Pitágoras e DiophantusEdit

Pitágoras triplesEdit

Nos tempos antigos, era sabido que um triângulo cujos lados estavam em proporção 3:4:5 teria um ângulo reto como um de seus ângulos. Isto foi usado na construção e mais tarde na geometria inicial. Ele também era conhecido por ser um exemplo de uma regra geral de que qualquer triângulo, onde o comprimento de dois lados, cada quadrado e, em seguida, adicionados juntos (32 + 42 = 9 + 16 = 25), é igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado (52 = 25), também seria um ângulo reto do triângulo.Isto é agora conhecido como o teorema de Pitágoras, e um triplo de números que atende a esta condição é chamado de um triplo Pitágoro – ambos são nomeados a partir do antigo grego Pitágoras. Exemplos incluem (3, 4, 5) e (5, 12, 13). Existem infinitamente muitos triplos, e métodos para gerar tais triplos foram estudados em muitas culturas, começando com os babilônios e mais tarde matemáticos gregos, chineses e indianos. Matematicamente, a definição de uma tripla pitagórica é um conjunto de três inteiros (a, b, c) que satisfazem a equação a 2 + b 2 = C 2 . {\displaystyle A^{2}+b^{2}=C^{2}.}

equacionesedit

de Fermat equação xn + yn = zn com número inteiro positivo soluções, é um exemplo de uma equação de Diophantine, nomeado para o 3º século Alexandrino matemático, Diophantus, que estudou-los e desenvolver métodos para a solução de alguns tipos de Diophantine equações. Um típico Diophantine problema é encontrar dois números inteiros x e y tais que a sua soma e a soma de seus quadrados, a igualdade de dois números dados A e B, respectivamente:

A = x + y {\displaystyle A=x+y}

B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.}

Diophantus’s major work is the Arithmetica, of which only a portion has survived. A conjectura de Fermat de seu último teorema foi inspirada ao ler uma nova edição da Arithmetica, que foi traduzida para o latim e publicada em 1621 por Claude Bachet.as equações diofantinas foram estudadas durante milhares de anos. Por exemplo, as soluções para a equação diofantina quadrática x2 + y2 = z2 são dadas pelos triplos pitagóricos, originalmente resolvidos pelos babilônios (c. 1800 A. C.). Soluções para equações diofantinas lineares, como 26x + 65y = 13, podem ser encontradas usando o algoritmo euclidiano (C. 5th century BC).Muitas equações diofantinas têm uma forma semelhante à equação do Último Teorema de Fermat do ponto de vista da álgebra, na medida em que não têm termos cruzados misturando duas letras, sem compartilhar suas propriedades particulares. Por exemplo, sabe-se que existem infinitamente muitos inteiros positivos x, y, E z tais que xn + yn = zm onde n E m são números naturais relativamente primos.

de Fermat conjectureEdit

Problema II.8 em 1621, edição da Arithmetica de Diophantus. À direita está a margem que era muito pequena para conter a suposta prova de Fermat de seu”último teorema”.

Problema II.8 de Arithmetica pergunta como um determinado número quadrado é dividida em duas outras praças; em outras palavras, para um dado número racional k, encontrar racional números u e v tais que k2 = u2 + v2. Diophantus mostra como resolver este problema i’m-of-squares para k = 4 (as soluções são u = 16/5 e v = 12/5).

Cerca de 1637, projetado para permitir que escreveu seu Último Teorema na margem de seu exemplar da Aritmética ao lado Diophantus é que eu estou de praças problema:

é impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quarta potências, ou, em geral, qualquer potência superior à segunda, em duas potências semelhantes. Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, que esta margem é demasiado estreita para conter.

Depois de Fermat morte, em 1665, seu filho, Clément-Samuel de Fermat produziu uma nova edição do livro (1670) aumentada com seu pai comentários. Embora não seja realmente um teorema na época( significando uma declaração matemática para a qual a prova existe), a nota de margem tornou-se conhecida ao longo do tempo como O Último Teorema de Fermat, uma vez que foi o último dos teoremas afirmados de Fermat a permanecer não provado.

não se sabe se Fermat realmente encontrou uma prova válida para todos os expoentes n, mas parece improvável. Apenas uma prova relacionada por ele sobreviveu, ou seja, para o caso n = 4, como descrito na seção provas para expoentes específicos.Enquanto Fermat colocava os casos de n = 4 e de n = 3 como desafios para seus correspondentes matemáticos, como Marin Mersenne, Blaise Pascal e John Wallis, ele nunca apresentou o caso geral. Além disso, nos últimos trinta anos de sua vida, Fermat nunca mais escreveu sobre sua “prova verdadeiramente maravilhosa” do caso geral, e nunca a publicou. Van der Poorten sugere que, embora a ausência de uma prova seja insignificante, a falta de desafios significa que Fermat percebeu que não tinha uma prova; ele cita Weil como dizendo que Fermat deve ter-se iludido brevemente com uma ideia irrecuperável.

As técnicas que Fermat pode ter usado em tal “prova maravilhosa” são desconhecidas.a prova de Taylor e Wiles baseia-se em técnicas do século XX. A prova de Fermat teria que ser elementar por comparação, dado o conhecimento matemático de seu tempo.

Enquanto Harvey Friedman grande conjectura implica que qualquer provada no teorema (incluindo o último teorema de Fermat) pode ser provada usando apenas ‘elementar função aritmética’, como uma prova precisa ser de “elementar” apenas em um sentido técnico e poderia envolver milhões de passos, e, assim, ser demasiado longo para ser de Fermat prova.

Provas específicas exponentsEdit

de Fermat infinito descida para o Último Teorema de Fermat caso n=4 em 1670 edição da Arithmetica de Diophantus (pp. 338-339).

expoente = 4Edit

apenas uma prova relevante por Fermat sobreviveu, na qual ele usa a técnica de descida infinita para mostrar que a área de um triângulo direito com lados inteiros nunca pode igualar o quadrado de um inteiro. Sua prova é equivalente a demonstrar que a equação

x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}

não tem primitivo soluções em inteiros (nenhum par de primos entre si soluções). In turn, this proves Fermat’s Last Theorem for the case n = 4, since the equation a4 + b4 = c4 can be written as c4-b4 = (a2) 2.

Alternativa provas do caso n = 4, foram desenvolvidas mais tarde por Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), de Joseph Bertrand (1851), Victor de Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant e Perella (1999), Barbara (2007), and Dolan (2011).

outros expoentes edit

Depois de Fermat provar o caso especial n = 4, a prova geral para todos N requer apenas que o teorema seja estabelecido para todos expoentes primos ímpares. Em outras palavras, era necessário provar apenas que a equação an + bn = cn não tem soluções inteiras positivas (A, b, c) quando n é um número primo ímpar. Isto se segue porque uma solução (A, b, c) para um dado n é equivalente a uma solução para todos os fatores de N. Para ilustração, seja n facturado Em d E E, n = de. A equação geral

an + bn = cn

implica que (ad, bd, cd) é uma solução para o expoente e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

Assim, para provar que Fermat equação não tem soluções para n > 2, seria suficiente para provar que não tem solução para pelo menos um fator primordial de cada n. Cada inteiro n > 2 é divisível por 4 ou por um número primo ímpar (ou ambos). Portanto, O Último Teorema de Fermat poderia ser provado para todos n Se pudesse ser provado para n = 4 e para todos os primos ímpares p.

nos dois séculos seguintes à sua conjectura (1637-1839), O Último Teorema de Fermat foi provado para três expoentes primos ímpares p = 3, 5 e 7. O caso p = 3 foi declarado pela primeira vez por Abu-Mahmud Khojandi (século X), mas sua tentativa de prova do teorema foi incorreta. Em 1770, Leonhard Euler deu uma prova de p = 3, mas sua prova por descendência infinita continha uma grande lacuna. No entanto, uma vez que Euler provou o lema necessário para completar a prova em outro trabalho, ele geralmente é creditado com a primeira prova. Independente provas foram publicados por Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) e Duarte (1944).o caso p = 5 foi provado independentemente por Legendre e Peter Gustav Lejeune Dirichlet por volta de 1825. Alternativa provas foram desenvolvidos por Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo), de Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychlík (1910), van der Corput (1915), e Cara Terjanian (1987).o caso p = 7 foi provado por Lamé em 1839. Sua prova bastante complicada foi simplificada em 1840 por Lebesgue, e provas ainda mais simples foram publicadas por Angelo Genocchi em 1864, 1874 e 1876. Provas alternativas foram desenvolvidas por Théophile Pépin (1876) e Edmond Maillet (1897).

Fermat’s Last Theorem was also proved for the exponents n = 6, 10, and 14. Provas para n = 6 foram publicadas por Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift e Breusch. Da mesma forma, Dirichlet e Terjanian provaram o caso n = 14, enquanto Kapferer e Breusch provaram o caso n = 10. Estritamente falando, estas provas são desnecessárias, uma vez que estes casos seguem das provas para n = 3, 5, e 7, respectivamente. No entanto, o raciocínio destas provas even-exponent difere de suas contrapartes odd-exponent. A prova de Dirichlet para n = 14 foi publicada em 1832, antes da prova de Lamé de 1839 para n = 7.

Todas as provas para expoentes específicos usaram a técnica de Fermat de descendência infinita, tanto em sua forma original, ou na forma de descida em curvas elípticas ou variedades abelianas. Os detalhes e argumentos auxiliares, no entanto, eram frequentemente ad hoc e ligados ao expoente individual em consideração. Uma vez que se tornaram cada vez mais complicados com o aumento de p, parecia improvável que o caso geral do Último Teorema de Fermat pudesse ser provado construindo sobre as provas para expoentes individuais. Embora alguns resultados gerais sobre o Último Teorema de Fermat tenham sido publicados no início do século XIX por Niels Henrik Abel e Peter Barlow, o primeiro trabalho significativo sobre o teorema geral foi feito por Sophie Germain.

in the early modern breakthroughsEdit

Sophie GermainEdit

In the early 19th century, Sophie Germain developed several novel approaches to prove Fermat’s Last Theorem for all exponents. Primeiro, ela definiu um conjunto de auxiliar primos θ {\displaystyle \theta }

construída a partir de o primeiro-expoente p {\displaystyle p}

pela equação θ = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2hp+1}

, onde h {\displaystyle h}

é qualquer número inteiro não é divisível por três. Ela mostrou que, se não inteiros levantadas para o p t h {\displaystyle p^{\mathrm {th} }}

poder foram adjacentes módulo θ {\displaystyle \theta }

(não-consecutivity condição), em seguida, θ {\displaystyle \theta }

deve dividir o produto x y z {\displaystyle xyz}

. Seu objetivo era usar a indução matemática para provar que, para qualquer p {\displaystyle p}

, infinitamente muitos auxiliar primos θ {\displaystyle \theta }

satisfeito não consecutivity condição e, assim, dividido x y z {\displaystyle xyz}

; desde que o produto x y z {\displaystyle xyz}

pode ter mais de um número finito de fatores primos, tal prova teria estabelecido o Último Teorema de Fermat. Embora tenha desenvolvido muitas técnicas para estabelecer a condição de não-consagração, ela não teve sucesso em seu objetivo estratégico. Ela também trabalhou para definir limites inferiores no tamanho de soluções para a equação de Fermat para um determinado expoente p {\displaystyle p}

, uma versão modificada do que foi publicado por Adrien-Marie Legendre. Como subproduto deste último trabalho, ela provou Sophie Germain, teorema, que verificou o primeiro caso do Último Teorema de Fermat (a saber, o caso em que p {\displaystyle p}

não divide x y z {\displaystyle xyz}

) para cada ímpar primeiro expoente menor que 270 {\displaystyle 270}

, e para todos os números primos p {\displaystyle p}

tal que pelo menos um dos 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14p+1}

e 16, p + 1 {\displaystyle 16p+1}

é prime (especialmente, os primos p {\displaystyle p}

tais que 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

é primo são chamados de primos Sophie Germain). Germain tentou, sem sucesso, para provar o primeiro caso do Último Teorema de Fermat para todos, mesmo expoentes, especificamente para n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, o que foi comprovado pela Cara Terjanian em 1977. In 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown and Étienne Fouvry proved that the first case of Fermat’s Last Theorem holds for infinitamente many odd primes p {\displaystyle p}

. Ernst Kummer and the theory of idealsEdit

In 1847, Gabriel Lamé outlined a proof of Fermat’s Last Theorem based on factoring the equation xp + yp = zp in complex numbers, specifically the cyclotomic field based on the roots of the number 1. Sua prova falhou, no entanto, porque presumiu incorretamente que esses números complexos podem ser contabilizados unicamente em números primos, semelhantes aos inteiros. Esta lacuna foi apontada imediatamente por Joseph Liouville, que mais tarde leu um artigo que demonstrou esta falha de fatoração única, escrito por Ernst Kummer.

Kummer estabeleceu a si mesmo a tarefa de determinar se o campo ciclotômico poderia ser generalizado para incluir novos números primos, de modo que a fatoração única foi restaurada. Ele conseguiu essa tarefa desenvolvendo os números ideais.

(Nota: muitas vezes é afirmado que Kummer foi conduzido para o seu “ideal números complexos” pelo seu interesse em Último Teorema de Fermat; há até uma história dito muitas vezes que Kummer, como Lamé, acreditava que ele tinha provado o Último Teorema de Fermat até Lejeune Dirichlet disse a ele que o argumento invocado única fatoração de; mas a história foi contada pela primeira vez por Kurt Hensel em 1910 e as evidências indicam que provavelmente deriva de uma confusão por uma das fontes de Hensel. Harold Edwards says the belief that Kummer was mainly interested in Fermat’s Last Theorem “is surely mistaken”. Veja a história dos números ideais.)

Using the general approach outlined by Lamé, Kummer proved both cases of Fermat’s Last Theorem for all regular prime numbers. No entanto, ele não pôde provar o teorema dos primos excepcionais (primos irregulares) que ocorrem aproximadamente 39% do tempo.; os únicos números primos irregulares abaixo de 270 são: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 e 263.

Mordell conjectureEdit

In the 1920s, Louis Mordell posed a conjecture that implied that Fermat’s equation has at most a finite number of nontrivial primitive integer solutions, if the exponent n is greater than two. Esta conjectura foi provada em 1983 por Gerd Falsations, e agora é conhecido como teorema das falsificações.

Studiesedit Computational

na segunda metade do século XX, métodos computacionais foram usados para estender a abordagem de Kummer aos primos irregulares. Em 1954, Harry Vandiver usou um computador SWAC para provar o Último Teorema de Fermat para todos os primos até 2521. Em 1978, Samuel Wagstaff tinha estendido isso a todos os primos menos de 125.000. Em 1993, O Último Teorema de Fermat foi provado para todos os primos com menos de quatro milhões.

no entanto, apesar destes esforços e seus resultados, nenhuma prova existiu do Último Teorema de Fermat. Provas de expoentes individuais por sua natureza nunca poderiam provar o caso geral: mesmo se todos os expoentes foram verificados até um número extremamente grande X, um expoente maior além de X pode ainda existir para o qual a alegação não era verdadeira. (Este tinha sido o caso com algumas outras conjecturas passadas, e não poderia ser descartado nesta conjectura.)

Conexão com elī curvesEdit

A estratégia que levou para o êxito de uma prova do Último Teorema de Fermat surgiu a partir da “surpreendente”:211 de Taniyama–Shimura–Weil conjectura, proposta por volta de 1955—que muitos matemáticos acreditavam que seria perto de impossível provar,:223 e estava ligado na década de 1980 por Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre e Ken Ribet a equação de Fermat. Ao realizar uma prova parcial desta conjectura em 1994, Andrew Wiles finalmente conseguiu provar o Último Teorema de Fermat, bem como conduzir o caminho para uma prova completa por outros do que é agora conhecido como o teorema da modularidade.

Taniyama–Shimura–Weil conjectureEdit

por Volta de 1955, Japonês matemáticos Goro Shimura e Yutaka Taniyama observado uma possível ligação entre os dois, aparentemente, são completamente diferentes ramos da matemática, elíptica curvas e formas modulares. O teorema da modularidade resultante (na época conhecida como conjectura Taniyama–Shimura) afirma que cada curva elíptica é modular, o que significa que pode ser associada com uma forma modular única.a ligação foi inicialmente descartada como improvável ou altamente especulativa, mas foi levada mais a sério quando o teórico de números André Weil encontrou evidências que a apoiavam, embora não provassem; como resultado, a conjectura era muitas vezes conhecida como a conjectura Taniyama–Shimura–Weil.:211-215

mesmo depois de ganhar a atenção séria, a conjectura foi vista pelos matemáticos contemporâneos como extraordinariamente difícil ou talvez inacessível à prova.:203-205, 223, 226, Por exemplo, os Artifícios de doutoramento do supervisor John Coates estados que parecia “impossível realmente provar”,:226 e Ken Ribet se considerava “um dos grande maioria de pessoas que acreditavam que era completamente inacessível”, acrescentando que “Andrew Wiles foi provavelmente uma das poucas pessoas na terra, que tiveram a ousadia para sonhar que você pode realmente ir e provar .”:223

ribet’s theorem for Frey curvesEdit

In 1984, Gerhard Frey noted a link between Fermat’s equation and the modularity theorem, then still a conjecture. Se a equação de Fermat tinha qualquer solução (a, b, c) para o expoente p > 2, então pode ser mostrado que o semi-estável de curva elíptica (agora conhecido como Frey-Hellegouarch)

y2 = x (x − ap)(x + bp)

teria tais propriedades incomuns que era improvável de ser modular. Isto entraria em conflito com o teorema da modularidade, que afirmava que todas as curvas elípticas são modulares. Como tal, Frey observou que uma prova da conjectura Taniyama–Shimura–Weil também poderia provar simultaneamente O Último Teorema de Fermat. Por contraposição, uma refutação ou refutação do Último Teorema de Fermat refutaria a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil.

Na planície inglês, Frey tinha mostrado que, se esta intuição sobre a sua equação foi correto, então qualquer conjunto de 4 números (a, b, c, n), capazes de refutar o Último Teorema de Fermat, também pode ser usado para refutar a Taniyama–Shimura–Weil conjectura. Portanto, se o último fosse verdade, o primeiro não poderia ser refutado, e também teria que ser verdade.

seguindo esta estratégia, uma prova do Último Teorema de Fermat exigiu dois passos. Primeiro, foi necessário provar o teorema da modularidade – ou pelo menos prová-lo para os tipos de curvas elípticas que incluíam a equação de Frey (conhecida como curvas elípticas semistáveis). Isso foi amplamente considerado inacessível à prova por matemáticos contemporâneos.:203-205, 223, 226 Segunda, era necessário mostrar que Frey intuição estava correta: a de que se uma curva elíptica foram construídos desta forma, utilizando um conjunto de números que foram uma solução da equação de Fermat, resultante de curva elíptica não poderia ser modular. Frey mostrou que isso era plausível, mas não chegou a dar uma prova completa. A peça em falta (a chamada” conjectura de epsilon”, agora conhecida como Teorema de Ribet) foi identificada por Jean-Pierre Serre, que também deu uma prova quase completa e o link sugerido por Frey foi finalmente provado em 1986 por Ken Ribet.

a seguir ao trabalho de Frey, Serre e Ribet, foi aqui que as questões se mantiveram:

• O Último Teorema de Fermat precisava ser provado para todos os expoentes n que eram números primos.
• o teorema da modularidade – se provado para curvas elípticas semi-estáveis – significaria que todas as curvas elípticas semistíveis devem ser modulares.
• Ribet teorema mostrou que qualquer solução para a equação de Fermat para um primeiro número pode ser usado para criar um semistable curva elíptica que não poderia ser modular;
• A única forma que ambas essas instruções pode ser verdade, se não soluções existia a Fermat a equação (porque, então, nenhuma curva poderia ser criado), que foi o que o Último Teorema de Fermat, disse. Como o teorema de Ribet já foi provado, isto significava que uma prova do teorema da modularidade provaria automaticamente que o último teorema de Fermat também era verdadeiro.

Artimanhas geral proofEdit

matemático Britânico Andrew Wiles.