joukko-oppi

tärkeä kirjeenvaihto Brunswickin teknillisen instituutin matemaatikon Richard Dedekindin kanssa, joka oli hänen elinikäinen ystävänsä ja kollegansa, merkitsi alkua Cantorin ajatuksille sarjojen teoriasta. Molemmat sopivat, että joukko, olipa äärellinen tai ääretön, on kokoelma esineitä (esim. kokonaislukuja, {0, ±1, ±2,…}) jotka jakavat tietyn ominaisuuden, kun taas jokainen esine säilyttää oman yksilöllisyytensä. Mutta kun Cantor sovelsi one-to-one-kirjeenvaihtoa (esim., {a, b, c} – {1, 2, 3}) tutkiakseen joukkojen ominaisuuksia hän huomasi nopeasti, että ne erosivat jäsenmääränsä suhteen, jopa äärettömien joukkojen kesken. (Joukko on ääretön, jos jollakin sen osista eli osajoukoista on yhtä monta objektia kuin itsellään.) Hänen menetelmänsä tuotti pian yllättäviä tuloksia.

vuonna 1873 Cantor osoitti, että vaikka rationaaliluvut ovat äärettömiä, ne ovat laskettavissa (tai denumeroituvia), koska ne voidaan sijoittaa yksi yhteen luonnollisten lukujen kanssa (eli kokonaisluvut, kuten 1, 2, 3,…). Hän osoitti, että joukko (tai yhteenlaskettu) todellinen määrä (koostuu irrationaalinen ja järkevä numerot) oli ääretön ja uncountable. Vielä paradoksaalisesti, hän osoitti, että joukko kaikkien algebrallinen numerot sisältää niin monta komponenttia kuin joukko kaikkien kokonaislukuja ja että Transsendenttiluku numerot (ne, jotka eivät ole algebrallinen, kuten π), jotka ovat osajoukko, irrationals, ovat uncountable ja ovat siksi enemmän kuin kokonaislukuja, jotka on suunniteltu ääretön.

mutta Cantor ’s paperi, jossa hän ensin esittää nämä tulokset, oli evätty julkaistavaksi Crelle’ s Journal yksi sen referee, Kronecker, jotka vastedes kiivaasti vastusti hänen työstään. Dedekindin väliintulosta se kuitenkin julkaistiin vuonna 1874 nimellä ”Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (”kaikkien reaalisten algebrallisten lukujen ominaisuudesta”).

ollessaan häämatkalla samana vuonna morsiamensa Vally Guttmanin kanssa Sveitsin Interlakenissa Cantor tapasi Dedekindin, joka kuunteli myötämielisesti hänen uutta teoriaansa. Cantorin palkka oli pieni, mutta hänen vuonna 1863 kuolleen isänsä kuolinpesän ansiosta hän pystyi rakentamaan talon vaimolleen ja viidelle lapselleen. Monet hänen papereita julkaistiin Ruotsissa uudessa lehdessä Acta Mathematica, edited ja perusti Gösta Mittag-Leffler, yksi ensimmäisistä henkilöistä, jotka tunnustavat hänen kykynsä.

Cantorin teoriasta tuli kokonaan uusi tutkimuskohde, joka koskee äärettömien matematiikkaa (esimerkiksi loputon sarja, kuten 1, 2, 3,…, ja vielä monimutkaisemmat sarjat), ja hänen teoriansa oli vahvasti riippuvainen one-to-one-kirjeenvaihdon laitteesta. Kehittäessään näin uusia tapoja esittää kysymyksiä jatkuvuudesta ja äärettömyydestä Cantor tuli nopeasti kiistanalaiseksi. Kun hän väitti, että äärettömillä joukoilla oli aktuaalinen olemassaolo, hän hyödynsi antiikin ja keskiajan filosofiaa koskien ”aktuaalista” ja ”potentiaalista” infiniittistä ja myös varhaista uskonnollista koulutusta, jonka hänen vanhempansa antoivat hänelle. Teoksessaan lavasteista, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (”yleisen Aggregaattiteorian perusteet”), Cantor vuonna 1883 liittoutui teoriansa platonisen metafysiikan kanssa. Sen sijaan Kronecker, joka katsoi, että vain kokonaisluvut ”ovat olemassa” (”Jumala teki kokonaisluvut, ja kaikki muu on ihmisen työtä”), hylkäsi monta vuotta kiivaasti perustelunsa ja esti hänen nimittämisensä Berliinin yliopiston tiedekuntaan.