Teoría de conjuntos

Un importante intercambio de cartas con Richard Dedekind, matemático del Instituto Técnico de Brunswick, que fue su amigo y colega de toda la vida, marcó el comienzo de las ideas de Cantor sobre la teoría de conjuntos. Ambos estuvieron de acuerdo en que un conjunto, ya sea finito o infinito, es una colección de objetos (por ejemplo, los enteros, {0, ±1, ±2,…}) que comparten una propiedad particular, mientras que cada objeto conserva su propia individualidad. Pero cuando Cantor aplicó el dispositivo de la correspondencia uno a uno (p. ej., {a, b, c} a {1, 2, 3}) para estudiar las características de los conjuntos, rápidamente vio que diferían en el grado de su pertenencia, incluso entre conjuntos infinitos. (Un conjunto es infinito si una de sus partes, o subconjuntos, tiene tantos objetos como él mismo. Su método pronto produjo resultados sorprendentes.

En 1873 Cantor demostró que los números racionales, aunque infinitos, son contables (o denumerables) porque pueden colocarse en una correspondencia uno a uno con los números naturales (es decir, los enteros, como 1, 2, 3,…). Demostró que el conjunto (o agregado) de números reales (compuesto de números irracionales y racionales) era infinito e incontable. Aún más paradójicamente, demostró que el conjunto de todos los números algebraicos contiene tantos componentes como el conjunto de todos los enteros y que los números trascendentales (aquellos que no son algebraicos, como π), que son un subconjunto de los irracionales, son incontables y, por lo tanto, más numerosos que los enteros, que deben concebirse como infinitos.

Pero el artículo de Cantor, en el que presentó por primera vez estos resultados, fue rechazado para su publicación en el Diario de Crelle por uno de sus árbitros, Kronecker, que a partir de entonces se opuso vehementemente a su trabajo. En la intervención de Dedekind, sin embargo, fue publicado en 1874 como «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen» («Sobre una Propiedad Característica de Todos los Números Algebraicos Reales»).

Mientras estaba de luna de miel el mismo año con su novia, Vally Guttman, en Interlaken, Suiza, Cantor conoció a Dedekind, quien escuchó con simpatía su nueva teoría. El salario de Cantor era bajo, pero la herencia de su padre, que murió en 1863, le permitió construir una casa para su esposa y cinco hijos. Muchos de sus artículos fueron publicados en Suecia en la nueva revista Acta Mathematica, editada y fundada por Gösta Mittag-Leffler, una de las primeras personas en reconocer su habilidad.

La teoría de Cantor se convirtió en un tema completamente nuevo de investigación sobre las matemáticas del infinito (por ejemplo, una serie interminable, como 1, 2, 3,…, e incluso conjuntos más complicados), y su teoría dependía en gran medida del dispositivo de la correspondencia uno a uno. Al desarrollar así nuevas formas de hacer preguntas sobre la continuidad y el infinito, Cantor se convirtió rápidamente en controvertido. Cuando argumentó que los números infinitos tenían una existencia real, se basó en la filosofía antigua y medieval sobre el infinito «real» y «potencial» y también en la educación religiosa temprana que le dieron sus padres. En su libro sobre conjuntos, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre («Fundamentos de una Teoría General de Agregados»), Cantor en 1883 alió su teoría con la metafísica platónica. Por el contrario, Kronecker, que sostenía que solo los enteros «existen» («Dios hizo los enteros, y todo lo demás es obra del hombre»), durante muchos años rechazó acaloradamente su razonamiento y bloqueó su nombramiento a la facultad de la Universidad de Berlín.