Teoria degli insiemi

Un importante scambio di lettere con Richard Dedekind, matematico del Brunswick Technical Institute, che fu suo amico e collega per tutta la vita, segnò l’inizio delle idee di Cantor sulla teoria degli insiemi. Entrambi concordano sul fatto che un insieme, finito o infinito, è una raccolta di oggetti (ad esempio, gli interi, {0, ±1, ±2,…}) che condividono una particolare proprietà mentre ogni oggetto conserva la propria individualità. Ma quando Cantor ha applicato il dispositivo della corrispondenza uno a uno (ad es., {a, b, c} a {1, 2, 3}) per studiare le caratteristiche degli insiemi, vide rapidamente che differivano nella misura della loro appartenenza, anche tra insiemi infiniti. (Un insieme è infinito se una delle sue parti, o sottoinsiemi, ha tanti oggetti quanti se stesso.) Il suo metodo produsse presto risultati sorprendenti.

Nel 1873 Cantor dimostrò che i numeri razionali, sebbene infiniti, sono numerabili (o denumerabili) perché possono essere collocati in una corrispondenza uno-a-uno con i numeri naturali (cioè, gli interi, come 1, 2, 3,…). Ha dimostrato che l’insieme (o aggregato) di numeri reali (composto da numeri irrazionali e razionali) era infinito e innumerevoli. Ancora più paradossalmente, ha dimostrato che l’insieme di tutti i numeri algebrici contiene tanti componenti quanti l’insieme di tutti gli interi e che i numeri trascendentali (quelli che non sono algebrici, come π), che sono un sottoinsieme degli irrazionali, sono innumerevoli e sono quindi più numerosi degli interi, che devono essere concepiti come infiniti.

Ma il documento di Cantor, in cui per primo ha presentato questi risultati, è stato rifiutato per la pubblicazione nel Diario di Crelle da uno dei suoi arbitri, Kronecker, che d’ora in poi si oppose con veemenza al suo lavoro. Su Dedekind intervento, tuttavia, è stato pubblicato nel 1874 come “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (”Su una caratteristica proprietà di tutti i numeri reali algebrici”).

Durante la luna di miele lo stesso anno con la sua sposa, Vally Guttman, a Interlaken, in Svizzera, Cantor ha incontrato Dedekind, che ha dato un ascolto simpatico alla sua nuova teoria. Lo stipendio di Cantor era basso, ma la tenuta di suo padre, che morì nel 1863, gli permise di costruire una casa per sua moglie e cinque figli. Molti dei suoi lavori furono pubblicati in Svezia nella nuova rivista Acta Mathematica, edita e fondata da Gösta Mittag-Leffler, una delle prime persone a riconoscere la sua abilità.

La teoria di Cantor divenne un nuovo argomento di ricerca riguardante la matematica dell’infinito (ad esempio, una serie infinita, come 1, 2, 3,… e ancora più complicati insiemi), e la sua teoria era fortemente dipendente dal dispositivo della corrispondenza uno-a-uno. Sviluppando così nuovi modi di porre domande riguardanti la continuità e l’infinito, Cantor divenne rapidamente controverso. Quando sostenne che i numeri infiniti avevano un’esistenza reale, attinse alla filosofia antica e medievale riguardante l’infinito” reale “e” potenziale” e anche alla prima formazione religiosa datagli dai suoi genitori. Nel suo libro sui set, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (“Fondamenti di una teoria generale degli aggregati”), Cantor nel 1883 ha alleato la sua teoria con la metafisica platonica. Al contrario, Kronecker, che ha sostenuto che solo i numeri interi “esistono” (“Dio ha fatto i numeri interi, e tutto il resto è opera dell’uomo”), per molti anni ha respinto con calore il suo ragionamento e bloccato la sua nomina alla facoltà presso l’Università di Berlino.