Mengenlehre

Ein wichtiger Briefwechsel mit Richard Dedekind, Mathematiker an der Technischen Hochschule Braunschweig, der sein lebenslanger Freund und Kollege war, markierte den Beginn von Cantors Ideen zur Mengenlehre. Beide waren sich einig, dass eine Menge, ob endlich oder unendlich, eine Sammlung von Objekten ist (z. B. die ganzen Zahlen, {0, ±1, ±2,…}) die eine bestimmte Eigenschaft teilen, während jedes Objekt seine eigene Individualität behält. Aber als Cantor das Gerät der Eins-zu-Eins-Korrespondenz anwandte (z., {a, b, c} bis {1, 2, 3}) um die Eigenschaften von Mengen zu untersuchen, sah er schnell, dass sie sich im Ausmaß ihrer Zugehörigkeit sogar unter unendlichen Mengen unterschieden. (Eine Menge ist unendlich, wenn einer ihrer Teile oder Teilmengen so viele Objekte hat wie sie selbst. Seine Methode brachte bald überraschende Ergebnisse.Im Jahr 1873 zeigte Cantor, dass die rationalen Zahlen, obwohl unendlich, zählbar (oder zählbar) sind, weil sie in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen (dh den ganzen Zahlen, als 1, 2, 3, …) platziert werden können. Er zeigte, dass die Menge (oder das Aggregat) reeller Zahlen (bestehend aus irrationalen und rationalen Zahlen) unendlich und unzählbar war. Noch paradoxer bewies er, dass die Menge aller algebraischen Zahlen so viele Komponenten enthält wie die Menge aller ganzen Zahlen und dass transzendentale Zahlen (diejenigen, die nicht algebraisch sind, wie π), die eine Teilmenge der Irrationalen sind, unzählig sind und daher zahlreicher sind als ganze Zahlen, die als unendlich aufgefasst werden müssen.Cantors Arbeit, in der er diese Ergebnisse erstmals vorlegte, wurde jedoch von einem seiner Schiedsrichter, Kronecker, zur Veröffentlichung in Crelles Zeitschrift abgelehnt, der sich fortan vehement gegen seine Arbeit aussprach. Über Dedekinds Intervention wurde es jedoch 1874 als „Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“ („Über eine charakteristische Eigenschaft aller reellen algebraischen Zahlen“) veröffentlicht.Während der Flitterwochen im selben Jahr mit seiner Braut Vally Guttman in Interlaken, Schweiz, traf Cantor Dedekind, der seiner neuen Theorie mitfühlend zuhörte. Cantors Gehalt war niedrig, aber der Nachlass seines Vaters, der 1863 starb, ermöglichte es ihm, ein Haus für seine Frau und fünf Kinder zu bauen. Viele seiner Arbeiten wurden in Schweden in der neuen Zeitschrift veröffentlicht Acta Mathematica, herausgegeben und gegründet von Gösta Mittag-Leffler, einer der ersten Personen, die seine Fähigkeit erkannten.Cantors Theorie wurde zu einem ganz neuen Forschungsgegenstand über die Mathematik des Unendlichen (z. B. eine endlose Reihe als 1, 2, 3, … und noch kompliziertere Mengen), und seine Theorie war stark abhängig von der Vorrichtung der Eins-zu-Eins-Korrespondenz. Auf diese Weise entwickelte Cantor neue Wege, Fragen nach Kontinuität und Unendlichkeit zu stellen, und wurde schnell kontrovers. Als er argumentierte, dass unendliche Zahlen tatsächlich existierten, stützte er sich auf die antike und mittelalterliche Philosophie des „tatsächlichen“ und „potenziellen“ Unendlichen sowie auf die frühe religiöse Ausbildung seiner Eltern. In seinem Buch über Mengen, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre („Grundlagen einer Allgemeinen Theorie der Aggregate“), verband Cantor 1883 seine Theorie mit der platonischen Metaphysik. Im Gegensatz dazu lehnte Kronecker, der der Ansicht war, dass nur die ganzen Zahlen „existieren“ („Gott hat die ganzen Zahlen gemacht, und der ganze Rest ist das Werk des Menschen“), seine Argumentation viele Jahre lang heftig ab und blockierte seine Ernennung zur Fakultät an der Universität Berlin.