントと出会い、彼は新しい理論に同情的な公聴会を行った。 カントールの給料は低かったが、1863年に亡くなった父親の財産は、彼の妻と5人の子供のために家を建てることを可能にした。 彼の論文の多くは、彼の能力を認識する最初の人の一人であるGösta Mittag-Lefflerによって編集され、設立された新しい雑誌Acta Mathematicaにスウェーデンで掲載されました。

カントールの理論は、無限の数学（例えば、無限の級数、1、2、3、…、さらに複雑な集合）に関する研究の全く新しい主題となり、彼の理論は一対一対応の装置に大きく依存していた。 このようにして、継続性と無限性に関する質問をする新しい方法を開発することで、カンターはすぐに議論の余地がありました。 彼は無限の数が実際の存在を持っていたと主張したとき、彼は無限の”実際の”と”潜在的な”に関する古代と中世の哲学に描き、また彼の両親によって彼 カントールは1883年に著書”集合論の基礎”Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre（”集合論の一般理論の基礎”）の中で、プラトニック形而上学と彼の理論を同盟した。 対照的に、整数だけが”存在する”（”神は整数を作り、残りはすべて人間の仕事である”）と主張していたクロネッカーは、長年にわたって彼の推論を激しく拒否し、ベルリン大学の教員への任命をブロックした。