alguns dias atrás eu escrevi um artigo sobre o Ramanujan Soma, que para cortar uma longa história curta é um matemático série que é algo como isto:

Se você quiser ler o artigo, clique aqui. Eu provo este fato no artigo junto com duas outras equações igualmente interessantes. Foi aqui que me deparei com a ideia para este artigo. Depois de publicar a soma de Ramanujan, eu recebi um comentário sobre o meu uso da comutatividade de um conjunto infinitamente contável. A comutatividade é a idéia de que se você tem 1+2+3, Reordenar os Termos não altera o resultado. Então … 1+2+3=1+3+2, você pode apenas os termos em qualquer ordem e a resposta será sempre 6. Eu uso Esta propriedade para provar a equação acima em meu outro artigo, mas Force ofhabit trouxe um ponto interessante, isso vale para um conjunto infinito de números?

“Its intuitively obvious there are twice as many positive integers as even positive integers. Mas se pegarmos a sequência de inteiros positivos e multiplicarmos todos por dois, teremos a sequência de inteiros mesmo positivos. Mas multiplicar cada membro da sequência por 2 não muda o número de membros. Assim, há exatamente o mesmo número de inteiros positivos que mesmo inteiros positivos. Então, qual é? O dobro ou o mesmo número?”- forceOfHabit

e honestamente, eu não sabia a resposta para isso. Mas tinha atingido o meu interesse, então decidi pesquisá-lo um pouco mais. Eu desci por um wormhole da Wikipédia através de diferentes ramos da matemática, aprendendo alguns fatos interessantes ao longo do caminho, e acabei em cardinalidade. Cardinalidade lida com conjuntos e é como você descreveria o número de elementos em um conjunto. Por exemplo, o conjunto {1,2,3} tem 3 elementos ou uma cardinalidade de 3.usando a cardinalidade, podemos começar a controlar as perguntas acima. Pesquisei um pouco mais e encontrei uma parte interessante da cardinalidade chamada aritmética Cardinal que são operações aritméticas que podem ser realizadas em números cardinais que generalizam as operações ordinárias para números naturais. Para colocá-lo em termos lamens, eles são um conjunto especial de operações que trabalham especificamente para números cardinais, cada um com sua própria definição. Por exemplo, se você tem dois conjuntos A E B com cardinalidades 3 e 4 respectivamente, então nós denotamos isto como |a| = 3 e |B| = 4. Then |A / + / B / = / A ∪ B/. Naturalmente, isto é o mesmo que apenas adicionar valores numéricos de |A| E |B|, o fato de que ele é definido desta forma mostra como existem operações aritméticas que podem ser criadas para conjuntos específicos (desde que a operação cumpra certos critérios).

usando aritmética cardinal, tem sido provado não só que o número de pontos em uma linha de números reais é igual ao número de pontos em qualquer segmento dessa linha. Parece muito contra-intuitivo, mas por outro lado, também é a questão acima, e é por isso que eu gosto de pensar que eles são semelhantes. Obviamente, esta não é de forma alguma uma prova formal ou mesmo válida, mas eu diria que se você as considerar no mesmo sentido, então a resposta à pergunta de forceOfHabit é a opção b; o mesmo número de inteiros.mas por outro lado, posso estar completamente errado, e essa é a perplexidade do infinito. Há tanta coisa que não se sabe sobre ela porque é apenas um conceito. Não há maneira de medir o infinito porque, por definição, é incomensurável e isso por si só é um conceito difícil de envolver a vossa cabeça. Acho que o professor do meu primeiro ano de matemática resumiu bem o infinito: “odeio o infinito. Não é um número, mas nós o tratamos como um, mas não devemos. é um conceito, não um valor matemático, então se algum de vocês usá-lo como tal, você pode muito bem desistir do curso!”