Elastizität
Elastizität, Fähigkeit eines verformten Materialkörpers, in seine ursprüngliche Form und Größe zurückzukehren, wenn die Kräfte, die die Verformung verursachen, entfernt werden. Ein Körper mit dieser Fähigkeit soll sich elastisch verhalten (oder reagieren).
Die meisten festen Materialien weisen mehr oder weniger ein elastisches Verhalten auf, aber es gibt eine Grenze für die Größe der Kraft und die damit verbundene Verformung, innerhalb derer eine elastische Erholung für jedes Material möglich ist. Diese Grenze, die als Elastizitätsgrenze bezeichnet wird, ist die maximale Spannung oder Kraft pro Flächeneinheit innerhalb eines festen Materials, die vor Beginn der bleibenden Verformung auftreten kann. Spannungen jenseits der Elastizitätsgrenze führen dazu, dass ein Material nachgibt oder fließt. Für solche Materialien markiert die Elastizitätsgrenze das Ende des elastischen Verhaltens und den Beginn des plastischen Verhaltens. Bei den meisten spröden Werkstoffen führen Spannungen jenseits der Elastizitätsgrenze zu einem Bruch mit nahezu keiner plastischen Verformung.
Die Elastizitätsgrenze hängt stark von der Art des betrachteten Festkörpers ab; beispielsweise kann ein Stahlstab oder -draht nur etwa 1 Prozent seiner ursprünglichen Länge elastisch verlängert werden, während für Bänder aus bestimmten gummiartigen Materialien elastische Dehnungen von bis zu 1.000 Prozent erreicht werden können. Stahl ist jedoch viel stärker als Gummi, da die Zugkraft, die erforderlich ist, um die maximale elastische Dehnung in Gummi zu bewirken, geringer ist (um einen Faktor von etwa 0,01) als die für Stahl erforderliche. Die elastischen Eigenschaften vieler Feststoffe in Spannung liegen zwischen diesen beiden Extremen.
Die unterschiedlichen makroskopischen elastischen Eigenschaften von Stahl und Gummi resultieren aus ihren sehr unterschiedlichen mikroskopischen Strukturen. Die Elastizität von Stahl und anderen Metallen ergibt sich aus interatomaren Kräften kurzer Reichweite, die, wenn das Material unbelastet ist, die Atome in regelmäßigen Mustern halten. Unter Belastung kann die atomare Bindung schon bei sehr kleinen Verformungen gebrochen werden. Im Gegensatz dazu bestehen gummiartige Materialien und andere Polymere auf mikroskopischer Ebene aus langkettigen Molekülen, die sich beim Ausdehnen des Materials abwickeln und bei elastischer Erholung zurückweichen. Die mathematische Theorie der Elastizität und ihre Anwendung auf die technische Mechanik befasst sich mit der makroskopischen Reaktion des Materials und nicht mit dem zugrunde liegenden Mechanismus, der es verursacht.
In einem einfachen Spannungstest wird die elastische Reaktion von Materialien wie Stahl und Knochen durch eine lineare Beziehung zwischen der Zugspannung (Zug- oder Dehnkraft pro Flächeneinheit des Querschnitts des Materials), σ, und dem Ausdehnungsverhältnis (Differenz zwischen ausgedehnter und anfänglicher Länge geteilt durch die Anfangslänge), e. Mit anderen Worten, σ ist proportional zu e; Dies wird σ = Ee ausgedrückt, wobei E, die Proportionalitätskonstante, Young-Modul genannt wird. Der Wert von E hängt vom Material ab; das Verhältnis seiner Werte für Stahl und Gummi beträgt etwa 100.000. Die Gleichung σ = Ee ist als Hookes Gesetz bekannt und ein Beispiel für ein konstitutives Gesetz. Es drückt in makroskopischen Größen etwas über die Natur (oder Konstitution) des Materials aus. Hookes Gesetz gilt im Wesentlichen für eindimensionale Verformungen, aber es kann auf allgemeinere (dreidimensionale) Verformungen durch die Einführung linear verwandter Spannungen und Dehnungen (Verallgemeinerungen von σ und e) ausgedehnt werden, die für Scherung, Verdrehung und Volumenänderungen verantwortlich sind. Das resultierende verallgemeinerte Hookesche Gesetz, auf dem die lineare Elastizitätstheorie basiert, liefert eine gute Beschreibung der elastischen Eigenschaften aller Materialien, vorausgesetzt, dass die Verformungen Dehnungen entsprechen, die etwa 5 Prozent nicht überschreiten. Diese Theorie wird häufig bei der Analyse von Ingenieurbauwerken und seismischen Störungen angewendet.
Die Elastizitätsgrenze unterscheidet sich im Prinzip von der Proportionalgrenze, die das Ende des elastischen Verhaltens markiert, das durch das Hookesche Gesetz beschrieben werden kann, nämlich dasjenige, bei dem die Spannung proportional zur Dehnung ist (relative Verformung) oder äquivalent dasjenige, bei dem die Last proportional zur Verschiebung ist. Die Elastizitätsgrenze fällt fast mit der proportionalen Grenze für einige elastische Materialien zusammen, so dass manchmal die beiden nicht unterschieden werden; während für andere Materialien ein Bereich nichtproportionaler Elastizität zwischen den beiden besteht.
Die lineare Elastizitätstheorie ist nicht ausreichend für die Beschreibung der großen Verformungen, die in Gummi oder in weichem menschlichen Gewebe wie Haut auftreten können. Die elastische Reaktion dieser Materialien ist bis auf sehr kleine Verformungen nichtlinear und kann für einfache Spannungen durch das Konstitutivgesetz σ = f (e) dargestellt werden, wobei f (e) eine mathematische Funktion von e ist, die vom Material abhängt und sich Ee annähert, wenn e sehr klein ist. Der Begriff nichtlinear bedeutet, dass der Graph von σ aufgetragen gegen e ist keine gerade Linie, im Gegensatz zu der Situation in der linearen Theorie. Die Energie W(e), die im Material unter der Wirkung der Spannung σ gespeichert ist, repräsentiert die Fläche unter dem Graphen von σ = f (e). Es steht zur Übertragung in andere Energieformen zur Verfügung — beispielsweise in die kinetische Energie eines Projektils aus einem Katapult.
Die gespeicherte Energiefunktion W(e) kann bestimmt werden, indem die theoretische Beziehung zwischen σ und e mit den Ergebnissen experimenteller Zugversuche verglichen wird, bei denen σ und e gemessen werden. Auf diese Weise kann die elastische Reaktion eines beliebigen Festkörpers unter Spannung mittels einer Speicherfunktion charakterisiert werden. Ein wichtiger Aspekt der Elastizitätstheorie ist die Konstruktion spezifischer Formen der Dehnungsenergiefunktion aus den Ergebnissen von Experimenten mit dreidimensionalen Verformungen, die die oben beschriebene eindimensionale Situation verallgemeinern.
Dehnungsenergiefunktionen können verwendet werden, um das Verhalten des Materials unter Umständen vorherzusagen, unter denen ein direkter experimenteller Test nicht praktikabel ist. Insbesondere können sie bei der Konstruktion von Bauteilen in Ingenieurbauwerken verwendet werden. Zum Beispiel wird Gummi in Brückenlagern und Motorlagern verwendet, wo seine elastischen Eigenschaften für die Absorption von Vibrationen wichtig sind. Stahlträger, Platten und Schalen werden in vielen Strukturen benutzt; ihre elastische Flexibilität trägt zur Unterstützung von großen Druck ohne materiellen Schaden oder Ausfall bei. Die Elastizität der Haut ist ein wichtiger Faktor für die erfolgreiche Praxis der Hauttransplantation. Im mathematischen Rahmen der Elastizitätstheorie werden Probleme im Zusammenhang mit solchen Anwendungen gelöst. Die von der Mathematik vorhergesagten Ergebnisse hängen entscheidend von den Materialeigenschaften ab, die in der Dehnungsenergiefunktion enthalten sind, und eine Vielzahl interessanter Phänomene kann modelliert werden.
Gase und Flüssigkeiten besitzen ebenfalls elastische Eigenschaften, da sich ihr Volumen unter Druckeinwirkung ändert. Für kleine Volumenänderungen wird der Volumenmodul κ eines Gases, einer Flüssigkeit oder eines Feststoffs durch die Gleichung P = −κ (V − V0) / V0 definiert, wobei P der Druck ist, der das Volumen V0 einer festen Materialmasse auf V reduziert. Da Gase im Allgemeinen leichter komprimiert werden können als Flüssigkeiten oder Feststoffe, ist der Wert von κ für ein Gas sehr viel geringer als der für eine Flüssigkeit oder einen Feststoff. Im Gegensatz zu Feststoffen können Flüssigkeiten keine Scherspannungen tragen und haben keinen Elastizitätsmodul. Siehe auch Verformung und Strömung.
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