teoria mulțimilor

un schimb important de scrisori cu Richard Dedekind, matematician la Institutul Tehnic Brunswick, care i-a fost prieten și coleg de-o viață, a marcat începutul ideilor lui Cantor despre teoria mulțimilor. Ambii au fost de acord că un set, fie finit, fie infinit, este o colecție de obiecte (de exemplu, numere întregi, {0, ±1, ±2,…}) care împărtășesc o anumită proprietate în timp ce fiecare obiect își păstrează propria individualitate. Dar când Cantor a aplicat dispozitivul corespondenței unu-la-unu (de ex., {A, B, c} până la {1, 2, 3}) pentru a studia caracteristicile mulțimilor, el a văzut repede că acestea diferă în ceea ce privește gradul de apartenență, chiar și între mulțimile infinite. (O mulțime este infinită dacă una dintre părțile sale, sau subseturi, are la fel de multe obiecte ca și ea însăși.) Metoda sa a produs în curând rezultate surprinzătoare.

În 1873 Cantor a demonstrat că numerele raționale, deși infinite, sunt numărabile (sau denumerabile) deoarece pot fi plasate într-o corespondență unu-la-unu cu numerele naturale (adică numerele întregi, ca 1, 2, 3,…). El a arătat că setul (sau agregatul) numerelor reale (compus din numere iraționale și raționale) era infinit și nenumărat. Și mai paradoxal, el a dovedit că mulțimea tuturor numerelor algebrice conține la fel de multe componente ca mulțimea tuturor numerelor întregi și că numerele transcendentale (cele care nu sunt algebrice, la fel de nesemnificative), care sunt un subset al iraționalelor, sunt nenumărabile și, prin urmare, sunt mai numeroase decât numerele întregi, care trebuie concepute ca infinite.dar lucrarea lui Cantor, în care a prezentat pentru prima dată aceste rezultate, a fost refuzată pentru publicare în Jurnalul lui Crelle de către unul dintre arbitrii săi, Kronecker, care de acum înainte s-a opus vehement lucrării sale. Cu toate acestea, la intervenția lui Dedekind, a fost publicat în 1874 ca „Unquxber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” („pe o proprietate caracteristică a tuturor numerelor algebrice reale”).

în luna de miere în același an cu mireasa sa, Vally Guttman, la Interlaken, Elveția, Cantor l-a întâlnit pe Dedekind, care a dat o audiere simpatică noii sale teorii. Salariul lui Cantor era scăzut, dar moșia tatălui său, care a murit în 1863, i-a permis să construiască o casă pentru soția și cei cinci copii ai săi. Multe dintre lucrările sale au fost publicate în Suedia în noua revistă Acta Mathematica, editată și fondată de G. Mittag-Leffler, una dintre primele persoane care i-au recunoscut abilitatea.

teoria lui Cantor a devenit un subiect cu totul nou de cercetare privind matematica Infinitului (de exemplu, o serie nesfârșită, ca 1, 2, 3,… și seturi chiar mai complicate), iar teoria sa depindea în mare măsură de dispozitivul corespondenței unu-la-unu. Dezvoltând astfel noi modalități de a pune întrebări cu privire la continuitate și infinit, Cantor a devenit rapid controversat. Când a susținut că numerele infinite au o existență reală, el s-a bazat pe filosofia antică și medievală cu privire la infinitul „real” și „potențial” și, de asemenea, pe pregătirea religioasă timpurie oferită de părinții săi. În cartea sa despre seturi, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre („bazele unei teorii generale a agregatelor”), Cantor în 1883 și-a aliat teoria cu metafizica platonică. În schimb, Kronecker, care a susținut că numai numerele întregi „există” („Dumnezeu a făcut numerele întregi, iar restul este lucrarea omului”), timp de mulți ani a respins cu căldură raționamentul său și a blocat numirea sa la Facultatea de la Universitatea din Berlin.