om du vill läsa artikeln, klicka här. Jag bevisar detta faktum i artikeln tillsammans med två andra lika intressanta ekvationer. Det är faktiskt där jag snubblat in i tanken på just den här artikeln. Efter att ha publicerat Ramanujan Summation fick jag en kommentar om min användning av kommutativiteten hos en oändligt räknbar uppsättning. Kommutativitet är tanken att om du har 1+2+3, ändra ordningen på villkoren ändrar inte resultatet. Så 1+2+3=1+3+2, Du kan men villkoren i valfri ordning och svaret kommer fortfarande alltid att vara 6. Jag använder den här egenskapen för att bevisa ovanstående ekvation i min andra artikel, men forceOfHabit tog upp en intressant punkt, håller detta för en oändlig uppsättning siffror?

” det är intuitivt uppenbart att det finns dubbelt så många positiva heltal som även positiva heltal. Men om vi tar sekvensen av positiva heltal och multiplicerar dem alla med 2 får vi sekvensen av jämn positiva heltal. Men att multiplicera varje medlem i sekvensen med 2 ändrar inte antalet medlemmar. Så det finns exakt samma antal positiva heltal som även positiva heltal. Så vad är det? Dubbelt så många eller samma nummer?”- forceOfHabit

och ärligt talat visste jag inte svaret på detta. Men det hade toppat mitt intresse, så jag bestämde mig för att undersöka det lite mer. Jag gick ner en Wikipedia maskhål genom olika grenar av matematiken, lära sig några intressanta fakta på vägen, och hamnade på kardinalitet. Kardinalitet handlar om uppsättningar och är hur du skulle beskriva antalet element i en uppsättning. Till exempel har uppsättningen {1,2,3} 3 element eller en kardinalitet på 3.

med kardinalitet kan vi börja ta tag i frågorna ovan. Jag forskat lite längre och hittade en intressant del av kardinalitet kallas kardinal aritmetik som är aritmetiska operationer som kan utföras på kardinalnummer som generaliserar de vanliga operationerna för naturliga tal. För att uttrycka det i lamens termer är de en speciell uppsättning operationer som fungerar specifikt för kardinalnummer, var och en med sin egen definition. Om du till exempel har två uppsättningar A och B med kardinaliteter 3 respektive 4, betecknar vi detta som |a| = 3 och |B| = 4. Sedan |A| + |B| = / A C / B/. Naturligtvis är detta detsamma som att bara lägga till numeriska värden på |A| och |B|, det faktum att det definieras på detta sätt visar hur det finns aritmetiska operationer som kan skapas för specifika uppsättningar (förutsatt att operationen uppfyller vissa kriterier).

med kardinal aritmetik har det visat sig inte bara att antalet punkter i en reell tallinje är lika med antalet punkter i något segment av den linjen. Det låter väldigt kontraintuitivt, men då igen, så är frågan ovan, varför jag gillar att tro att de liknar varandra. Självklart är detta inte på något sätt ett formellt eller till och med ett giltigt bevis, men jag skulle säga att om du betraktar dem i samma mening, är svaret på forceofhabits fråga alternativ b; samma antal heltal.

men å andra sidan kan jag vara helt fel, och det är oändlighetens förvirring. Det finns så mycket som inte är känt om det eftersom det bara är ett koncept. Det finns inget sätt att mäta oändligheten eftersom det per definition är omätbart och det i sig är ett svårt koncept att linda huvudet runt. Jag tror att min 1: a årets matematikprofessor sammanfattade infinity ganska bra: ”jag hatar infinity. Det är inte ett nummer, men vi behandlar det som ett, men vi borde inte. det är ett koncept, inte ett matematiskt värde, så om någon av er använder det som sådant kan du lika gärna släppa kursen!”