et par dager siden skrev jeg en artikkel Om Ramanujan Summering, som å kutte en lang historie kort er en matematisk serie som ser omtrent slik ut:

hvis du vil lese artikkelen, klikk her. Jeg beviser dette faktum i artikkelen sammen med to andre like interessante ligninger. Det er faktisk her jeg snublet inn i ideen til denne artikkelen. Etter å ha publisert Ramanujan-Summasjonen, fikk jeg en kommentar om min bruk av kommutativiteten til et uendelig tellbart sett. Kommutativitet er ideen om at hvis du har 1+2+3, endre rekkefølgen på vilkårene endrer ikke utfallet. Så 1+2+3=1+3+2, du kan, men vilkårene i hvilken som helst rekkefølge, og svaret vil fortsatt alltid være 6. Jeg bruker denne egenskapen til å bevise ligningen ovenfor i min andre artikkel, men forceOfHabit brakte opp et interessant poeng, holder dette for et uendelig sett med tall?

«det er intuitivt åpenbart at det er dobbelt så mange positive heltall som til og med positive heltall. Men hvis vi tar sekvensen av positive heltall og multipliserer dem alle med 2, får vi sekvensen av like positive heltall. Men å multiplisere hvert medlem av sekvensen med 2 endrer ikke antall medlemmer. Så det er nøyaktig det samme antall positive heltall som selv positive heltall. Så hva er det? Dobbelt så mange eller like mange?»- forceofhabit

og ærlig, jeg visste ikke svaret på dette. Men det hadde toppet min interesse, så jeg bestemte meg for å undersøke det litt mer. Jeg gikk ned Et Wikipedia-ormhull gjennom ulike grener av matematikken, lærte noen interessante fakta underveis, og endte opp med kardinalitet. Kardinalitet omhandler sett og er hvordan du vil beskrive antall elementer i et sett. For eksempel har settet {1,2,3} 3 elementer eller en kardinalitet på 3.

ved hjelp av kardinalitet kan vi begynne å få tak i spørsmålene ovenfor. Jeg forsket litt videre og fant en interessant del av kardinalitet kalt Kardinal Aritmetikk som er aritmetiske operasjoner som kan utføres på kardinal tall som generaliserer de vanlige operasjonene for naturlige tall. For å si det i lamens vilkår, er de et spesielt sett med operasjoner som fungerer spesielt for kardinalnumre, hver med sin egen definisjon. For eksempel, hvis du har to sett A og b med henholdsvis 3 og 4 kardinaliteter, betegner vi dette som |a / = 3 og / B / = 4. Deretter |A / + / B / = / En ∪ B/. Det faktum at det er definert på denne måten, viser hvordan det er aritmetiske operasjoner som kan opprettes for bestemte sett (forutsatt at operasjonen oppfyller visse kriterier).Ved hjelp av kardinal aritmetikk har det vist seg ikke bare at antall poeng i en reell talelinje er lik antall poeng i et hvilket som helst segment av den linjen. Det høres veldig mot-intuitivt, men igjen, så er spørsmålet ovenfor, og derfor liker jeg å tro at de er like. Selvfølgelig er dette på ingen måte et formelt eller til og med et gyldig bevis, men jeg vil si at hvis du vurderer dem i samme forstand, så er svaret på forceofhabits spørsmål alternativ b; det samme antall heltall.Men på den annen side kan jeg være helt feil, og det er uendelig forvirring. Det er så mye som ikke er kjent om det fordi det er bare et konsept. Det er ingen måte å måle uendelig fordi det per definisjon er umålelig, og det er i seg selv et vanskelig konsept å vikle hodet rundt. Jeg tror min 1. års matematikkprofessor oppsummerte uendelig ganske bra: «jeg hater uendelig. Det er ikke et tall, men vi behandler det som en, men vi burde ikke. Det er et konsept, ikke en matematisk verdi, så hvis noen av dere bruker det som sådan, kan du like godt slippe kurset!”