teoria dos conjuntos

Uma importante troca de cartas com Richard Dedekind, matemático da Brunswick Instituto Técnico, que era seu amigo e colega, marcou o início do Cantor ideias da teoria de conjuntos. Ambos concordaram que um conjunto, finito ou infinito, é uma coleção de objetos (por exemplo, os inteiros)., {0, ±1, ±2,…}) que compartilham uma propriedade particular enquanto cada objeto mantém sua própria individualidade. Mas quando Cantor aplicou o dispositivo da correspondência de um para um (e.g., {A, b, C} to {1, 2, 3}) para estudar as características dos conjuntos, ele rapidamente viu que eles diferiam na extensão de seus membros, mesmo entre conjuntos infinitos. (Um conjunto é infinito se uma de suas partes, ou subconjuntos, tem tantos objetos quanto ela mesma. Seu método logo produziu resultados surpreendentes.

em 1873 Cantor demonstrou que os números racionais, embora infinitos, são contáveis (ou denumeráveis) porque podem ser colocados em uma correspondência um-para-um com os números naturais (i.e., os inteiros, como 1, 2, 3,…). Ele mostrou que o conjunto (ou agregado) de números reais (composto de números irracionais e racionais) era infinito e incontável. Ainda mais que, paradoxalmente, ele provou que o conjunto de todos os algébrica de números contém muitos componentes como o conjunto de todos os números inteiros e que transcendental números (aqueles que não são algébricas, como π), que são um subconjunto da irrationals, são incontáveis e, portanto, são mais numerosos do que os números inteiros, que deve ser concebida como infinito.mas o artigo de Cantor, no qual ele primeiro apresentou esses resultados, foi recusado para publicação no Jornal de Crelle por um de seus árbitros, Kronecker, que doravante se opôs veementemente ao seu trabalho. No Dedekind da intervenção, no entanto, foi publicado em 1874 como “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (“Em uma Propriedade Característica de Todas Real Algébrica de Números”).enquanto passava a lua-de-mel no mesmo ano com sua noiva, Vally Guttman, em Interlaken, Suíça, Cantor conheceu Dedekind, que deu uma audição simpática para sua nova teoria. O salário de Cantor era baixo, mas a propriedade de seu pai, que morreu em 1863, permitiu-lhe construir uma casa para sua esposa e cinco filhos. Muitos de seus trabalhos foram publicados na Suécia na nova revista Acta Mathematica, editada e fundada por Gösta Mittag-Leffler, uma das primeiras pessoas a reconhecer sua habilidade.a teoria de Cantor tornou-se um novo tema de pesquisa sobre a matemática do infinito (por exemplo, uma série infinita, como 1, 2, 3,…, e conjuntos ainda mais complicados), e sua teoria era fortemente dependente do dispositivo da correspondência de um para um. Ao desenvolver novas formas de fazer perguntas sobre continuidade e infinito, Cantor rapidamente se tornou controverso. Quando ele argumentou que números infinitos tinham uma existência real, ele se baseou na filosofia antiga e medieval sobre o “real” e “potencial” infinito e também no treinamento religioso inicial dado por seus pais. Em seu livro sobre conjuntos, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (“fundações de Uma Teoria Geral dos agregados”), Cantor em 1883 aliou sua teoria com a metafísica platônica. Por outro lado, Kronecker, que sustentou que apenas os inteiros “existem” (“Deus fez os inteiros, e todo o resto é obra do homem”), por muitos anos heatedly rejeitou seu raciocínio e bloqueou sua nomeação para a faculdade na Universidade de Berlim.