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mecánica de sólidos: Ecuaciones de movimiento de cuerpos elásticos lineales.

theory teoría puramente mecánica de elasticidad lineal (es decir, cuando se descuida el acoplamiento con el campo de temperatura, o cuando o bien es isotérmico…

En mayor o menor medida, la mayoría de los materiales sólidos exhiben un comportamiento elástico, pero hay un límite a la magnitud de la fuerza y la deformación acompañante dentro de la cual es posible la recuperación elástica para cualquier material dado. Este límite, llamado límite elástico, es la tensión o fuerza máxima por unidad de área dentro de un material sólido que puede surgir antes del inicio de la deformación permanente. Las tensiones más allá del límite elástico hacen que un material ceda o fluya. Para estos materiales, el límite elástico marca el final del comportamiento elástico y el comienzo del comportamiento plástico. Para la mayoría de los materiales quebradizos, las tensiones más allá del límite elástico dan lugar a fracturas con casi ninguna deformación plástica.

El límite elástico depende notablemente del tipo de sólido considerado; por ejemplo, una barra de acero o alambre se puede extender elásticamente solo alrededor del 1 por ciento de su longitud original, mientras que para las tiras de ciertos materiales similares al caucho, se pueden lograr extensiones elásticas de hasta el 1,000 por ciento. El acero es mucho más fuerte que el caucho, sin embargo, porque la fuerza de tracción requerida para efectuar la extensión elástica máxima en el caucho es menor (por un factor de aproximadamente 0,01) que la requerida para el acero. Las propiedades elásticas de muchos sólidos en tensión se encuentran entre estos dos extremos.

Las diferentes propiedades elásticas macroscópicas del acero y el caucho resultan de sus estructuras microscópicas muy diferentes. La elasticidad del acero y otros metales surge de fuerzas interatómicas de corto alcance que, cuando el material no está estresado, mantienen los átomos en patrones regulares. Bajo estrés, la unión atómica se puede romper con deformaciones bastante pequeñas. Por el contrario, a nivel microscópico, los materiales similares al caucho y otros polímeros consisten en moléculas de cadena larga que se desenrollan a medida que el material se extiende y retroceden en recuperación elástica. La teoría matemática de la elasticidad y su aplicación a la mecánica de ingeniería se refiere a la respuesta macroscópica del material y no al mecanismo subyacente que lo causa.

En una prueba de tensión simple, la respuesta elástica de materiales como el acero y el hueso se caracteriza por una relación lineal entre la tensión de tracción (tensión o fuerza de estiramiento por unidad de área de sección transversal del material), σ, y la relación de extensión (diferencia entre longitudes extendidas e iniciales divididas por la longitud inicial), e. En otras palabras, σ es proporcional a e; esto se expresa σ = Ee, donde E, la constante de proporcionalidad, se llama módulo de Young. El valor de E depende del material; la relación de sus valores para el acero y el caucho es de aproximadamente 100.000. La ecuación σ = Ee se conoce como ley de Hooke y es un ejemplo de ley constitutiva. Expresa, en términos de cantidades macroscópicas, algo sobre la naturaleza (o constitución) del material. La ley de Hooke se aplica esencialmente a las deformaciones unidimensionales, pero se puede extender a deformaciones más generales (tridimensionales) mediante la introducción de tensiones y deformaciones relacionadas linealmente (generalizaciones de σ y e) que dan cuenta de los cambios de corte, torsión y volumen. La ley de Hooke generalizada resultante, en la que se basa la teoría lineal de la elasticidad, proporciona una buena descripción de las propiedades elásticas de todos los materiales, siempre que las deformaciones correspondan a extensiones que no excedan aproximadamente el 5 por ciento. Esta teoría se aplica comúnmente en el análisis de estructuras de ingeniería y de perturbaciones sísmicas.

El límite elástico es en principio diferente del límite proporcional, que marca el final del tipo de comportamiento elástico que puede describirse por la ley de Hooke, a saber, aquel en el que el esfuerzo es proporcional a la deformación relativa o, de forma equivalente, aquel en el que la carga es proporcional al desplazamiento. El límite elástico casi coincide con el límite proporcional para algunos materiales elásticos, de modo que a veces los dos no se distinguen; mientras que para otros materiales existe una región de elasticidad no proporcional entre los dos.

La teoría lineal de la elasticidad no es adecuada para la descripción de las grandes deformaciones que pueden ocurrir en el caucho o en tejidos humanos blandos como la piel. La respuesta elástica de estos materiales es no lineal excepto para deformaciones muy pequeñas y, para una tensión simple, puede representarse por la ley constitutiva σ = f (e), donde f (e) es una función matemática de e que depende del material y que se aproxima a Ee cuando e es muy pequeña. El término no lineal significa que la gráfica de σ trazada contra e no es una línea recta, en contraste con la situación en la teoría lineal. La energía, W(e), almacenada en el material bajo la acción de la tensión σ representa el área bajo el gráfico de σ = f (e). Está disponible para su transferencia a otras formas de energía, por ejemplo, a la energía cinética de un proyectil de una catapulta.

La función de energía almacenada W(e) se puede determinar comparando la relación teórica entre σ y e con los resultados de pruebas de tensión experimentales en las que se miden σ y e. De esta manera, la respuesta elástica de cualquier sólido en tensión se puede caracterizar por medio de una función de energía almacenada. Un aspecto importante de la teoría de la elasticidad es la construcción de formas específicas de función de energía de deformación a partir de los resultados de experimentos que involucran deformaciones tridimensionales, generalizando la situación unidimensional descrita anteriormente.

Las funciones de energía de deformación se pueden utilizar para predecir el comportamiento del material en circunstancias en las que un ensayo experimental directo no es práctico. En particular, se pueden utilizar en el diseño de componentes en estructuras de ingeniería. Por ejemplo, el caucho se utiliza en cojinetes de puentes y montajes de motores, donde sus propiedades elásticas son importantes para la absorción de vibraciones. Las vigas, placas y conchas de acero se utilizan en muchas estructuras; su flexibilidad elástica contribuye al soporte de grandes tensiones sin daños materiales ni fallas. La elasticidad de la piel es un factor importante en la práctica exitosa del injerto de piel. En el marco matemático de la teoría de la elasticidad, se resuelven los problemas relacionados con tales aplicaciones. Los resultados predichos por las matemáticas dependen críticamente de las propiedades del material incorporadas en la función de energía de deformación, y se puede modelar una amplia gama de fenómenos interesantes.

Los gases y líquidos también poseen propiedades elásticas ya que su volumen cambia bajo la acción de la presión. Para pequeños cambios de volumen, el módulo de volumen, κ, de un gas, líquido o sólido se define por la ecuación P = −κ(V − V0)/V0, donde P es la presión que reduce el volumen V0 de una masa fija de material a V. Dado que los gases en general se pueden comprimir más fácilmente que los líquidos o sólidos, el valor de κ para un gas es mucho menor que el de un líquido o sólido. En contraste con los sólidos, los fluidos no pueden soportar tensiones de corte y tienen un módulo de Young cero. Véase también deformación y flujo.