Set theory

en viktig skriftväxling med Richard Dedekind, matematiker vid Brunswick Technical Institute, som var hans livslånga vän och kollega, markerade början på Cantors tankar om teorin om uppsättningar. Båda var överens om att en uppsättning, vare sig ändlig eller oändlig, är en samling objekt (t. ex. heltal, {0, ±1, ±2,…}) Det delar en viss egenskap medan varje objekt behåller sin egen individualitet. Men när Cantor tillämpade enheten för en-till-en-korrespondensen (t. ex., {a, b, c} till {1, 2, 3}) för att studera egenskaperna hos uppsättningar såg han snabbt att de skilde sig i omfattningen av deras medlemskap, även bland oändliga uppsättningar. (En uppsättning är oändlig om en av dess delar, eller delmängder, har så många objekt som sig själv.) Hans metod gav snart överraskande resultat.

1873 visade Cantor att de rationella talen, även om de är oändliga, är räknbara (eller denumerable) eftersom de kan placeras i en en-till-en-korrespondens med de naturliga talen (dvs heltalen, som 1, 2, 3,…). Han visade att uppsättningen (eller aggregatet) av reella tal (bestående av irrationella och rationella tal) var oändligt och oräkneligt. Ännu mer paradoxalt bevisade han att uppsättningen av alla algebraiska tal innehåller så många komponenter som uppsättningen av alla heltal och att transcendentala tal (de som inte är algebraiska, som kub), som är en delmängd av irrationalerna, är oräkneliga och är därför fler än heltal, som måste uppfattas som oändliga.

men Cantors papper, där han först lade fram dessa resultat, nekades för publicering i Crelle ’ s Journal av en av dess domare, Kronecker, som hädanefter starkt motsatte sig sitt arbete. På Dedekinds ingripande publicerades det emellertid 1874 som” Audber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen ”(”på en karakteristisk egenskap hos alla riktiga algebraiska nummer”).medan honeymooning samma år med sin brud, Vally Guttman, i Interlaken, Schweiz, träffade Cantor Dedekind, som gav en sympatisk hörsel till sin nya teori. Cantors lön var låg, men hans faders egendom, som dog 1863, gjorde det möjligt för honom att bygga ett hus för sin fru och fem barn. Många av hans artiklar publicerades i Sverige i den nya tidskriften Acta Mathematica, redigerad och grundad av G Jacobsta Mittag-Leffler, en av de första personerna som kände igen hans förmåga.

Cantor ’ s teori blev ett helt nytt ämne för forskning om den oändliga matematiken (t.ex. en oändlig serie, som 1, 2, 3,… och ännu mer komplicerade uppsättningar), och hans teori var starkt beroende av enheten för en-till-en-korrespondensen. Genom att på så sätt utveckla nya sätt att ställa frågor om kontinuitet och oändlighet blev Cantor snabbt kontroversiell. När han hävdade att oändliga tal hade en verklig existens, drog han sig på forntida och medeltida filosofi om den ”faktiska” och ”potentiella” oändliga och även på den tidiga religiösa träningen som hans föräldrar gav honom. I sin bok om uppsättningar, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (”grunden för en allmän teori om aggregat”), allierade Cantor 1883 sin teori med platonisk metafysik. Däremot Kronecker, som ansåg att endast heltalen ”existerar” (”Gud gjorde heltalen, och resten är människans arbete”), under många år avvisade han sin resonemang och blockerade hans utnämning till fakulteten vid universitetet i Berlin.