Fermats uendelige afstamning for Fermats sidste sætning tilfælde n=4 i Fermats sidste sætning 1670 udgave af Arithmetica of Diophantus (s.338-339).

eksponent = 4edit

kun et relevant bevis fra Fermat har overlevet, hvor han bruger teknikken med uendelig nedstigning for at vise, at området af en højre trekant med heltalssider aldrig kan svare til kvadratet af et heltal. Hans bevis svarer til at demonstrere, at ligningen

H4 − y 4 = å 2 {\displaystyle H^{4}-y^{4}=å^{2}}

har ingen primitive løsninger i heltal (ingen parvise coprime-løsninger). Til gengæld beviser dette Fermats sidste sætning for sagen n = 4, Da ligningen A4 + b4 = c4 kan skrives som c4 − b4 = (a2)2.

Alternative beviser for sagen n = 4 blev udviklet senere af Fr. Larnicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlav (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terkem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), TH-karlofilen p-karlpin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendts (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychl Lirk (1910), Nøddehorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe VR Larsnceanu (1966), Grant og Perella (1999), Barbara (2007) og Dolan (2011).

andre eksponenterredit

efter at Fermat beviste det specielle tilfælde n = 4, krævede det generelle bevis for alle n kun, at sætningen blev etableret for alle ulige primeksponenter. Med andre ord var det kun nødvendigt at bevise, at ligningen an + bn = cn ikke har nogen positive heltalsløsninger (a, b, c), når n er et ulige primtal. Dette følger, fordi en opløsning (a, b, c) for en given n svarer til en opløsning for alle faktorer i n. til illustration, lad n indregnes i d og e, n = de. Den generelle ligning

an + bn = cn

indebærer, at (ad, bd, cd) er en løsning for eksponenten e

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

for at bevise, at Fermats ligning ikke har nogen løsninger for n > 2, ville det være tilstrækkeligt at bevise, at det ikke har nogen løsninger for mindst en primfaktor af hver n. hvert heltal n > 2 kan deles med 4 eller med et ulige primtal (eller begge dele). Derfor kunne Fermats sidste sætning bevises for alle n, hvis det kunne bevises for n = 4 og for alle ulige primtal p.

i de to århundreder efter dens formodning (1637-1839) blev Fermats sidste sætning bevist for tre ulige primære eksponenter p = 3, 5 og 7. Sagen p = 3 blev først angivet af Abu-Mahmud Khojandi (10.århundrede), men hans forsøg på bevis for sætningen var forkert. I 1770 gav Leonhard Euler et bevis på p = 3, men hans bevis ved uendelig afstamning indeholdt et stort hul. Men da Euler selv havde bevist det lemma, der var nødvendigt for at fuldføre beviset i andet arbejde, krediteres han generelt det første bevis. Uafhængige beviser blev udgivet af Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calsolari (1855), Gabriel Lam Kart (1865), Peter Guthrie Tait (1872), g Kartnther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychl Kart (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), aksel Thue (1917) og Duarte (1944).sagen P = 5 blev bevist uafhængigt af Legendre og Peter Gustav Lejeune Dirichlet omkring 1825. Alternative beviser blev udviklet af Carl Friedrich Gauss (1875, posthumt), Lebesgue (1843), Lam Karin (1847), Gambioli (1901), Rychl Karin (1905), van der Corput (1915) og Guy Terjanian (1987).

sagen p = 7 blev bevist af lam Kurt i 1839. Hans ret komplicerede bevis blev forenklet i 1840 af Lebesgue, og stadig enklere bevis blev offentliggjort af Angelo Genocchi i 1864, 1874 og 1876. Alternative beviser blev udviklet af TH-Kristofile P-Kristipin (1876) og Edmond Maillet (1897).Fermats sidste sætning blev også bevist for eksponenterne n = 6, 10 og 14. Bevis for n = 6 blev offentliggjort af Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, hurtigog Breusch. Tilsvarende beviste Dirichlet og Terjanian hver især sagen n = 14, mens Kapferer og Breusch hver beviste sagen n = 10. Strengt taget er disse beviser unødvendige, da disse tilfælde følger af beviserne for henholdsvis n = 3, 5 og 7. Ikke desto mindre adskiller begrundelsen for disse lige eksponentbeviser sig fra deres ulige eksponentmodeller. Dirichlet ‘ s bevis for n = 14 blev offentliggjort i 1832, før Lam Krists 1839 bevis for n = 7.

alle beviser for specifikke eksponenter brugte Fermats teknik med uendelig afstamning, enten i sin oprindelige form eller i form af nedstigning på elliptiske kurver eller abelske Sorter. Detaljerne og hjælpeargumenterne var imidlertid ofte ad hoc og bundet til den enkelte eksponent, der blev overvejet. Da de blev stadig mere komplicerede, da p steg, syntes det usandsynligt, at det generelle tilfælde af Fermats sidste sætning kunne bevises ved at bygge videre på beviserne for individuelle eksponenter. Selvom nogle generelle resultater på Fermats sidste sætning blev offentliggjort i det tidlige 19.århundrede af Niels Henrik Abel og Peter Barlav, blev det første betydningsfulde arbejde med den generelle sætning udført af Sophie Germain.

tidlige moderne gennembrudrediger

Sophie GermainEdit

i det tidlige 19.århundrede udviklede Sophie Germain flere nye tilgange til at bevise Fermats sidste sætning for alle eksponenter. For det første definerede hun et sæt hjælpeprimere prit {\displaystyle \theta }

konstrueret ud fra den primære eksponent p {\displaystyle p}

ved ligningen prit = 2 h p + 1 {\displaystyle \theta =2HP+1}

, hvor h {\displaystyle h}

er et heltal , der ikke kan deles med tre. Hun viste, at hvis ingen heltal blev hævet til p t h {\displaystyle p^{\mathrm {TH} }}

strøm var tilstødende modulo Lars {\displaystyle \theta }

(den ikke-fortløbende tilstand), derefter skal vi {\displaystyle \theta }

opdele produktet y y {\displaystyle}

. Hendes mål var at bruge matematisk induktion til at bevise, at for en given p {\displaystyle p}

, uendeligt mange hjælpeprimere, der er {\displaystyle \theta }

opfyldte betingelsen om ikke-fortløbende tilstand og således delte y y {\

; da produktet y y {\displaystyle}

, en modificeret version, der blev offentliggjort af Adrien-Marie Legendre. Som et biprodukt af dette sidstnævnte arbejde beviste hun Sophie Germains sætning, som bekræftede det første tilfælde af Fermats sidste sætning (nemlig det tilfælde, hvor p {\displaystyle p}

deler ikke S Y s {\displaystyle S}

) for hver ulige Prime eksponent mindre end 270 {\displaystyle 270}

og for alle primtal p {\displaystyle p}

sådan at mindst en af 2 p + 1 {\displaystyle 2P+1}

, 4 p + 1 {\displaystyle 4p+1}

, 8 p + 1 {\displaystyle 8p+1}

, 10 p + 1 {\displaystyle 10p+1}

, 14 p + 1 {\displaystyle 14P+1}

og 16 p + 1 {\displaystyle 16P+1}

er prime (specielt primerne p {\displaystyle p}

sådan at 2 p + 1 {\displaystyle 2p+1}

er prime kaldes Sophie Germain primes). Germain forsøgte uden held at bevise det første tilfælde af Fermats sidste sætning for alle lige eksponenter, specifikt for n = 2 p {\displaystyle n=2p}

, som blev bevist af Guy Terjanian i 1977. I 1985 beviste Leonard Adleman, Roger Heath-brun og Kristienne Fouvry, at det første tilfælde af Fermats sidste sætning gælder for uendeligt mange ulige primtal p {\displaystyle p}

.

Ernst Kummer and the theory of idealsEdit

i 1847 skitserede Gabriel Lam Lars et bevis på Fermats sidste sætning baseret på factoring af ligningen hp + yp = hp i komplekse tal, specifikt det cyklotomiske felt baseret på rødderne af nummer 1. Hans bevis mislykkedes imidlertid, fordi det antog forkert, at sådanne komplekse tal kan indregnes entydigt i primtal, svarende til heltal. Dette hul blev straks påpeget af Joseph Liouville, som senere læste et papir, der demonstrerede denne fiasko med unik faktorisering, skrevet af Ernst Kummer.

Kummer satte sig til opgave at bestemme, om det cyklotomiske felt kunne generaliseres til at omfatte nye primtal, således at Unik faktorisering blev gendannet. Han lykkedes i denne opgave ved at udvikle de ideelle tal.

(Bemærk: Det anføres ofte, at Kummer blev ført til hans “ideelle komplekse tal” af hans interesse for Fermats sidste sætning; der fortælles endda en historie, der ofte fortælles, at Kummer, ligesom Lam Karin, troede, at han havde bevist Fermats sidste sætning, indtil Lejeune Dirichlet fortalte ham, at hans argument var afhængig af unik faktorisering; men historien blev først fortalt af Kurt Hensel i 1910, og beviserne tyder på, at det sandsynligvis stammer fra en forvirring fra en af Hensel ‘ s kilder. Harold siger, at troen på, at Kummer primært var interesseret i Fermats sidste sætning “er helt sikkert forkert”. Se historien om ideelle tal.)

Ved hjælp af den generelle tilgang, der er skitseret af lam Kurt, beviste Kummer begge tilfælde af Fermats sidste sætning for alle regelmæssige primtal. Imidlertid kunne han ikke bevise sætningen for de ekstraordinære primtal (uregelmæssige primtal), der formodentlig forekommer cirka 39% af tiden; de eneste uregelmæssige primtal under 270 er 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 og 263.

Mordell conjecturedit

i 1920 ‘ erne udgjorde Louis Mordell en formodning, der antydede, at Fermats ligning højst har et endeligt antal ikke-trivielle primitive heltalsløsninger, hvis eksponenten n er større end to. Denne formodning blev bevist i 1983 af Gerd Faltings, og er nu kendt som Faltings sætning.

Computational studies edit

i sidste halvdel af det 20.århundrede blev beregningsmetoder brugt til at udvide Kummer ‘ s tilgang til de uregelmæssige primtal. I 1954 brugte Harry Vandiver en computer til at bevise Fermats sidste sætning for alle primtal op til 2521. I 1978 havde Samuel udvidet dette til alle primtal mindre end 125.000. I 1993 var Fermats sidste sætning blevet bevist for alle primtal mindre end fire millioner.

på trods af disse bestræbelser og deres resultater eksisterede der imidlertid ikke noget bevis for Fermats sidste sætning. Bevis for individuelle eksponenter efter deres art kunne aldrig bevise den generelle sag: selvom alle eksponenter blev verificeret op til et ekstremt stort antal h, kunne der stadig eksistere en højere eksponent ud over H, som påstanden ikke var sand for. (Dette havde været tilfældet med nogle andre tidligere formodninger, og det kunne ikke udelukkes i denne formodning.)

forbindelse med elliptisk curvesEdit

strategien, der i sidste ende førte til et vellykket bevis på Fermats sidste sætning, opstod fra den “forbløffende”:211 Taniyama–Shimura–Vail formodning, foreslået omkring 1955—som mange matematikere mente ville være tæt på umuligt at bevise:223 og blev knyttet i 1980 ‘ erne af Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre og Ken Ribet til Fermats ligning. Ved at udføre et delvist bevis på denne formodning i 1994 lykkedes det i sidste ende at bevise Fermats sidste sætning samt føre vejen til et fuldt bevis fra andre af det, der nu er kendt som modularity theorem.

Taniyama–Shimura–Viil formodningredit

omkring 1955 observerede japanske matematikere Goro Shimura og Yutaka Taniyama en mulig forbindelse mellem to tilsyneladende helt forskellige grene af matematik, elliptiske kurver og modulære former. Den resulterende modularitetssætning (på det tidspunkt kendt som Taniyama–Shimura formodning) siger, at hver elliptisk kurve er modulær, hvilket betyder, at den kan forbindes med en unik modulær form.linket blev oprindeligt afvist som usandsynligt eller meget spekulativt, men blev taget mere alvorligt, da talteoretiker Andr.:211-215

selv efter at have fået seriøs opmærksomhed blev formodningen set af nutidige matematikere som ekstraordinært vanskelig eller måske utilgængelig for bevis.:203-205, 223, 226 for eksempel, viles ph .d. – vejleder John Coates siger, at det syntes “umuligt at faktisk bevise”,: 226 og Ken Ribet betragtede sig selv som “en af langt de fleste mennesker, der troede var fuldstændig utilgængelige”, og tilføjede, at “Andreas viles var sandsynligvis en af de få mennesker på jorden, der havde den dristighed at drømme, at du faktisk kan gå og bevise.”:223

Ribet ‘s sætning for Frey curvesEdit

i 1984 bemærkede Gerhard Frey en forbindelse mellem Fermats ligning og modularitetssætningen, så stadig en formodning. Hvis Fermats ligning havde nogen løsning (a, b, c) for eksponent p > 2, kunne det vises, at den semi-stabile elliptiske kurve (nu kendt som en Frey-Hellegouarch)

y2 = h (h − ap) (h + bp)

ville have så usædvanlige egenskaber, at det sandsynligvis ikke var modulært. Dette ville være i konflikt med modularitetssætningen, som hævdede, at alle elliptiske kurver er modulære. Som sådan bemærkede Frey, at et bevis på Taniyama–Shimura–Vail-formodningen også Samtidig kunne bevise Fermats sidste sætning. Ved kontraposition ville en modbevisning eller afvisning af Fermats sidste sætning modbevise Taniyama–Shimura–Vail formodning.på almindeligt engelsk havde Frey vist, at hvis denne intuition om hans ligning var korrekt, så kunne ethvert sæt af 4 tal (a, b, c, n), der var i stand til at modbevise Fermats sidste sætning, også bruges til at modbevise Taniyama–Shimura–Vail formodningen. Derfor, hvis sidstnævnte var sandt, kunne førstnævnte ikke modbevises og skulle også være sandt.

efter denne strategi krævede et bevis på Fermats sidste sætning to trin. For det første var det nødvendigt at bevise modularitetssætningen – eller i det mindste at bevise det for de typer elliptiske kurver, der omfattede Freys ligning (kendt som semistable elliptiske kurver). Dette blev bredt antaget utilgængeligt for bevis af nutidige matematikere.:203-205, 223, 226 for det andet var det nødvendigt at vise, at Freys intuition var korrekt: at hvis en elliptisk kurve blev konstrueret på denne måde ved hjælp af et sæt tal, der var en løsning af Fermats ligning, kunne den resulterende elliptiske kurve ikke være modulær. Frey viste, at dette var plausibelt, men gik ikke så langt som at give et fuldt bevis. Det manglende stykke (den såkaldte “epsilon-formodning”, nu kendt som Ribet ‘ s sætning) blev identificeret af Jean-Pierre Serre, der også gav et næsten fuldstændigt bevis, og linket foreslået af Frey blev endelig bevist i 1986 af Ken Ribet.

efter Frey, Serre og Ribet ‘ s arbejde var det her, hvor sagen stod:

• Fermats sidste sætning skulle bevises for alle eksponenter n, der var primtal.modularitetssætningen-hvis det bevises for semi – stabile elliptiske kurver-ville betyde, at alle semistable elliptiske kurver skal være modulære.
• Ribets sætning viste, at enhver løsning på Fermats ligning for et primtal kunne bruges til at skabe en semistabel elliptisk kurve, der ikke kunne være modulopbygget;
• den eneste måde, hvorpå begge disse udsagn kunne være sande, var, hvis der ikke eksisterede nogen løsninger på Fermats ligning (for da kunne der ikke oprettes en sådan kurve), hvilket var, hvad Fermats sidste sætning sagde. Da Ribet ‘ s Sætning allerede var bevist, betød dette, at et bevis på Modularitetssætningen automatisk ville bevise, at Fermats sidste sætning også var sandt.

viles generelle bevisedit

britisk matematiker Andreas vil.

hovedartikler: Andreas viles og viles bevis for Fermats sidste sætning

Ribet ‘ s bevis for Epsilon-formodningen i 1986 opnåede det første af de to mål, som Frey foreslog. Efter at have hørt om Ribet ‘ s succes, besluttede en engelsk matematiker med en barndoms fascination af Fermats sidste sætning, og som havde arbejdet med elliptiske kurver, at forpligte sig til at udføre anden halvdel: bevise et specielt tilfælde af modularitetssætningen (dengang kendt som Taniyama–Shimura formodning) for semistable elliptiske kurver.

vilje arbejdede på denne opgave i seks år i næsten total hemmeligholdelse og dækkede over hans indsats ved at frigive tidligere arbejde i små segmenter som separate papirer og kun betro sig til sin kone.:229-230 hans indledende undersøgelse foreslog bevis ved induktion,: 230-232, 249-252, og han baserede sit oprindelige arbejde og første betydelige gennembrud på Galois-teorien:251-253, 259, før han skiftede til et forsøg på at udvide horisontal teori for det induktive argument omkring 1990-91, da det så ud til, at der ikke var nogen eksisterende tilgang, der var tilstrækkelig til problemet.:258-259 men i midten af 1991 syntes teorien heller ikke at nå de centrale spørgsmål i problemet.:259-260 som svar henvendte han sig til kolleger for at finde antydninger til banebrydende forskning og nye teknikker og opdagede et Euler-system, der for nylig blev udviklet af Victor Kolyvagin og Matthias Flach, der syntes “skræddersyet” til den induktive del af hans bevis.:260-261 vil studere og udvide denne tilgang, som fungerede. Da hans arbejde påberåbt udførligt på denne tilgang, som var nyt for matematik og til List, i januar 1993 spurgte han sin Princeton kollega, Nick kats, at hjælpe ham kontrollere hans ræsonnement for subtile fejl. Deres konklusion på det tidspunkt var, at de anvendte teknikker syntes at fungere korrekt.: 261-265

Ved midten af maj 1993, viles følte i stand til at fortælle sin kone, han troede, han havde løst bevis for Fermat ‘ s sidste sætning,: 265 og i Juni følte han sig tilstrækkelig sikker på at præsentere sine resultater i tre foredrag leveret på 21-23 juni 1993 på Isaac Nyton Institute for Mathematical Sciences. Specifikt præsenterede viles sit bevis på Taniyama-Shimura-formodningen for semistable elliptiske kurver; sammen med Ribet ‘ s bevis på Epsilon-formodningen antydede dette Fermats sidste sætning. Det blev imidlertid tydeligt under peerevalueringen, at et kritisk punkt i beviset var forkert. Den indeholdt en fejl i en bundet på rækkefølgen af en bestemt gruppe. Fejlen blev fanget af flere matematikere, der dømte viles manuskript inklusive kats (i sin rolle som korrekturlæser), der advarede viles den 23.August 1993.

fejlen ville ikke have gjort hans arbejde værdiløst – hver del af viles ‘ arbejde var meget betydningsfuld og nyskabende i sig selv, ligesom de mange udviklinger og teknikker, han havde skabt i løbet af sit arbejde, og kun en del blev påvirket.:289, 296-297 men uden denne del viste sig, var der ikke noget egentligt bevis for Fermats sidste sætning. Lions brugte næsten et år på at forsøge at reparere sit bevis, oprindeligt af sig selv og derefter i samarbejde med sin tidligere studerende Richard Taylor, uden succes. Ved udgangen af 1993 havde rygter spredt sig om, at under kontrol var viles ‘ bevis mislykkedes, men hvor alvorligt var det ikke kendt. Matematikere var begyndt at presse lyster til at afsløre sit arbejde, om det var komplet eller ej, så det bredere samfund kunne udforske og bruge, hvad han havde formået at udrette. Men i stedet for at blive løst, problemet, som oprindeligt havde virket mindre, virkede nu meget betydningsfuldt, langt mere alvorligt, og mindre let at løse.

Lions siger, at han om morgenen den 19.September 1994 var ved at give op og næsten trak sig tilbage for at acceptere, at han havde fejlet, og for at offentliggøre sit arbejde, så andre kunne bygge videre på det og rette fejlen. Han tilføjer, at han havde et sidste blik for at forsøge at forstå de grundlæggende grunde til, at hans tilgang ikke kunne gøres til arbejde, da han pludselig havde en indsigt – at den specifikke grund til, at Kolyvagin–Flach–tilgangen ikke ville fungere direkte, også betød, at hans oprindelige forsøg på at bruge teorien kunne gøres til at arbejde, hvis han styrkede den ved hjælp af sin erfaring fra Kolyvagin-Flach-tilgangen. Fastsættelse af en tilgang med værktøjer fra den anden tilgang ville løse problemet for alle de sager, der ikke allerede var bevist af hans dommerpapir. Han beskrev senere, at teorien og Kolyvagin-Flach-tilgangen hver især var utilstrækkelige alene, men sammen kunne de gøres stærke nok til at overvinde denne sidste forhindring.

” Jeg sad ved mit skrivebord og undersøgte Kolyvagin-Flach-metoden. Det var ikke, at jeg troede, at jeg kunne få det til at fungere, men jeg troede, at jeg i det mindste kunne forklare, hvorfor det ikke fungerede. Pludselig fik jeg denne utrolige åbenbaring. Jeg indså, at Kolyvagin-Flach-metoden ikke fungerede, men det var alt, hvad jeg havde brug for for at få min originale teori til at fungere fra tre år tidligere. Så ud af asken af Kolyvagin-Flach syntes at rejse det sande svar på problemet. Det var så ubeskriveligt smukt; det var så enkelt og så elegant. Jeg kunne ikke forstå, hvordan jeg havde savnet det, og jeg stirrede bare på det i vantro i tyve minutter. Så i løbet af dagen gik jeg rundt i afdelingen, og jeg ville fortsætte med at komme tilbage til mit skrivebord for at se, om det stadig var der. Den var der stadig. Jeg kunne ikke rumme mig selv, jeg var så begejstret. Det var det vigtigste øjeblik i mit arbejdsliv. Intet jeg nogensinde gør igen vil betyde så meget.Som Citeret af Simon Singh den 24.oktober 1994 indsendte han to manuskripter, “modulære elliptiske kurver og Fermats sidste sætning” og “ringteoretiske egenskaber for visse Hecke-algebraer”, hvoraf den anden var medforfatter med Taylor og beviste, at visse betingelser var opfyldt, der var nødvendige for at retfærdiggøre det korrigerede trin i hovedpapiret. De to papirer blev undersøgt og offentliggjort som helhed af maj 1995-udgaven af Annals of Mathematics. Disse papirer etablerede modularitetssætningen for semistable elliptiske kurver, det sidste skridt i at bevise Fermats sidste sætning, 358 år efter, at den blev formodet.

efterfølgende udviklingredigering

den fulde Taniyama–Shimura–Vail-formodning blev endelig bevist af Diamond (1996) fejl: flere mål (2 liter): CITEREFDiamond1996 (hjælp), Conrad, Diamond & Taylor (1999) fejl: flere mål (2 liter): citerefconraddiamondtaylor1999 (hjælp), og Breuil et al. (2001) fejl: flere mål (2): CITEREFBreuilConradDiamondTaylor2001 (hjælp), der bygger på viles arbejde, trinvist skåret væk i de resterende sager, indtil det fulde resultat blev bevist. Den nu fuldt beviste formodning blev kendt som modularity theorem.

flere andre sætninger i talteori svarende til Fermats sidste sætning følger også af den samme ræsonnement ved hjælp af modularitetssætningen. For eksempel: ingen terning kan skrives som en sum af to coprime n-th-kræfter, n-3. (Sagen n = 3 var allerede kendt af Euler.)