set theory

fontos levélváltás Richard Dedekinddel, a Brunswick Műszaki Intézet matematikusával, aki egész életen át tartó barátja és kollégája volt, jelezte Cantor ötleteinek kezdetét a halmazelméletről. Mindkettő egyetértett abban, hogy egy halmaz, akár véges, akár végtelen, objektumok gyűjteménye (pl. egész számok, {0, ±1, ±2,…}) Ez egy adott tulajdonsággal rendelkezik, miközben minden objektum megtartja saját egyéniségét. De amikor Cantor alkalmazta az egy-egy levelezés eszközét (pl., {a, b, c} – {1, 2, 3}) a halmazok jellemzőinek tanulmányozására gyorsan látta, hogy tagságuk mértékében különböznek egymástól, még a végtelen halmazok között is. (A készlet végtelen, ha annak egyik része vagy részhalmaza annyi objektummal rendelkezik, mint maga.) Módszere hamarosan meglepő eredményeket hozott.

1873-ban Cantor bebizonyította, hogy a racionális számok, bár végtelenek, megszámlálhatók (vagy denumálhatók), mert a természetes számokkal (azaz az egész számokkal, mint 1, 2, 3,…) egy-egy levelezésbe helyezhetők. Megmutatta, hogy a valós számok halmaza (vagy összessége) (irracionális és racionális számokból áll) végtelen és megszámlálhatatlan. Még inkább paradox módon bebizonyította, hogy az összes algebrai szám halmaza annyi összetevőt tartalmaz, mint az összes egész szám halmaza, és hogy a transzcendentális számok (azok, amelyek nem algebrai, mint π), amelyek az irracionálisok egy alcsoportja, megszámlálhatatlanok, ezért számosabbak, mint egész számok, amelyeket végtelennek kell tekinteni.

de Cantor papírját, amelyben először terjesztette ezeket az eredményeket, megtagadta a Crelle naplójában való közzétételét az egyik játékvezetője, Kronecker, aki mostantól hevesen ellenezte munkáját. Dedekind beavatkozásáról azonban 1874-ben “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (“az összes valós algebrai szám jellemző tulajdonságáról”) címmel jelent meg.

miközben ugyanabban az évben nászúton volt menyasszonyával, Vally Guttmannal, a svájci Interlaken-ben, Cantor találkozott Dedekinddal, aki szimpatikus meghallgatást adott új elméletének. Cantor fizetése alacsony volt, de apja birtoka, aki 1863-ban halt meg, lehetővé tette számára, hogy házat építsen feleségének és öt gyermekének. Számos tanulmánya jelent meg Svédországban az Acta Mathematica című új folyóiratban, szerkesztette és alapította Gösta Mittag-Leffler, aki az elsők között ismerte fel képességeit.

Cantor elmélete a végtelen matematikájával kapcsolatos kutatás teljesen új tárgyává vált (pl. végtelen sorozat, mint 1, 2, 3,…, és még bonyolultabb halmazok), elmélete nagymértékben függött az egy-egy levelezés eszközétől. A folytonossággal és a végtelenséggel kapcsolatos kérdések új módjainak kidolgozásával Cantor gyorsan ellentmondásossá vált. Amikor azt állította, hogy a végtelen számoknak tényleges létezése van, az ősi és középkori filozófiára támaszkodott a “tényleges” és a “potenciális” végtelenre, valamint a szülei által adott korai vallási képzésre. A Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (“az aggregátumok általános elméletének alapjai”) című könyvében Cantor 1883-ban platonikus metafizikával egyesítette elméletét. Ezzel szemben Kronecker, aki úgy vélte, hogy csak az egész számok ” léteznek “(“Isten tette az egészeket, a többi pedig az ember munkája”), sok éven át hevesen elutasította érvelését, és blokkolta kinevezését a Berlini Egyetem karára.