pár nappal ezelőtt írtam egy cikket arról, hogy a Ramanujan Összegzése, amely vágni egy hosszú történet rövid, egy matematikai sorozat, ami valahogy így néz ki:

Ha el szeretné olvasni a cikket, kattintson ide. Ezt a tényt a cikkben két másik, ugyanolyan érdekes egyenlettel együtt bizonyítom. Valójában ez az, ahol belebotlottam ebbe a cikkbe. Miután közzétettem a Ramanujan összefoglalót, megjegyzést kaptam egy végtelenül megszámlálható készlet kommutativitásának használatáról. A kommutativitás az a gondolat, hogy ha van 1+2+3, a feltételek átrendezése nem változtatja meg az eredményt. Tehát 1+2+3=1+3+2, lehet, de a feltételek bármilyen sorrendben, a válasz továbbra is mindig 6. Ezt a tulajdonságot használom a fenti egyenlet bizonyítására a másik cikkemben, de a forceOfHabit érdekes pontot hozott fel, ez végtelen számkészletet tartalmaz?

” intuitív módon nyilvánvaló, hogy kétszer annyi pozitív egész szám van, mint akár pozitív egész. De ha figyelembe vesszük a pozitív egész számok sorrendjét, és megszorozzuk őket 2-vel, akkor megkapjuk a még pozitív egész számok sorrendjét is. De a szekvencia minden tagját megszorozva 2 nem változtatja meg a tagok számát. Tehát pontosan ugyanannyi pozitív egész szám van, mint még a pozitív egész számok is. Szóval melyik az? Kétszer annyi vagy ugyanaz a szám?”- forceOfHabit

és őszintén szólva, nem tudtam a választ erre. De ez tetőzött az érdeklődésemet, ezért úgy döntöttem, hogy egy kicsit tovább kutatom. Lementem egy Wikipedia féregjáratba a matematika különböző ágain keresztül, érdekes tényeket tanultam az út mentén, és végül a kardinalitásba kerültem. A kardinalitás a készletekkel foglalkozik, így írja le a készlet elemeinek számát. Például a {1,2,3} halmaznak 3 eleme vagy 3 kardinalitása van.

a kardinalitás használatával elkezdhetjük megragadni a fenti kérdéseket. Kutattam egy kicsit tovább, és találtam egy érdekes része cardinality úgynevezett bíboros aritmetika, amelyek aritmetikai műveleteket lehet végezni a bíboros számok, hogy általánosítsa a rendes műveletek természetes számok. Annak érdekében, hogy ez a lamens szempontjából legyen, ezek egy speciális műveletkészlet, amely kifejezetten a bíboros számokhoz működik, mindegyiknek saját meghatározása van. Például, ha két A és B halmaza van a 3 és 4 kardinalitásokkal, akkor ezt |a| = 3 és |B| = 4-ként jelöljük. Ezután |A| + |B / = / A ∪ B/. Természetesen ez ugyanaz, mint a |A| és |B| numerikus értékek hozzáadása, az a tény, hogy ez így van meghatározva, megmutatja, hogy vannak olyan számtani műveletek, amelyek bizonyos készletekhez létrehozhatók (feltéve, hogy a művelet megfelel bizonyos kritériumoknak).

a kardinális aritmetika segítségével nemcsak azt bizonyították, hogy a valós számsorban lévő pontok száma megegyezik a vonal bármely szegmensében lévő pontok számával. Úgy hangzik, nagyon ellen-intuitív, de aztán megint, így van a fenti kérdés, ezért szeretem azt hinni, hogy hasonlóak. Nyilvánvaló, hogy ez semmiképpen sem formális vagy akár érvényes bizonyíték, de azt állítanám, hogy ha ugyanabban az értelemben vesszük őket, akkor a forceOfHabit kérdésére adott válasz a b lehetőség; azonos számú egész szám.

viszont lehet, hogy teljesen tévedek, és ez a végtelenség zavara. Van annyi, hogy nem ismert róla, mert ez csak egy fogalom. Nincs mód a végtelenség mérésére, mert definíció szerint mérhetetlen, és önmagában nehéz koncepció a fejed köré tekerni. Azt hiszem, az 1. év matematikus professzora nagyon jól összefoglalta a végtelenséget: “utálom a végtelenséget. Ez nem egy szám, de úgy kezeljük, mint egy, de nem kellene. ez egy fogalom, nem matematikai érték, tehát ha valaki használja, mint olyan, akkor akár le is hagyhatja a kurzust!”