Un paio di giorni fa ho scritto un articolo su la Sommatoria di Ramanujan, che per tagliare una lunga storia breve, è un matematico di una serie che sembra qualcosa di simile a questo:

Se volete leggere l’articolo, fare clic qui. Dimostro questo fatto nell’articolo insieme ad altre due equazioni altrettanto interessanti. Questo è in realtà dove mi sono imbattuto nell’idea per questo articolo. Dopo aver pubblicato la sommatoria di Ramanujan, ho ricevuto un commento sul mio uso della commutatività di un insieme infinitamente numerabile. La commutatività è l’idea che se hai 1+2+3, riordinare i termini non cambia il risultato. Quindi 1+2+3=1+3+2, puoi ma i termini in qualsiasi ordine e la risposta sarà sempre 6. Io uso questa proprietà per dimostrare l’equazione di cui sopra nel mio altro articolo, ma forceOfHabit ha sollevato un punto interessante, questo vale per un insieme infinito di numeri?

“È intuitivamente ovvio che ci sono il doppio degli interi positivi rispetto agli interi positivi. Ma se prendiamo la sequenza di interi positivi e li moltiplichiamo tutti per 2 otteniamo la sequenza di interi anche positivi. Ma moltiplicando ogni membro della sequenza per 2 non cambia il numero di membri. Quindi ci sono esattamente lo stesso numero di numeri interi positivi come anche numeri interi positivi. Allora, qual e’? Il doppio o lo stesso numero?”- forceOfHabit

E onestamente, non conoscevo la risposta a questo. Ma aveva raggiunto il picco il mio interesse, così ho deciso di ricerca un po ‘ di più. Sono andato lungo un wormhole di Wikipedia attraverso diversi rami della matematica, imparando alcuni fatti interessanti lungo la strada, e sono finito alla cardinalità. La cardinalità si occupa di set ed è come descriveresti il numero di elementi in un set. Ad esempio, l’insieme {1,2,3} ha 3 elementi o una cardinalità di 3.

Usando la cardinalità, possiamo iniziare a ottenere una presa sulle domande di cui sopra. Ho studiato un po ‘ oltre e ho trovato una parte interessante della cardinalità chiamata Aritmetica cardinale che sono operazioni aritmetiche che possono essere eseguite su numeri cardinali che generalizzano le operazioni ordinarie per i numeri naturali. Per dirla in termini lamentosi, sono un insieme speciale di operazioni che funzionano specificamente per i numeri cardinali, ognuno con la propria definizione. Ad esempio, se hai due set A e B con cardinali 3 e 4 rispettivamente, allora denotiamo questo come |A| = 3 e |B| = 4. Quindi |A / + / B / = / A B B/. Naturalmente, questo è lo stesso di aggiungere solo valori numerici di |A| e |B|, il fatto che sia definito in questo modo mostra come ci siano operazioni aritmetiche che possono essere create per set specifici (a condizione che l’operazione soddisfi determinati criteri).

Usando l’aritmetica cardinale, è stato dimostrato non solo che il numero di punti in una linea di numeri reali è uguale al numero di punti in qualsiasi segmento di quella linea. Sembra molto contro-intuitivo, ma poi di nuovo, così è la domanda di cui sopra, che è il motivo per cui mi piace pensare che siano simili. Ovviamente, questa non è in alcun modo una prova formale o addirittura valida, ma direi che se li consideri nello stesso senso, allora la risposta alla domanda di forceOfHabit è l’opzione b; lo stesso numero di numeri interi.

Ma d’altra parte, potrei sbagliarmi completamente, e questa è la perplessità dell’infinito. C’è così tanto che non si sa su di esso perché è solo un concetto. Non c’è modo di misurare l’infinito perché per definizione è incommensurabile e questo di per sé è un concetto difficile da avvolgere. Penso che il professore di matematica del mio 1 ° anno abbia riassunto abbastanza bene l’infinito: “Odio l’infinito. Non è un numero, ma lo trattiamo come uno, ma non dovremmo. È un concetto, non un valore matematico, quindi se qualcuno di voi lo usa come tale, potete anche abbandonare il corso!”