Articles

Università Fisica Volume 3

by admin

La funzione di lavoro

L’effetto fotoelettrico è stato spiegato nel 1905 da A. Einstein. Einstein ragionò che se l’ipotesi di Planck sui quanti di energia era corretta per descrivere lo scambio di energia tra la radiazione elettromagnetica e le pareti della cavità, dovrebbe anche funzionare per descrivere l’assorbimento di energia dalla radiazione elettromagnetica dalla superficie di un fotoelettrodo. Ha postulato che un’onda elettromagnetica trasporta la sua energia in pacchetti discreti. Il postulato di Einstein va oltre l’ipotesi di Planck perché afferma che la luce stessa è costituita da quanti di energia. In altre parole, afferma che le onde elettromagnetiche sono quantizzate.

Nell’approccio di Einstein, un fascio di luce monocromatica di frequenza f è costituito da fotoni. Un fotone è una particella di luce. Ogni fotone si muove alla velocità della luce e trasporta un quantum energetico {E} _ {f}. L’energia di un fotone dipende solo dalla sua frequenza f. Esplicitamente, l’energia di un fotone è

{E}_{f}=hf

doveh è la costante di Planck. Nell’effetto fotoelettrico, i fotoni arrivano alla superficie metallica e ogni fotone dà via tutta la sua energia a un solo elettrone sulla superficie metallica. Questo trasferimento di energia dal fotone all’elettrone è del tipo” tutto o niente”, e non ci sono trasferimenti frazionari in cui un fotone perderebbe solo parte della sua energia e sopravviverebbe. L’essenza di un fenomeno quantistico è o un fotone trasferisce la sua intera energia e cessa di esistere o non c’è alcun trasferimento. Ciò è in contrasto con l’immagine classica, in cui sono consentiti trasferimenti di energia frazionari. Avere questa comprensione quantistica, il bilancio energetico di un elettrone in superficie che riceve l’energia {E}_{f} da un fotone

{E}_{f}={K}_{\text{max}}+\varphi

dove {K}_{\text{max}} è l’energia cinetica, dato da (Figura), che un elettrone ha nell’istante in cui diventa indipendente dalla superficie. In questa equazione del bilancio energetico, \ varphi è l’energia necessaria per staccare un fotoelettrone dalla superficie. Questa energia \ varphi è chiamata la funzione di lavoro del metallo. Ogni metallo ha la sua caratteristica funzione di lavoro, come illustrato in (Figura). Per ottenere l’energia cinetica dei fotoelettroni in superficie, invertiamo semplicemente l’equazione del bilancio energetico e usiamo (Figura) per esprimere l’energia del fotone assorbito. Questo ci dà l’espressione per l’energia cinetica dei fotoelettroni, che dipende esplicitamente dalla frequenza della radiazione incidente:

{K}_{\text{max}}=hf-\varphi .

Questa equazione ha una forma matematica semplice ma la sua fisica è profonda. Ora possiamo approfondire il significato fisico dietro (Figura).

i Valori Tipici della Funzione di Lavoro per Alcuni Metalli Comuni
Metallo \varphi(eV)
Na 2.46
Al 4.08
Pb 4.14
Zn 4.31
Fe 4.50
Cu 4.70
Ag 4.73
Pt 6.35

Einstein interpretazione, avviene l’interazione tra i singoli elettroni e fotoni singoli. L’assenza di un tempo di ritardo significa che queste interazioni one-to-one si verificano istantaneamente. Questo tempo di interazione non può essere aumentato abbassando l’intensità della luce. L’intensità della luce corrisponde al numero di fotoni che arrivano alla superficie metallica per unità di tempo. Anche a intensità di luce molto bassa, l’effetto fotoelettrico si verifica ancora perché l’interazione è tra un elettrone e un fotone. Finché c’è almeno un fotone con abbastanza energia per trasferirlo a un elettrone legato, un fotoelettrone apparirà sulla superficie del fotoelettrodo.

L’esistenza della frequenza di cut-off {f}_{c} per l’effetto fotoelettrico segue (Figura) perché l’energia cinetica {K}_{\text{max}} del fotoelettrone può assumere solo valori positivi. Ciò significa che ci deve essere una certa frequenza di soglia per la quale l’energia cinetica è zero, 0=h{f}_{c}-\varphi . In questo modo, otteniamo la formula esplicita per la frequenza di cut-off:

{f}_{c}=\frac{\varphi }{h}.

La frequenza di taglio dipende solo dalla funzione di lavoro del metallo ed è direttamente proporzionale ad esso. Quando la funzione di lavoro è grande (quando gli elettroni sono legati velocemente alla superficie metallica), l’energia del fotone di soglia deve essere grande per produrre un fotoelettrone, e quindi la frequenza di soglia corrispondente è grande. I fotoni con frequenze superiori alla frequenza di soglia{f}_{c} producono sempre fotoelettroni perché hanno {K}_{\text{max}}0. I fotoni con frequenze inferiori a {f} _ {c} non hanno abbastanza energia per produrre fotoelettroni. Pertanto, quando la radiazione incidente ha una frequenza inferiore alla frequenza di cut-off, l’effetto fotoelettrico non viene osservato. Perché f la frequenza e la lunghezza d’onda \lambda delle onde elettromagnetiche sono legate dalla relazione fondamentale \lambda f=c (dove c è la velocità della luce nel vuoto), la frequenza di cut-off ha il suo corrispondente lunghezza d’onda di taglio {\lambda }_{c}:

{\lambda }_{c}=\frac{c}{{f}_{c}}=\frac{c}{\varphi \phantom{\rule{0.1em}{0ex}} \ text { / }\phantom {\rule{0.1 em} {0ex}} h}= \ frac{hc} {\varphi}.

In questa equazione, hc=1240\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{eV}·\text{nm}. Le nostre osservazioni possono essere riassunte nel seguente modo equivalente: Quando la radiazione incidente ha lunghezze d’onda più lunghe della lunghezza d’onda di cut-off, l’effetto fotoelettrico non si verifica.

Effetto fotoelettrico per la radiazione d’argento con lunghezza d’onda 300 nm è incidente su una superficie d’argento. Saranno osservati i fotoelettroni?

Strategia I fotoelettroni possono essere espulsi dalla superficie metallica solo quando la radiazione incidente ha una lunghezza d’onda più corta della lunghezza d’onda di cut-off. La funzione di lavoro di silver è \varphi =4.73 \ phantom {\rule {0.2 em} {0ex}} \ text{eV} ((Figura)). Per fare la stima, usiamo (Figura).

Soluzione La soglia di lunghezza d’onda per osservare l’effetto fotoelettrico in argento

{\lambda }_{c}=\frac{hc}{\varphi }=\frac{1240\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{eV}·\text{nm}}{4.73\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{eV}}=262\phantom{\rule{0.2em}{0ex}} \ text{nm}.

La radiazione incidente ha una lunghezza d’onda di 300 nm, che è più lunga della lunghezza d’onda di cut-off; pertanto, i fotoelettroni non vengono osservati.

Significato Se il fotoelettrodo fosse fatto di sodio anziché di argento, la lunghezza d’onda di cut-off sarebbe di 504 nm e i fotoelettroni sarebbero osservati.

(Figura) nel modello di Einstein ci dice che l’energia cinetica massima dei fotoelettroni è una funzione lineare della frequenza della radiazione incidente, che è illustrata in (Figura). Per qualsiasi metallo, la pendenza di questa trama ha un valore della costante di Planck. L’intercetta con l’asse{K}_{\text{max}}ci dà un valore della funzione di lavoro che è caratteristica per il metallo. D’altra parte, {K}_{\text{max}} può essere misurata direttamente nell’esperimento misurando il valore del potenziale di arresto \text{Δ}{V}_{s} (vedi Figura) in cui la fotocorrente si ferma. Queste misurazioni dirette ci permettono di determinare sperimentalmente il valore della costante di Planck, così come le funzioni di lavoro dei materiali.

Il modello di Einstein fornisce anche una spiegazione semplice per i valori di fotocorrente mostrati in (Figura). Ad esempio, raddoppiando l’intensità della radiazione si raddoppia il numero di fotoni che colpiscono la superficie per unità di tempo. Maggiore è il numero di fotoni, maggiore è il numero di fotoelettroni, che porta a una fotocorrente più grande nel circuito. Questo è il modo in cui l’intensità della radiazione influisce sulla fotocorrente. La fotocorrente deve raggiungere un plateau ad un certo valore di differenza di potenziale perché, in unità di tempo, il numero di fotoelettroni è uguale al numero di fotoni incidenti e il numero di fotoni incidenti non dipende affatto dalla differenza di potenziale applicata, ma solo dall’intensità della radiazione incidente. Il potenziale di arresto non cambia con l’intensità della radiazione perché l’energia cinetica dei fotoelettroni (vedi (Figura)) non dipende dall’intensità della radiazione.

Funzione di lavoro e frequenza di taglio Quando una luce a 180 nm viene utilizzata in un esperimento con un metallo sconosciuto, la fotocorrente misurata scende a zero a potenziale-0,80 V. Determinare la funzione di lavoro del metallo e la sua frequenza di taglio per l’effetto fotoelettrico.

Strategia Per trovare la frequenza di cut-off {f}_{c}, usiamo (Figura), ma prima dobbiamo trovare la funzione di lavoro \ varphi . Per trovare \ varphi, usiamo (Figura) e (Figura). La fotocorrente scende a zero al valore di arresto del potenziale, quindi identifichiamo \text{Δ}{V}_{s}=0.8 \ text{V}.

la Soluzione di utilizzare (Figura) per trovare l’energia cinetica dei fotoelettroni:

{K}_{\text{max}}=e\text{Δ}{V}_{s}=e\left(0.80\text{V}\right)=0.80\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{eV}.

Ora risolviamo (Figura) per \varphi :

\varphi =hf-{K}_{\text{max}}=\frac{hc}{\lambda }-{K}_{\text{max}}=\frac{1240\fantasma{\regola{0.2em}{0ex}}\text{eV}·\text{nm}}{180\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{nm}}-0.80\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{eV}=6.09\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{eV}.

Finally, we use (Figure) to find the cut-off frequency:

{f}_{c}=\frac{\varphi }{h}=\frac{6.09\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{eV}}{4.136\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-15}\text{eV}·\text{s}}=1.47\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-15}\text{Hz}.

Significato In calcoli come quello mostrato in questo esempio, è conveniente usare la costante di Planck nelle unità di\text{eV}·\text{s} ed esprimere tutte le energie in eV invece di joule.

L’energia fotonica e l’energia cinetica dei fotoelettroni Una luce viola di 430 nm è incidente su un fotoelettrodo di calcio con una funzione di lavoro di 2,71 eV.

Trova l’energia dei fotoni incidenti e la massima energia cinetica degli elettroni espulsi.

Strategy The energy of the incident photon is {E}_{f}=hf=hc\phantom{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}\phantom{\rule{0.1em}{0ex}}\lambda , where we use f\lambda =c. To obtain the maximum energy of the ejected electrons, we use (Figure).

Solution

{E}_{f}=\frac{hc}{\lambda }=\frac{1240\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{eV}·\text{nm}}{430\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{nm}}=2.88\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{eV},\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{K}_{\text{max}}={E}_{f}-\varphi =2.88\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{eV}-2.71\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{eV}=0.17\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{eV}

Significato In questo setup sperimentale, fotoelettroni interrompere il flusso all’arresto potenziale di 0,17 V.

Controllare la propria Comprensione di Un giallo 589 nm di luce incidente su una superficie la cui funzione di lavoro è di 1,20 eV. Qual è il potenziale di arresto? Qual è la lunghezza d’onda di cut-off?

-0.91 V; 1040 nm

Controlla la tua comprensione della frequenza di taglio per l’effetto fotoelettrico in alcuni materiali è 8.0\phantom{\rule {0.2 em} {0ex}}×\phantom {\rule{0.2 em} {0ex}}{10}^{13}\testo {Hz}. Quando la luce incidente ha una frequenza di 1.2\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2 em} {0ex}}{10}^{14}\testo {Hz}, il potenziale di arresto è misurato come-0,16 V. Estimate a value of Planck’s constant from these data (in units \text{J}·\text{s} and \text{eV}·\text{s}) and determine the percentage error of your estimation.

h=6.40\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-34}\text{J}·\text{s}=4.0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-15}\text{eV}·\text{s;}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{−}3.5%