Settteori

En viktig brevveksling med Richard Dedekind, matematiker Ved Brunswick Technical Institute, som var hans livslange venn og kollega, markerte Begynnelsen På Cantors ideer om teorien om sett. Begge var enige om at et sett, enten endelig eller uendelig, er en samling av objekter (f. eks., {0, ±1, ±2,…}) som deler en bestemt egenskap mens hvert objekt beholder sin egen individualitet. Men Når Cantor brukte enheten til en-til-en-korrespondansen (f. eks., {a, b, c} til {1, 2, 3}) for å studere egenskapene til settene, så han raskt at de varierte i omfanget av deres medlemskap, selv blant uendelige sett. (Et sett er uendelig hvis en av delene, eller delsett, har så mange objekter som seg selv.) Hans metode ga snart overraskende resultater.I 1873 Viste Cantor At de rasjonelle tallene, skjønt uendelige, er tellbare (eller denumerable) fordi de kan plasseres i en en-til-en korrespondanse med de naturlige tallene (dvs. heltallene, som 1, 2, 3,…). Han viste at settet (eller aggregatet) av reelle tall (sammensatt av irrasjonelle og rasjonelle tall) var uendelig og utallige. Enda mer paradoksalt beviste han at settet av alle algebraiske tall inneholder så mange komponenter som settet av alle heltall, og at transcendentale tall (de som ikke er algebraiske, som π), som er en delmengde av irrasjonelle, er utallige og er derfor flere tallrike enn heltall, som må oppfattes som uendelig.Men Cantors papir, der Han først fremførte disse resultatene, ble nektet for publisering I Crelles Journal av En av dets dommere, Kronecker, som heretter var sterkt imot hans arbeid. På Dedekind intervensjon, men ble det publisert i 1874 som «Ü Eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen» («På En Karakteristisk Egenskap Av Alle Reelle Algebraiske Tall»).På bryllupsreise samme år med sin brud, Vally Guttman, I Interlaken, Sveits, Møtte Cantor Dedekind, som ga en sympatisk høring til sin nye teori. Cantors lønn var lav, men hans fars eiendom, som døde i 1863, gjorde det mulig for ham å bygge et hus for sin kone og fem barn. Mange av hans papirer ble publisert I Sverige I det nye tidsskriftet Acta Mathematica, redigert Og grunnlagt Av Gö Mittag-Leffler, en av de første personene til å gjenkjenne sin evne.Cantors teori ble et helt nytt emne for forskning om matematikken til det uendelige (f.eks. en endeløs serie, som 1, 2, 3,… og enda mer kompliserte sett), og hans teori var sterkt avhengig av enheten av en-til-en korrespondanse. Ved å utvikle nye måter å stille spørsmål om kontinuitet og uendelighet, Ble Cantor raskt kontroversiell. Da han hevdet at uendelige tall hadde en faktisk eksistens, trakk han på gammel og middelalderlig filosofi om den «faktiske» og «potensielle» uendelige og også på den tidlige religiøse trening gitt ham av foreldrene sine. I Sin bok Om sett, Grundlagen einer Allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre («Foundations Of A General Theory Of Aggregates»), allierte Cantor I 1883 sin teori med Platonisk metafysikk. Som kontrast, Kronecker, som mente at bare heltallene «eksisterer» («Gud gjorde heltallene, og resten er menneskets arbeid»), avviste i mange år hans resonnement og blokkerte hans avtale til fakultetet Ved Universitetet I Berlin.