kilka dni temu napisałem artykuł o podsumowaniu Ramanujana, które w skrócie jest serią matematyczną, która wygląda mniej więcej tak:

jeśli chcesz przeczytać artykuł, Kliknij tutaj. Udowodnię ten fakt w artykule wraz z dwoma innymi równie ciekawymi równaniami. To właśnie tutaj natknąłem się na pomysł na ten artykuł. Po publikacji Ramanujan sumowanie, ja dostawać komentarz o mój use the komutativity nieskończenie policzalny zbiór. Komutatywność to idea, że jeśli masz 1+2+3, Zmiana kolejności warunków nie zmienia wyniku. Więc 1+2+3=1+3+2, możesz, ale warunki w dowolnej kolejności, a odpowiedź zawsze będzie 6. Używam tej własności do udowodnienia powyższego równania w innym artykule, ale forceOfHabit poruszył interesujący punkt, czy to dotyczy nieskończonego zbioru liczb?

„intuicyjnie oczywiste jest, że jest dwa razy więcej pozytywnych liczb całkowitych niż nawet pozytywnych liczb całkowitych. Ale jeśli weźmiemy sekwencję dodatnich liczb całkowitych i pomnożymy je wszystkie przez 2, otrzymamy sekwencję dodatnich liczb całkowitych. Ale pomnożenie każdego elementu ciągu przez 2 nie zmienia liczby elementów. Więc jest dokładnie taka sama liczba dodatnich liczb całkowitych jak parzyste dodatnie liczby całkowite. Więc co to jest? Dwa razy więcej czy ta sama liczba?”- forceOfHabit

i szczerze mówiąc, nie znałem na to odpowiedzi. Ale to było szczyt mojego zainteresowania, więc postanowiłem zbadać go trochę więcej. Poszedłem tunelem czasoprzestrzennym Wikipedii przez różne gałęzie matematyki, ucząc się po drodze kilku interesujących faktów, i skończyłem w cardinality. Cardinality dotyczy zbiorów i jest jak można opisać liczbę elementów w zbiorze. Na przykład zestaw {1,2,3} składa się z 3 elementów lub z 3 elementów.

korzystając z cardinality, możemy zacząć opanowywać powyższe pytania. Zbadałem nieco dalej i znalazłem interesującą część Cardinal arytmetyki zwany kardynalne, które są operacje arytmetyczne, które mogą być wykonywane na liczbach kardynalnych, które uogólniają zwykłe operacje dla liczb naturalnych. Ujmując to w kategoriach lamens, są one specjalnym zestawem operacji, które działają specjalnie dla liczb kardynalnych, każda z własną definicją. Na przykład, jeśli masz dwa zestawy a i B o kardynalnościach odpowiednio 3 i 4, oznaczamy to jako |a / = 3 i / B / = 4. Then |A| + |B| = |A ∪ B|. Oczywiście jest to to samo, co samo dodawanie wartości liczbowych z |a / i / B/, fakt, że jest zdefiniowany w ten sposób pokazuje, w jaki sposób można tworzyć operacje arytmetyczne dla określonych zbiorów (o ile operacja spełnia określone kryteria).

używając arytmetyki kardynalnej udowodniono nie tylko, że liczba punktów w wierszu liczb rzeczywistych jest równa liczbie punktów w dowolnym odcinku tej wiersza. Brzmi to bardzo wbrew intuicji, ale z drugiej strony, tak samo jest z powyższym pytaniem, dlatego lubię myśleć, że są podobne. Oczywiście nie jest to w żaden sposób formalny ani nawet ważny dowód, ale chciałbym założyć, że jeśli rozważy się je w tym samym sensie, to odpowiedzią na pytanie forceofhabita jest opcja b; ta sama liczba liczb całkowitych.

ale z drugiej strony mogę się całkowicie mylić i to jest zakłopotanie nieskończoności. Jest tak wiele, że nie wiadomo o tym, ponieważ jest to tylko koncepcja. Nie ma sposobu na zmierzenie nieskończoności, ponieważ z definicji jest ona nie do zmierzenia i to samo w sobie jest trudnym pojęciem do ogarnięcia. Myślę, że mój pierwszy rok profesor matematyki podsumował nieskończoność całkiem dobrze: „nienawidzę nieskończoności. To nie jest liczba, ale traktujemy ją tak, ale nie powinniśmy. to pojęcie, a nie wartość matematyczna, więc jeśli ktoś z was użyje jej jako takiej, równie dobrze może porzucić kurs!”