statistical tolerance analysis basics: Root Sum Square (RSS)
In my last post on worst-case tolerance analysis I concluded with the fact that the worst-case method, although extremely safe, is also extremely expensive.Gestatten Sie mir, näher darauf einzugehen und dann eine Lösung in Form einer statistischen Toleranzanalyse anzubieten.
Kosten
Eine Worst-Case-Toleranzanalyse ist großartig, um sicherzustellen, dass Ihre Teile immer passen, aber wenn Sie Millionen von Teilen produzieren, ist es teuer und unter den meisten Umständen unpraktisch, sicherzustellen, dass jedes einzelne funktioniert.
Betrachten Sie diese beiden Szenarien.
- Sie machen eine Million Teile, und es kostet Sie $ 1.00 pro Teil, um sicherzustellen, dass jedes einzelne funktioniert.
- Sie stellen eine Million Teile her, entscheiden sich jedoch für billigere, weniger genaue Teile. Jetzt sind Ihre Kosten $ 0.99 pro Teil, aber 1.000 Teile passen nicht.
Im ersten Szenario betragen Ihre Kosten:
$1,00 / Teil * 1.000.000 Teile = $ 1.000.000
Im zweiten Szenario betragen Ihre Kosten:
$ 0.99/ Teil * 1,000,000 Teile = $990,000,
aber Sie müssen die 1,000 Teile wegwerfen, die $ 0.99 / Teil kosten. Ihre Gesamtkosten betragen also:
$990,000+1,000*$0.99=$990,990. Was bedeutet, dass Sie $ 9.010 sparen.
Diese tatsächlichen Zahlen sind Scheinzahlen, aber die Lektion gilt: Indem Sie weniger präzise (sprich: beschissenere) Teile herstellen und einige davon wegwerfen, sparen Sie Geld.
Schon verkauft? Gut. Schauen wir uns nun die Theorie an.
statistische Toleranzanalyse: Theorie
Das erste, woran Sie denken sollten, ist die Glockenkurve. Sie erinnern sich vielleicht daran, dass die Glockenkurve verwendet wurde, um zu erklären, dass einige Ihrer Klassenkameraden schlau waren, einige waren dumm, aber die meisten waren ungefähr durchschnittlich.
Das gleiche Prinzip gilt für die Toleranzanalyse. Die Glockenkurve (erst jetzt wird sie als „Normalverteilung“ bezeichnet) besagt, dass bei vielen Messungen, sei es bei Testergebnissen oder Blockdicken, einige Messungen niedrig, einige hoch und die meisten in der Mitte liegen.
Natürlich hilft Ihnen „fast“ und „die meisten“ nicht, Dinge zu erledigen. Mathe tut es, und hier kommt die Normalverteilung (und Excel … Anhang unten) ins Spiel.
sidebar: Anfangs hatte ich vor, tief in die Mathematik von RSS einzutauchen, aber Hileman macht einen so guten Job in den Details, dass ich hier bei den großen Strichen bleiben werde. Ich empfehle dringend, seinen Beitrag auszudrucken und sich in einen ruhigen Raum zu setzen, es ist der einzige Weg, das schwere Zeug zu verdauen.
die Normalverteilung und „Defekte pro Million“
Anhand der Normalverteilung können Sie bestimmen, wie viele Defekte (definiert als Teile, die außerhalb der zulässigen Toleranzen eingehen) auftreten werden. Die Standardmaßeinheit ist „Defekte pro Million“, also bleiben wir dabei.
Es gibt zwei Zahlen, die Sie benötigen, um eine Normalverteilung zu erstellen, und sie werden durch μ (ausgesprochen „mew“) und σ (ausgesprochen („sigma“)
- μ ist der Mittelwert, ein Maß für das „Zentrum“ einer Verteilung.
- σ ist die Standardabweichung, ein Maß dafür, wie verbreitet eine Verteilung ist. Zum Beispiel haben die Zahlensätze {0,10} und {5,5} beide einen Durchschnitt von 5, aber die Menge {0,10} ist gespreizt und hat daher eine höhere Standardabweichung.
Mit einem unserer Blöcke (erinnerst du dich an die?) als Beispiel…
Nehmen wir an, Sie messen fünf Blöcke wie den obigen (in der Praxis ist es am besten, mindestens 30 zu messen, aber wir halten es für das Beispiel bei 5) und erhalten die folgenden Ergebnisse:
- x1 = 1.001″
- x2 = 0.995″
- x3 = 1.000″
- x4 = 1.001″
- x5 = 1.003″
Der Durchschnitt (μ) ist 1.000 ( und die Standardabweichung (σ) ist .003. Stecken Sie diese in eine Normalverteilung, und Ihre Toleranzen brechen so zusammen. (formeln finden Sie auf der Registerkarte „Nach der Produktion“ in dieser Tabelle)
Wenn Sie benötigen, dass die Blöcke 1.000 ± betragen.003 (± 1σ), werden die Blöcke Inspektion 68,27% der Zeit passieren … 317.311 Defekte pro Million.
Wenn sie benötigen die blöcke zu werden 1.000±.006 (±2σ) bestehen die Blöcke die Inspektion in 95,45% der Fälle … 45.500 Defekte pro Million
Wenn Sie benötigen, dass die Blöcke 1.000 ± sind.009 (± 3σ), werden die blöcke passieren inspektion 99.73% der Zeit … 2.700 Defekte pro Million
und so weiter.
Mit den obigen Daten können Sie mit Zuversicht sagen (vorausgesetzt, Sie haben genug Blöcke gemessen!), dass, wenn Sie eine Million Blöcke verwenden würden, alle außer 2700 zwischen 0,991 und 1,009 liegen würden.
Wurzelsummenquadrat und die Standardabweichung
Wenn Sie der Logik genau gefolgt sind, bemerken Sie möglicherweise einen Catch-22. Idealerweise möchten Sie eine Toleranzanalyse durchführen, bevor Sie in die Produktion gehen, aber wie können Sie μ oder σ bestimmen, ohne Proben zum Testen zu haben … die Sie erst nach der Produktion erhalten?
Sie machen (und sagen … wiederholt) Annahmen
Der erste Teil ist einfach. Sie nehmen einfach an, dass der Mittelwert gleich dem Nominalwert ist (in unserem Fall 1.000). Dies ist normalerweise eine solide Annahme und wird erst heikel, wenn Sie über die nominale Verschiebung sprechen (einige planen gerne bis zu 1.5σ!) im Laufe von Millionen von Zyklen (vielleicht aufgrund von Werkzeugverschleiß), aber das ist ein anderes Thema.
Für σ ist eine konservative Schätzung, dass Ihre Toleranz auf eine Qualität von ±3σ gehalten werden kann, was bedeutet, dass eine Toleranz von ±.005 ergibt einen σ von 0,005 / 3 = 0,00167.
Lass uns das spielen … Wenn du fünf Blöcke @ 1.000 ± stapelst.005, müssen Sie die fünf Blöcke addieren μ zu erhalten, und nehmen Sie die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Standardabweichung der Toleranzen (wortreich ich weiß), die wie folgt aussieht … SQRT(2+2+2+2+2)… ( sie dividieren durch 3, weil Sie davon ausgehen, dass Ihre Toleranzen 3 Standardabweichungen darstellen)
Das ist so wortreich, wie ich auf die Mathematik eingehen werde (der Beitrag ist bereits länger als ich möchte), Sie können sehen, dass es für sich selbst in der Registerkarte ‚vor der Produktion‘ in der angehängten Excel-Datei für Formeln funktioniert)
Denken Sie daran, diese Zahlen mit dem Respekt zu behandeln, dass dies und diese branchenüblichen Annahmen sind kein Ersatz für ein Herz-zu-Herz (und E-Mail-Trail) mit Ihrem Hersteller . Der Versuch, einen Hersteller dazu zu bringen, Toleranzen einzuhalten, bei denen er sich nicht wohl fühlt, ist eine anstrengende und oft vergebliche Übung.
Die Toleranzen bestimmen das Design, nicht umgekehrt.update: Meine Reihe von Beiträgen über Worst-Case, Wurzelsummenquadrat und Monte-Carlo-Toleranzanalyse begann nur als eine kurze Einführung in die Grundlagen. Seitdem habe ich von einer Reihe von Ihnen gehört, die nach einem klaren, prägnanten (alles andere da draußen ist so schwer), brauchbaren Leitfaden sowohl für die Mathematik hinter der Toleranzanalyse als auch für reale Beispiele für die Verwendung gefragt haben. Ich arbeite gerade daran, würde aber gerne hören, was SIE davon haben möchten. Lassen Sie es mich in den Kommentaren wissen oder kontaktieren Sie mich über die Website.
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