teoria zbiorów

ważna wymiana listów z Richardem Dedekindem, matematykiem z Brunswick Technical Institute, który był jego wieloletnim przyjacielem i kolegą, zapoczątkowała idee Cantora dotyczące teorii zbiorów. Obaj zgodzili się, że zbiór, czy skończony, czy nieskończony, jest zbiorem obiektów (np. liczb całkowitych, {0, ±1, ±2,…}) które mają określoną właściwość, podczas gdy każdy obiekt zachowuje swoją indywidualność. Ale kiedy Cantor zastosował urządzenie korespondencji jeden do jednego (np., {a, b, c} do {1, 2, 3}) aby zbadać cechy zbiorów, szybko zauważył, że różnią się one w zakresie ich przynależności, nawet wśród nieskończonych zbiorów. (Zbiór jest nieskończony, jeśli jedna z jego części lub podzbiorów ma tyle obiektów, co on sam.) Jego metoda szybko przyniosła zaskakujące rezultaty.

w 1873 Cantor wykazał, że liczby wymierne, choć nieskończone, są policzalne (lub denumeratywne), ponieważ mogą być umieszczone w korespondencji jeden do jednego z liczbami naturalnymi (tj. liczbami całkowitymi, jako 1, 2, 3,…). Pokazał, że zbiór (lub agregat) liczb rzeczywistych (złożonych z liczb irracjonalnych i wymiernych) jest nieskończony i niepoliczalny. Jeszcze bardziej paradoksalnie udowodnił, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych zawiera tyle elementów, ile zbiór wszystkich liczb całkowitych i że liczby transcendentalne (te, które nie są algebraiczne, jak π), które są podzbiorem irracjonalnych, są niepoliczalne i dlatego są liczniejsze niż liczby całkowite, które muszą być pomyślane jako nieskończone.

ale artykuł Cantora, w którym po raz pierwszy przedstawił te wyniki, został odrzucony do publikacji w Dzienniku Crelle ’ a przez jednego z jego sędziów, Kroneckera, który odtąd stanowczo sprzeciwiał się jego pracy. Na podstawie interwencji Dedekinda została jednak opublikowana w 1874 roku jako” Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen „(„o charakterystycznej własności wszystkich liczb algebraicznych rzeczywistych”).

podczas podróży poślubnej w tym samym roku ze swoją narzeczoną, Vally Guttman, w Interlaken w Szwajcarii, Cantor spotkał Dedekinda, który udzielił współczucia jego nowej teorii. Pensja cantora była niska, ale majątek ojca, który zmarł w 1863 roku, pozwolił mu zbudować dom dla żony i pięciorga dzieci. Wiele z jego prac zostało opublikowanych w Szwecji w nowym czasopiśmie Acta Mathematica, redagowanym i założonym przez Gösta Mittag-Lefflera, jedną z pierwszych osób, które uznały jego umiejętności.

teoria Cantora stała się zupełnie nowym przedmiotem badań dotyczących matematyki nieskończoności (np. nieskończonych szeregów, jako 1, 2, 3,…, a nawet bardziej skomplikowanych zbiorów), a jego teoria była silnie uzależniona od urządzenia korespondencji jeden-do-jednego. Rozwijając w ten sposób nowe sposoby zadawania pytań dotyczących ciągłości i nieskończoności, Cantor szybko stał się kontrowersyjny. Kiedy argumentował, że nieskończone liczby mają rzeczywistą egzystencję, czerpał ze starożytnej i średniowiecznej filozofii dotyczącej „rzeczywistej” i „potencjalnej” nieskończoności, a także z wczesnego nauczania religijnego, które dał mu jego rodzice. W książce”Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre” („Podstawy ogólnej teorii agregatów”) Cantor w 1883 połączył swoją teorię z metafizyką platońską. Natomiast Kronecker, który uważał, że tylko liczby całkowite „istnieją” („Bóg stworzył liczby całkowite, a cała reszta jest dziełem człowieka”), przez wiele lat gorliwie odrzucał jego rozumowanie i blokował jego nominację na wydział na Uniwersytecie w Berlinie.